2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第38講 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案

第38講數(shù)學(xué)歸納法考綱要求考情分析命題趨勢(shì)了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.2015·陜西卷，212014·重慶卷，22數(shù)學(xué)歸納法一般以數(shù)列、集合為背景，用“歸納猜想證明”的模式考查.分值：05分一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取n0(n0N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)結(jié)論成立(×)(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明(×)(3)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由nk到nk1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)(×)(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“12222n22n31”，驗(yàn)證n1時(shí)，左邊式子應(yīng)該為122223.()解析 (1)錯(cuò)誤用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n為初始值時(shí)結(jié)論成立，不一定是n1.(2)錯(cuò)誤不一定所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明(3)錯(cuò)誤不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由nk到nk1時(shí)，項(xiàng)數(shù)的增加根據(jù)題目而定(4)正確用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”，驗(yàn)證n1時(shí)，左邊式子應(yīng)為122223是正確的2在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n(C)A1B2C3D4解析 三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗(yàn)n3.3用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n12n1(nN*)”的過(guò)程中，第二步nk時(shí)等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)得到(D)A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11解析 由條件知，左邊從20,21到2n1都是連續(xù)的，因此當(dāng)nk1時(shí)，左邊應(yīng)為12222k12k，而右邊應(yīng)為2k11.4用數(shù)學(xué)歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212時(shí)，則從nk到nk1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是(B)A(k1)22k2B(k1)2k2C(k1)2D(k1)2(k1)21解析 由nk到nk1時(shí)，左邊增加(k1)2k2，故選B5用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n2k1(kN*)時(shí)命題為真，進(jìn)而需證n_2k1_時(shí)，命題亦真解析 因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以與2k1相鄰的下一個(gè)奇數(shù)是2k1.一數(shù)學(xué)歸納法證明等式數(shù)學(xué)歸納法證明等式的思路和注意點(diǎn)(1)思路：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少(2)注意點(diǎn)：由nk時(shí)等式成立，推出nk1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確地寫出證明過(guò)程，不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法【例1】 求證：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)證明 當(dāng)n1時(shí)，左邊12223，右邊3，等式成立假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)當(dāng)nk1時(shí)，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1時(shí)，等式也成立由得，等式對(duì)任意nN*都成立二數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證明，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法(2)數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk成立，推證nk1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等方法證明【例2】 已知數(shù)列an，an0，a10，aan11a，求證：當(dāng)nN*時(shí)，an<an1.證明 當(dāng)n1時(shí)，因a2是方程aa210的正根，所以a1<a2.假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，0akak1，當(dāng)nk1時(shí)，則由aa(aak21)(aak11)(ak2ak1)·(ak2ak11)0，得ak1ak2，即當(dāng)nk1時(shí)，anan1也成立根據(jù)和，可知anan1對(duì)任意nN*都成立三歸納猜想證明“歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式其一般思路是：通過(guò)觀察有限個(gè)特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這種方法在解決與正整數(shù)n有關(guān)的探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式【例3】 設(shè)a>0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論解析 (1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN*)(2)證明：易知，n1時(shí)，猜想正確假設(shè)nk(kN*)時(shí)猜想正確，即ak，當(dāng)nk1時(shí)，ak1f(ak).這說(shuō)明nk1時(shí)猜想正確由知，對(duì)于任意nN*，都有an.1設(shè)f(n)1(nN*)，求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)證明 當(dāng)n2時(shí)，左邊f(xié)(1)1，右邊21，左邊右邊，等式成立假設(shè)nk(k2，kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論仍然成立由可知，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)2用數(shù)學(xué)歸納法證明11n(nN*)證明 當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，1，即命題成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)命題成立，即11k，則當(dāng)nk1時(shí)，112k·1，又1k2k·(k1)，即nk1時(shí)，命題成立由可知，命題對(duì)所有nN*都成立3將正整數(shù)作如下分組：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，分別計(jì)算各組包含的正整數(shù)的和如下，試猜測(cè)S1S3S5S2n1的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，解析 由題意知，當(dāng)n1時(shí)，S1114；當(dāng)n2時(shí)，S1S31624；當(dāng)n3時(shí)，S1S3S58134；當(dāng)n4時(shí)，S1S3S5S725644；猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，S1114，等式成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，當(dāng)nk1時(shí)，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，所以當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立根據(jù)和，可知對(duì)于任意的nN*，S1S3S5S2n1n4都成立4已知函數(shù)f(x)xxln x，數(shù)列an滿足0<a1<1，an1f(an)，nN*.