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2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 下篇 指導(dǎo)一 數(shù)學(xué)思想 融會貫通教學(xué)案

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2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 下篇 指導(dǎo)一 數(shù)學(xué)思想 融會貫通教學(xué)案

指導(dǎo)一 數(shù)學(xué)思想·融會貫通第1講函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想一函數(shù)與方程思想函數(shù)思想方程思想通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題得到解決的思想構(gòu)建方程或方程組,通過解方程或方程組或運用方程的性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題獲得解決的思想函數(shù)思想與方程思想密切相關(guān)方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo);函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0,通過方程進行研究,方程f(x)a有解,當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域函數(shù)思想重在對問題進行動態(tài)的研究,方程思想則是在動中求靜,研究運動中的等量關(guān)系函數(shù)與方程思想在函數(shù)、不等式中的應(yīng)用例1(2019·煙臺三模)已知f(x)log2x,x2,16,對于函數(shù)f(x)值域內(nèi)的任意實數(shù)m,使x2mx42m4x恒成立的實數(shù)x的取值范圍為()A(,2B2,)C(,22,)D(,2)(2,)解析D因為x2,16,所以f(x)log2x1,4,即m1,4不等式x2mx42m4x恒成立,即為m(x2)(x2)20恒成立設(shè)g(m)(x2)m(x2)2,則此函數(shù)在區(qū)間1,4上恒大于0,所以即解得x2或x2.函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化,把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù),借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決相關(guān)的問題常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題一般利用函數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù),建立函數(shù)關(guān)系求解活學(xué)活用1(2019·貴陽三模)設(shè)0a1,e為自然對數(shù)的底數(shù),則a,ae,ea1的大小關(guān)系為()Aea1aaeBaeaea1Caeea1a Daea1ae解析:B設(shè)f(x)exx1,x0,則f(x)ex1,f(x)在(0,)上是增函數(shù),且f(0)0,f(x)0,ex1x,即ea1a.又yax(0a1)在R上是減函數(shù),得aae,從而ea1aae.函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用例2(2020·蘭州模擬)設(shè)an是首項為a1,公差為1的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1的值_解析an為等差數(shù)列,則S44a16d4a16,S22a11,S1a1.又SS1·S4知,(2a11)2a1(4a16),a1.答案1應(yīng)用方程的思想求等差(或等比)數(shù)列中的通項時,根據(jù)題中的條件,列出關(guān)于首項和公差(或公比)的方程組,通過解方程組求出數(shù)列的首項和公差(或公比),再根據(jù)等差(或等比)數(shù)列的通項公式寫出an.2根據(jù)題目條件構(gòu)造函數(shù)關(guān)系,把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題是常用的解題思路活學(xué)活用2已知數(shù)列an滿足a133,an1an2n,則的最小值為_解析:ananan1an1an2a2a1a12(n1)2(n2)2332(12n1)33(n1)n33,故n1.注意到對勾函數(shù)的單調(diào)性,易得n5或n6時,最小,而,故最小值為.答案:二數(shù)形結(jié)合思想以形助數(shù)(數(shù)題形解)以數(shù)輔形(形題數(shù)解)借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)形之間的聯(lián)系,即以形作為手段,數(shù)作為目的借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性,即以數(shù)作為手段,形作為目的利用數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的零點例1已知函數(shù)f(x)恰有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍為()A. B.C. D.