2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點 分層教學(xué) 專項二 專題七 2 第2講 不等式選講學(xué)案

第2講不等式選講年份卷別考查內(nèi)容及考題位置命題分析2018卷絕對值不等式的解法、不等式的恒成立問題·T231.不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，考查的重點是不等式的證明、絕對值不等式的解法等，命題的熱點是絕對值不等式的求解，以及絕對值不等式與函數(shù)的綜合問題的求解2此部分命題形式單一、穩(wěn)定，難度中等，備考本部分內(nèi)容時應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用.卷絕對值不等式的解法、不等式的恒成立問題·T23卷含絕對值函數(shù)圖象的畫法、不等式的恒成立問題·T232017卷含絕對值不等式的解法、求參數(shù)的取值范圍·T23卷基本不等式的應(yīng)用、一些常用的變形及證明不等式的方法·T23卷含絕對值不等式的解法、函數(shù)最值的求解·T232016卷含絕對值函數(shù)圖象的畫法、含絕對值不等式的解法·T24卷含絕對值不等式的解法、比較法證明不等式·T24卷含絕對值不等式的解法、絕對值不等式的性質(zhì)·T24絕對值不等式的解法(綜合型)含有絕對值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a；(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<a；(3)對形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用絕對值不等式的幾何意義求解 典型例題 (2018·太原模擬)已知函數(shù)f(x)|xm|2x1|.(1)當(dāng)m1時，求不等式f(x)2的解集；(2)若f(x)|2x1|的解集包含，求m的取值范圍【解】(1)當(dāng)m1時，f(x)|x1|2x1|，當(dāng)x1時，f(x)3x22，所以1x；當(dāng)<x<1時，f(x)x2，所以<x<1；當(dāng)x時，f(x)23x2，所以0x，綜上可得原不等式f(x)2的解集為.(2)由題意可知f(x)|2x1|在上恒成立，當(dāng)x時，f(x)|xm|2x1|xm|2x1|2x1|2x1，所以|xm|2，即2xm2，則2xm2x，且(2x)max，(2x)min0，因此m的取值范圍為.|xa|xb|c(或c)(c>0)，|xa|xb|c(或c)(c>0)型不等式的解法可通過零點分區(qū)間法或利用絕對值的幾何意義進(jìn)行求解(1)零點分區(qū)間法的一般步驟令每個絕對值符號的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根將這些根按從小到大排列，把實數(shù)集分為若干個區(qū)間由所分區(qū)間去掉絕對值符號得若干個不等式，解這些不等式，求出解集取各個不等式解集的并集就是原不等式的解集(2)利用絕對值的幾何意義由于|xa|xb|與|xa|xb|分別表示數(shù)軸上與x對應(yīng)的點到a，b對應(yīng)的點的距離之和與距離之差，因此對形如|xa|xb|c(或c)(c>0)或|xa|xb|c(或c)(c>0)的不等式，利用絕對值的幾何意義求解更直觀 對點訓(xùn)練(2018·合肥第一次質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)|2x1|.(1)解關(guān)于x的不等式f(x)f(x1)1；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<mf(x1)的解集不是空集，求m的取值范圍解：(1)f(x)f(x1)1|2x1|2x1|1，則或或解得x或x<，即x，所以原不等式的解集為.(2)由條件知，不等式|2x1|2x1|<m有解，則m>(|2x1|2x1|)min即可由于|2x1|2x1|12x|2x1|12x2x1|2，當(dāng)且僅當(dāng)(12x)(2x1)0，即x時等號成立，故m>2.所以m的取值范圍是(2，)不等式的證明(綜合型) 含有絕對值的不等式的性質(zhì)|a|b|a±b|a|b|. 算術(shù)幾何平均不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立定理2：如果a，b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1，a2，an為n個正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時，等號成立 典型例題 (2018·長春質(zhì)量檢測(一)設(shè)不等式|x1|x1|<2的解集為A.(1)求集合A；(2)若a，b，cA，求證：>1.【解】(1)由已知，令f(x)|x1|x1|由|f(x)|<2得1<x<1，即Ax|1<x<1(2)證明：要證>1，只需證|1abc|>|abc|，只需證1a2b2c2>a2b2c2，只需證1a2b2>c2(1a2b2)，只需證(1a2b2)(1c2)>0，由a，b，cA，得a2b2<1，c2<1，所以(1a2b2)(1c2)>0恒成立綜上，>1.