證明：對(duì)任意nN*，不等式0<an<1都成立證明 由f(x)xxln x，得f(x)ln x，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)ln x>0，故f(x)在x(0,1)時(shí)為單調(diào)遞增函數(shù)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意nN*，不等式0<an<1都成立當(dāng)n1時(shí)，已知0<a1<1，不等式成立；又當(dāng)n2時(shí)，由a1ln a1<0，得a2f(a1)a1a1ln a1>a1>0，且有a2f(a1)a1a1ln a1<f(1)1，即0<a2<1，不等式也成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，有0<ak<ak1<1成立，則當(dāng)nk1時(shí)，由f(x)在x(0,1)時(shí)為單調(diào)遞增函數(shù)，且0<a1ak<ak1<1，得f(ak)<f(ak1)<f(1)，即ak1<ak2<1，又ak1>0，所以有0<ak1<ak2<1，不等式也成立綜合知，對(duì)任意nN*，不等式0<an<1都成立易錯(cuò)點(diǎn)歸納不準(zhǔn)錯(cuò)因分析：歸納時(shí)找不準(zhǔn)規(guī)律；使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，不能完成由nk到nk1的轉(zhuǎn)化【例1】 由下列不等式：1>，1>1,1>，1>2，你能猜想得到一個(gè)怎樣的一般不等式？用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論解析 根據(jù)給出的幾個(gè)不等式：1>，1>1,1>，1>2，即一般不等式為1>.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n1時(shí)，1>，猜想正確假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)猜想成立，即不等式為1>，則當(dāng)nk1時(shí)，1>>，即當(dāng)nk1時(shí)，猜想也成立，所以對(duì)任意的nN*，不等式成立【跟蹤訓(xùn)練1】 設(shè)a11，an11(nN*)，求a2，a3，an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論解析 a22，a31，可寫為a11，a21，a31.因此猜想an1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式：當(dāng)n1時(shí)結(jié)論顯然成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即ak1，則ak1111.這就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立綜上可知，an1(nN*)課時(shí)達(dá)標(biāo)第38講解密考綱在高考中，數(shù)學(xué)歸納法常在壓軸題中使用，考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明：“(n1)·(n2)··(nn)2n·1·3··(2n1)”，從“k到k1”左端需增乘的代數(shù)式為(B)A2k1B2(2k1)CD解析 當(dāng)nk時(shí)，有(k1)·(k2)··(kk)2k·1·3··(2k1)，則當(dāng)nk1時(shí)，有(k2)(k3)··(2k1)(2k2)顯然增乘的2(2k1)2用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n21對(duì)于nn0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取(C)A2B3C5D6解析 n4時(shí)，24421；n5時(shí)，25521，故n05.3已知f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的關(guān)系是(A)Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2解析 f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2，故選A4(2018·安徽黃山模擬)已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明12時(shí)，若已假設(shè)nk(k2且k為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證(B)Ank1時(shí)等式成立Bnk2時(shí)等式成立Cn2k2時(shí)等式成立Dn2(k2)時(shí)等式成立解析 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法步驟可知，要證n為正偶數(shù)對(duì)原式成立，已知假設(shè)nk(k2且k為偶然)時(shí)，命題為真，則下一步需證下一個(gè)正偶數(shù)即nk2時(shí)命題為真，故選B5設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命題總成立的是(D)A若f(1)<1成立，則f(10)<100成立B若f(2)<4成立，則f(1)1成立C若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立解析 A，B項(xiàng)與題設(shè)中不等方向不同，故A，B項(xiàng)錯(cuò)；C項(xiàng)中，應(yīng)該是k3時(shí)，均有f(k)k2成立；D項(xiàng)符合題意6對(duì)于不等式<n1(nN*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，<11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，不等式成立，即<k1，則當(dāng)nk1時(shí)，<(k1)1，所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立(D)A過(guò)程全部正確Bn1驗(yàn)證不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1推理不正確解析 在nk1時(shí)，沒有應(yīng)用nk時(shí)的假設(shè)，即從nk到nk1的推理不正確，故選D二、填空題7用數(shù)學(xué)歸納法證明1<n(nN*，n>1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是_1<2_.解析 由nN*，n>1知，n取第一個(gè)值n02，當(dāng)n2時(shí)，不等式為1<2.8設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的自然數(shù)n都有(Sn1)2anSn，通過(guò)計(jì)算S1，S2，S3，猜想Sn_.解析 由(S11)2S，得：S1；由(S21)2(S2S1)S2，得：S2；由(S31)2(S3S2)S3，得：S3.猜想Sn.9設(shè)平面上n個(gè)圓周最多把平面分成f(n)個(gè)平面區(qū)域，則f(2)_4_，f(n)_n2n2_(n1，nN*)解析 易知2個(gè)圓周最多把平面分成4片；n個(gè)圓周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1個(gè)圓周，為使得到盡可能多的平面區(qū)域，第n1個(gè)應(yīng)與前面n個(gè)都相交且交點(diǎn)均不同，有n條公共弦，其端點(diǎn)把第n1個(gè)圓周分成2n段，每段都把已知的某一片劃分成2片，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，而f(1)2，從而f(n)n2n2.三、解答題10求證：1(nN*)證明 當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊，左邊右邊，等式成立假設(shè)nk(kN*)時(shí)等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，.即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立綜合，可知，對(duì)一切nN*等式成立11用數(shù)學(xué)歸納法證明1<2(nN*，n2)證明 當(dāng)n2時(shí)，1<2，命題成立假設(shè)nk(k2，且kN*)時(shí)命題成立，即1<2.當(dāng)nk1時(shí)，1<2<222，命題成立由，知原不等式在nN*，n2時(shí)均成立12已知函數(shù)f(x)x3x，數(shù)列an滿足條件：a11，an1f(an1)，試比較與1的大小，并說(shuō)明理由解析 f(x)x21，且an1f(an1)，an1(an1)21.函數(shù)g(x)(x1)21在1，)上是增函數(shù)，于是由a11，得a2(a11)21221，進(jìn)而a3(a21)21241>231，由此猜想：an2n1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想：當(dāng)n1時(shí)，a12111，結(jié)論成立；假設(shè)nk(k1且kN*)時(shí)結(jié)論成立，即ak2k1.當(dāng)nk1時(shí)，由g(x)(x1)21在區(qū)間1，)上是增函數(shù)知ak1(ak1)2122k12k11，即nk1時(shí)，結(jié)論也成立由知，對(duì)任意nN*，都有an2n1.即1an2n，1n<1.10