解析D函數(shù)f(x)恰有3個零點,則3a在x2時有且只有一個實數(shù)根,且ex在(2,0)上有兩個不相等的實數(shù)根由3a在x2時有且只有一個實數(shù)根,得23a1,即a;ex在(2,0)上有兩個不相等的實數(shù)根,可轉(zhuǎn)化為axex在(2,0)上有兩個不相等的實數(shù)根,令g(x)xex,則g(x)ex(x1),當(dāng)x(2,1)時,g(x)0,當(dāng)x(1,0)時,g(x)0,所以函數(shù)g(x)在(2,1)上單調(diào)遞減,在(1,0)上單調(diào)遞增,當(dāng)2x0時,函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示,所以當(dāng)g(1)ag(2),即a時,axex在(2,0)上有兩個不相等的實數(shù)根綜上,當(dāng)a時,函數(shù)f(x)恰有3個零點,故選D.利用數(shù)形結(jié)合探究方程解的問題應(yīng)注意兩點:(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點)一般可構(gòu)造兩個函數(shù),使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點問題,但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性、全面性,否則會得到錯解(2)正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵,數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則,不要刻意去用數(shù)形結(jié)合活學(xué)活用1已知函數(shù)f(x)函數(shù)g(x)是周期為2的偶函數(shù)且當(dāng)x0,1時,g(x)2x1,則函數(shù)yf(x)g(x)的零點個數(shù)是()A5 B6C7 D8解析:B在同一坐標(biāo)系中作出yf(x)和yg(x)的圖象如圖所示,由圖象可知當(dāng)x0時,有4個零點,當(dāng)x0時,有2個零點,所以一共有6個零點應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解不等式、參數(shù)問題例2設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)g(x)f(x)g(x)0,且g(3)0,則不等式f(x)g(x)0的解集是_解析設(shè)F(x)f(x)g(x),由于f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),得F(x)f(x)·g(x)f(x)g(x)F(x),即F(x)在R上為奇函數(shù)又當(dāng)x0時,F(xiàn)(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0,所以x0時,F(xiàn)(x)為增函數(shù)因為奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,所以x0時,F(xiàn)(x)也是增函數(shù)因為F(3)f(3)g(3)0F(3)所以,由圖象可知F(x)0的解集是(,3)(0,3)答案(,3)(0,3)求參數(shù)范圍或解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象,根據(jù)不等式中量的特點,選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù),利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來解決問題,往往可以避免煩瑣的運算,獲得簡捷的解答活學(xué)活用2當(dāng)x(1,2)時,(x1)2logax恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是_解析:由題意可知a1,在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y(x1)2,x(1,2)及ylogax的圖象,若ylogax過點(2,1),得loga21,所以a2.根據(jù)題意,函數(shù)ylogax,x(1,2)的圖象恒在y(x1)2,x(1,2)的上方,所以1a2.答案:(1,2利用數(shù)形結(jié)合求最值問題例3(1)(2019·泉州三模)記實數(shù)x1,x2,xn中最小數(shù)為minx1,x2,xn,則定義在區(qū)間0,)上的函數(shù)f(x)minx21,x3,13x的最大值為()A5 B6C8 D10解析C在同一坐標(biāo)系中作出三個函數(shù)yx21,yx3,y13x的圖象如圖:由圖可知,在實數(shù)集R上,minx21,x3,13x為yx3上A點下方的射線,拋物線AB之間的部分,線段BC,與直線y13x點C下方的部分的組合圖顯然,在區(qū)間0,)上,在C點時,yminx21,x3,13x取得最大值解方程組得點C(5,8)所以f(x)max8.(2)已知圓C:(x3)2(y4)21和兩點A(m,0),B(m,0)(m0)若圓C上存在點P,使得APB90°,則m的最大值為()A7 B6C5 D4解析B根據(jù)題意,畫出示意圖,如圖所示,則圓心C的坐標(biāo)為(3,4),半徑r1,且|AB|2m.因為APB90°,連接OP,易知|OP|AB|m.要求m的最大值,即求圓C上的點P到原點O的最大距離因為|OC|5,所以|OP|max|OC|r6,即m的最大值為6.