證明不等式的方法和技巧(1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或是否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法(2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明尤其是對含絕對值不等式的解法或證明，其簡化的基本思路是化去絕對值符號，轉(zhuǎn)化為常見的不等式(組)求解多以絕對值的幾何意義或“找零點、分區(qū)間、逐個解、并起來”為簡化策略，而絕對值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù)對點訓(xùn)練(2018·陜西教學(xué)質(zhì)量檢測(一)已知函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)3；(2)記函數(shù)g(x)f(x)|x1|的值域為M，若tM，證明t213t.解：(1)依題意，得f(x)所以f(x)3或或解得1x1，即不等式f(x)3的解集為x|1x1(2)證明：g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3，當(dāng)且僅當(dāng)(2x1)(2x2)0時取等號，所以M3，)t213t，因為tM，所以t30，t21>0，所以0，所以t213t.含絕對值不等式的恒成立問題(綜合型)典型例題 (2018·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)設(shè)函數(shù)f(x)|x3|，g(x)|2x1|.(1)解不等式f(x)<g(x)；(2)若2f(x)g(x)>ax4對任意的實數(shù)x恒成立，求a的取值范圍【解】(1)由已知，可得|x3|<|2x1|，即|x3|2<|2x1|2，所以3x210x8>0，解得x<或x>4.故所求不等式的解集為(4，)(2)由已知，設(shè)h(x)2f(x)g(x)2|x3|2x1|當(dāng)x3時，只需4x5>ax4恒成立，即ax<4x9恒成立，因為x3<0，所以a>4恒成立，所以a>，所以a>1；當(dāng)3<x<時，只需7>ax4恒成立，即ax3<0恒成立，只需所以所以1a6；當(dāng)x時，只需4x5>ax4恒成立，即ax<4x1恒成立因為x>0，所以a<4恒成立因為4>4，且x時，44，所以a4.綜上，a的取值范圍是(1，4絕對值不等式的成立問題的求解模型(1)分離參數(shù)：根據(jù)不等式將參數(shù)分離化為af(x)或af(x)形式(2)轉(zhuǎn)化最值：f(x)>a恒成立f(x)min>a；f(x)<a恒成立f(x)max<a；f(x)>a有解f(x)max>a；f(x)<a有解f(x)min<a；f(x)>a無解f(x)maxa；f(x)<a無解f(x)mina.(3)求最值：利用基本不等式或絕對值不等式求最值(4)得結(jié)論 對點訓(xùn)練1(2018·高考全國卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0，1)時不等式f(x)x成立，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)>1的解集為x|x>(2)當(dāng)x(0，1)時|x1|ax1|>x成立等價于當(dāng)x(0，1)時|ax1|<1成立若a0，則當(dāng)x(0，1)時|ax1|1；若a>0，|ax1|<1的解集為0<x<，所以1，故0<a2.綜上，a的取值范圍為(0，22(2018·洛陽第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)|x12a|xa2|，aR，g(x)x22x4.(1)若f(2a21)>4|a1|，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若存在實數(shù)x，y，使f(x)g(y)0，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)因為f(2a21)>4|a1|，所以|2a22a|a21|>4|a1|，所以|a1|(2|a|a1|4)>0，所以|2a|a1|>4且a1.若a1，則2aa1>4，所以a<；若1<a<0，則2aa1>4，所以a<3，此時無解；若a0且a1，則2aa1>4，所以a>1.綜上所述，a的取值范圍為(1，)(2)因為g(x)(x1)25251，顯然可取等號，所以g(x)min1.于是，若存在實數(shù)x，y，使f(x)g(y)0，只需f(x)min1.又f(x)|x12a|xa2|(x12a)(xa2)|(a1)2，所以(a1)21，所以1a11，所以0a2，即a0，21(2018·高考全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)5|xa|x2|.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時，f(x)可得f(x)0的解集為x|2x3(2)f(x)1等價于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且當(dāng)x2時等號成立故f(x)1等價于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范圍是(，62，)2(2018·開封模擬)已知函數(shù)f(x)|xm|，m<0.(1)當(dāng)m1時，求解不等式f(x)f(x)2x；(2)若不等式f(x)f(2x)<1的解集非空，求m的取值范圍解：(1)設(shè)F(x)|x1|x1|由F(x)G(x)解得x|x2或x0(2)f(x)f(2x)|xm|2xm|，m<0.設(shè)g(x)f(x)f(2x)，當(dāng)xm時，g(x)mxm2x2m3x，則g(x)m；當(dāng)m<x<時，g(x)xmm2xx，則<g(x)<m；當(dāng)x時，g(x)xm2xm3x2m，則g(x).