2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第1節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 文 北師大版

第一節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)考綱傳真1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第39頁(yè)) 基礎(chǔ)知識(shí)填充1角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線(xiàn)繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形(2)分類(lèi)(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S|k·360°，kZ2弧度制的定義和公式(1)定義：在單位圓中，長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(2)公式角的弧度數(shù)公式|(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算1° rad；1 rad°弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l|r扇形面積公式Slr|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做的正弦，記作sin x叫做的余弦，記作cos 叫做的正切，記作tan 各象限符號(hào)三角函數(shù)線(xiàn)有向線(xiàn)段MP為正弦線(xiàn)有向線(xiàn)段OM為余弦線(xiàn)有向線(xiàn)段AT為正切線(xiàn)知識(shí)拓展1三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦2任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)設(shè)P(x，y)是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sin ，cos ，tan (x0)基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)小于90°的角是銳角()(2)銳角是第一象限角，反之亦然()(3)角的三角函數(shù)值與終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)()(4)若為第一象限角，則sin cos 1.()答案(1)×(2)×(3)(4)2(2017·西寧復(fù)習(xí)檢測(cè)(一)若cos 0，且sin 20，則角的終邊所在象限為()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限D(zhuǎn)由cos >0，sin 22sin cos 0得sin 0，則角的終邊在第四象限，故選D3(教材改編)已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為M，則sin () 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090079】AB±CD±B由題意知|r|22y21，所以y±.由三角函數(shù)定義知sin y±.4在單位圓中，200°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為()A10B9CDD單位圓的半徑r1,200°的弧度數(shù)是200×，由弧長(zhǎng)公式得l.5終邊在射線(xiàn)yx(x0)上的角的集合是_終邊在射線(xiàn)yx(x0)上的一個(gè)角為，從而所求角的集合為(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第40頁(yè))角的有關(guān)概念及其集合表示(1)若角是第二象限角，則是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角(2)已知角的終邊在如圖3­1­1所示陰影部分表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角用集合可表示為_(kāi)圖3­1­1(1)C(2)2k，2k(kZ)(1)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角綜上，是第一或第三象限角(2)在0,2)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為，所求角的集合為(kZ)規(guī)律方法1.與角終邊相同的角可以表示為2k(kZ)的形式，是任意角；相等的角終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等；角度制與弧度制不能混用2由所在象限，判定所在象限，應(yīng)先確定的范圍，并對(duì)整數(shù)k的奇、偶情況進(jìn)行討論變式訓(xùn)練1(1)終邊在直線(xiàn)yx上的角的集合是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090080】ABCD(2)已知角45°，在區(qū)間720°，0°內(nèi)與角有相同終邊的角_.(1)D(2)675°或315°(1)在(0，)內(nèi)終邊在直線(xiàn)yx上的角為，所以終邊在直線(xiàn)yx上的角的集合為.(2)由終邊相同的角的關(guān)系知k·360°45°，kZ，取k2，1，得675°或315°.扇形的弧長(zhǎng)、面積公式(1)已知扇形周長(zhǎng)為10，面積是4，求扇形的圓心角；(2)已知扇形周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和圓心角分別取何值時(shí)，扇形的面積最大？解(1)設(shè)圓心角是，半徑是r，則解得(舍去)或扇形的圓心角為.(2)設(shè)圓心角是，半徑是r，則2rr40.又Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100.當(dāng)且僅當(dāng)r10時(shí)，Smax100，此時(shí)2×101040，2，當(dāng)r10，2時(shí)，扇形的面積最大規(guī)律方法1.(1)在弧度制下，計(jì)算扇形面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更方便、簡(jiǎn)捷；(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于R的二次函數(shù)的最值問(wèn)題(如本例)或不等式問(wèn)題來(lái)求解2利用公式：(1)lR；(2)SlR；(3)SR2.其中R是扇形的半徑，l是弧長(zhǎng)，(02)為圓心角，S是扇形面積，知道兩個(gè)量，可求其余量變式訓(xùn)練2(1)若圓弧長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為()ABC3D(2)若扇形的圓心角120°，弦長(zhǎng)AB12 cm，則弧長(zhǎng)l_cm.(1)D(2)(1)如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線(xiàn)段AB所對(duì)的圓心角AOB，作OMAB，垂足為M，在RtAOM中，AOr，AOM，AMr，ABr，lr，由弧長(zhǎng)公式得.(2)設(shè)扇形的半徑為r cm，如圖由sin 60°，得r4 cm，l|·r×4 cm.三角函數(shù)的定義(1)(2018·天水模擬)若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(，m)(m0)且sin m，則cos 的值為_(kāi)(2)點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090081】(1)(2)(1)由題意知r，sin m，m0，m±，r2，cos .(2)由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿(mǎn)足xcos ，ysin .Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.規(guī)律方法用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解；(2)已知角的終邊所在的直線(xiàn)方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來(lái)求相關(guān)問(wèn)題變式訓(xùn)練3(1)(2018·合肥模擬)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x，6)，且cos ，則x_.(2)已知角的終邊上一點(diǎn)P，若(，0)，則_.(1)(2)(1)cos ，解得x，或x，又x0，即x0，所以x.(2)法一：點(diǎn)P的坐標(biāo)為P，點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離r1，從而cos ，又(，0)，所以.法二：由sin2cos21得cos sincoscos，又(，0)，所以.7