運用數(shù)形結(jié)合思想求解最值問題(1)對于幾何圖形中的動態(tài)問題,應(yīng)分析各個變量的變化過程,找出其中的相互關(guān)系求解(2)應(yīng)用幾何意義法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式,主要有:比值可考慮直線的斜率;二元一次式可考慮直線的截距;根式分式可考慮點到直線的距離;根式可考慮兩點間的距離活學(xué)活用3(2019·南昌三模)若x,y滿足約束條件則的最大值為_解析:畫出可行域,如圖所示,z表示可行域內(nèi)的點和定點F(6,6)連線的斜率,顯然直線AF的斜率最大,kAF3,即的最大值是3.答案:3第2講分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想一分類討論思想分類討論的思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題,通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略,對問題實行分類與整合,分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個已知條件,實現(xiàn)了有效增設(shè),將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題),優(yōu)化解題思路,降低問題難度由概念、性質(zhì)、運算引起的分類討論例1(1)(2020·山師附中模擬)已知函數(shù)f(x)若f(2a)1,則f(a)等于()A2B1C1 D2解析A當(dāng)2a2,即a0時,22a211,解得a1,則f(a)f(1)log23(1)2;當(dāng)2a2即a0時,log23(2a)1,解得a,舍去所以f(a)2.故選A.(2)(2020·阜陽模擬)等比數(shù)列an中,a1a4a72,a3a6a918,則an的前9項和S9_.解析由題意得q29,q±3,當(dāng)q3時,a2a5a83(a1a4a7)6,S9261826;當(dāng)q3時,a2a5a83(a1a4a7)6,S9261814,所以S914或26.答案14或26數(shù)學(xué)概念運算公式中常見的分類(1)由二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義,直線的傾斜角、向量的夾角的范圍等引起分類討論;(2)由除法運算中除數(shù)不為零,不等式兩邊同乘以(或除以)同一個數(shù)(或式)時的不等號等引起分類討論;(3)由數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)成立的條件等引起分類討論活學(xué)活用1已知函數(shù)f(x)axb(a0,a1)的定義域和值域都是1,0,則ab_.解析:當(dāng)a1時,函數(shù)f(x)axb在1,0上為增函數(shù),由題意得無解當(dāng)0a1時,函數(shù)f(x)axb在1,0上為減函數(shù),由題意得解得所以ab.答案:由圖形位置或形狀引起的分類討論例2(2019·泉州三模)若雙曲線1的漸近線方程為y±x,則m的值為()A1 B.C. D1或解析B根據(jù)題意可分以下兩種情況討論:當(dāng)焦點在x軸上時,則有解得m1,此時漸近線方程為y± x,由題意,解得m.當(dāng)焦點在y軸上時,則有解得m3,此時漸近線方程為y± x,由題意,解得:m;與m3矛盾(舍去)結(jié)合以上可知m.故選B.圖形位置或形狀的變化中常見的分類圓錐曲線形狀不確定時,常按橢圓、雙曲線來分類討論,求圓錐曲線的方程時,常按焦點的位置不同來分類討論;相關(guān)計算中,涉及圖形問題時,也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論活學(xué)活用2設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且b3,c1,ABC的面積為,則a的值為_解析:由三角形面積公式,得×3×1·sin A,故sin A.因為sin2Acos2A1,所以cos A±± ±.當(dāng)cos A時,由余弦定理,得a2b2c22bccos A32122×1×3×8,所以a2.當(dāng)cos A時,由余弦定理,得a2b2c22bccos A32122×1×3×12,所以a2.綜上所述,a2或2.答案:2或2由變量或參數(shù)引起的分類討論例3(2019·濰坊三模節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)x3axb,xR,其中a,bR.求f(x)的單調(diào)區(qū)間解析由f(x)x3axb,可得f(x)3x2a.下面分兩種情況:當(dāng)a0時,f(x)3x2a0恒成立所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,)當(dāng)a0時,令f(x)0,解得x或x.當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如表:xf(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,.幾種常見的由參數(shù)變化引起的分類與整合1含有參數(shù)的不等式的求解2含有參數(shù)的方程的求解3對于解析式系數(shù)含參數(shù)的函數(shù),求最值或單調(diào)性問題4二元二次方程表示曲線類型的判定等5直線與圓錐曲線位置關(guān)系的分類活學(xué)活用3函數(shù)f(x)ax24x3在x0,2上有最大值f(2),則實數(shù)a的取值范圍是_解析:當(dāng)a0時,f(x)4x3在x0,2上為單調(diào)遞增函數(shù),最大值為f(2),滿足題意當(dāng)a0時,函數(shù)f(x)ax24x3a23,其對稱軸為x.