則g(x)的值域為，不等式f(x)f(2x)<1的解集非空，即1>，解得m>2，由于m<0，則m的取值范圍是(2，0)3(2018·石家莊質(zhì)量檢測(一)已知函數(shù)f(x)|ax1|(a2)x.(1)當(dāng)a3時，求不等式f(x)>0的解集；(2)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸沒有交點，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a3時，不等式可化為|3x1|x>0，即|3x1|>x，所以3x1<x或3x1>x，即x<或x>，所以不等式f(x)>0的解集為.(2)當(dāng)a>0時，f(x)要使函數(shù)f(x)的圖象與x軸無交點，只需即1a<2；當(dāng)a0時，f(x)2x1，函數(shù)f(x)的圖象與x軸有交點，不合題意；當(dāng)a<0時，f(x)要使函數(shù)f(x)的圖象與x軸無交點，只需此時無解綜上可知，若函數(shù)f(x)的圖象與x軸無交點，則實數(shù)a的取值范圍為1，2)4(2018·高考全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)畫出yf(x)的圖象；(2)當(dāng)x0，)時，f(x)axb，求ab的最小值解：(1)f(x)yf(x)的圖象如圖所示(2)由(1)知，yf(x)的圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a3且b2時，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值為5.5(2018·石家莊質(zhì)量檢測(二)已知函數(shù)f(x)|2xa|2x1|.(1)當(dāng)a1時，求f(x)2的解集；(2)若g(x)4x2ax3.當(dāng)a>1且x時，f(x)g(x)，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時，f(x).當(dāng)x<時，f(x)2無解；當(dāng)x時，f(x)2的解集為；當(dāng)x>時，f(x)2無解綜上所述，f(x)2的解集為.(2)當(dāng)x時，f(x)(a2x)(2x1)a1，所以f(x)g(x)可化為a1g(x)又g(x)4x2ax3在上的最大值必為g、g之一，則，即，即a2.又a>1，所以1<a2，所以a的取值范圍為(1，26(2018·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)|2x3a2|.(1)當(dāng)a0時，求不等式f(x)|x2|3的解集；(2)若對于任意函數(shù)x，不等式|2x1|f(x)<2a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a0時，不等式可化為|2x|x2|3，得或或，解得x或x1，所以當(dāng)a0時，不等式f(x)|x2|3的解集為1，)(2)對于任意實數(shù)x，不等式|2x1|f(x)<2a恒成立，即|2x1|2x3a2|<2a恒成立因為|2x1|2x3a2|2x12x3a2|3a21|，所以要使原不等式恒成立，只需|3a21|<2a.當(dāng)a<0時，無解；當(dāng)0a時，13a2<2a，解得<a；當(dāng)a>時，3a21<2a，解得<a<1.所以實數(shù)a的取值范圍是.7(2018·福州模擬)已知函數(shù)f(x)x2|x|1.(1)求不等式f(x)2x的解集；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)在0，)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)不等式f(x)2x等價于x2|x|2x10，當(dāng)x0時，式化為x23x10，解得x或0x；當(dāng)x<0時，式化為x2x10，解得x<0，綜上所述，不等式f(x)2x的解集為.(2)不等式f(x)在0，)上恒成立，等價于f(x)af(x)在0，)上恒成立，等價于x2x1ax2x1在0，)上恒成立，等價于x2x1ax2x1在0，)上恒成立，由x2x1(當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號)，x2x1(當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號)，所以a，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.8(2018·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x22，g(x)|xa|x1|，aR.(1)若a4，求不等式f(x)>g(x)的解集；(2)若對任意x1，x2R，不等式f(x1)g(x2)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a4時，不等式f(x)>g(x)為x22>|x4|x1|，g(x)|x4|x1|當(dāng)x4時，x22>3恒成立，所以x4.當(dāng)1<x<4時，x22>2x5，即x22x3>0，得x>1或x<3，所以1<x<4.當(dāng)x1時，x22>3，則x>1或x<1，所以x<1.由可知不等式f(x)>g(x)的解集為x|x<1或x>1(2)當(dāng)a1時，g(x)所以g(x)的最大值為a1.要使f(x1)g(x2)，只需2a1，則a3，所以1a3.當(dāng)a<1時，g(x)所以g(x)的最大值為1a.要使f(x1)g(x2)，只需21a，則a1，所以1a<1.綜上，實數(shù)a的取值范圍是1，3.12