當(dāng)a0時,f(x)ax24x3在x0,2上為單調(diào)遞增函數(shù),最大值為f(2),滿足題意當(dāng)a0時,只有當(dāng)2,即1a0時,f(x)ax24x3在x0,2上為單調(diào)遞增函數(shù),最大值為f(2),滿足題意綜上,當(dāng)a1時,函數(shù)f(x)ax24x3在x0,2上有最大值f(2)答案:1,)二轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進而解決問題的一種方法一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題,將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題,將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題特殊與一般的轉(zhuǎn)化例1(2019·長沙三模)(1)過拋物線yax2(a0)的焦點F,作一直線交拋物線于P,Q兩點若線段PF與FQ的長度分別為p,q,則等于()A2a B.C4a D.解析C拋物線yax2(a0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y(a0),焦點F.過焦點F作直線垂直于y軸,則|PF|QF|,4a.(2)(2017·浙江)已知向量a,b滿足|a|1,|b|2,則|ab|ab|的最小值是_,最大值是_解析由題意,不妨設(shè)b(2,0),a(cos ,sin ),則ab(2cos ,sin ),ab(cos 2,sin )令y|ab|ab|,令y,則y210216,20由此可得(|ab|ab|)max2,(|ab|ab|)min4,即|ab|ab|的最小值是4,最大值是2.答案42(1)一般問題特殊化,使問題處理變得直接、簡單特殊問題一般化,可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律,從而達(dá)到成批處理問題的效果(2)對于某些選擇題、填空題,如果結(jié)論唯一或題目提供的信息暗示答案是一個定值時,可以把題中變化的量用特殊值代替,即可得到答案活學(xué)活用1在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a,b,c成等差數(shù)列,則_.解析:顯然ABC為等邊三角形時符合題設(shè)條件,所以.答案:正與反的轉(zhuǎn)化例2(2019·吉林三模)若對于任意t1,2,函數(shù)g(x)x3x22x在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是_解析g(x)3x2(m4)x2,若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù),則g(x)0在(t,3)上恒成立,或g(x)0在(t,3)上恒成立(正反轉(zhuǎn)化)由得3x2(m4)x20,即m43x,當(dāng)x(t,3)時恒成立,m43t恒成立,則m41,即m5;由得3x2(m4)x20,即m43x,當(dāng)x(t,3)時恒成立,則m49,即m.函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為答案(1)本題是正與反的轉(zhuǎn)化,由于不為單調(diào)函數(shù)有多種情況,先求出其反面,體現(xiàn)“正難則反”的原則(2)題目若出現(xiàn)多種成立的情形,則不成立的情形相對很少,從反面考慮較簡單,因此,間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問題中活學(xué)活用2由命題“存在x0R,使e|x01|m0”是假命題,得m的取值范圍是(,a),則實數(shù)a的取值是()A(,1) B(,2)C1 D2解析:C命題“存在x0R,使e|x01|m0”是假命題,可知它的否定形式“任意xR,使e|x1|m0”是真命題,可得m的取值范圍是(,1),而(,a)與(,1)為同一區(qū)間,故a1.主與次的相互轉(zhuǎn)化例3(2019·西安三模)已知函數(shù)f(x)x33ax1,g(x)f(x)ax5,其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)對滿足1a1的一切a的值,都有g(shù)(x)0,則實數(shù)x的取值范圍為_解析由題意,知g(x)3x2ax3a5,對(a)(3x)a3x25,1a1.對1a1,恒有g(shù)(x)0,即(a)0,即解得x1.故當(dāng)x時,對滿足1a1的一切a的值,都有g(shù)(x)0.答案(1)本題是把關(guān)于x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為在1,1內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)小于0恒成立的問題(2)在處理多變元的數(shù)學(xué)問題時,我們可以選取其中的常數(shù)(或參數(shù)),將其看作是“主元”,而把其它變元看作是常量,從而達(dá)到減少變元簡化運算的目的活學(xué)活用3對于滿足0p4的所有實數(shù)p,使不等式x2px4xp3成立的x的取值范圍是_解析:設(shè)f(p)(x1)px24x3,則當(dāng)x1時,f(p)0.所以x1.f(p)在0p4上恒為正,等價于即解得x3或x1.答案:(,1)(3,)- 13 -

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