2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第1節(jié) 函數(shù)及其表示教學案 文（含解析）北師大版

第一節(jié)函數(shù)及其表示考綱傳真1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用(函數(shù)分段不超過三段)1函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A，B設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集設(shè)A，B是兩個非空的集合對應關(guān)系f：AB如果按照某個對應關(guān)系f，對于集合A中任何一個數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對應如果按某一個確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的每一個元素x，B中總有唯一一個元素y與之對應名稱稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱f：AB為從集合A到集合B的一個映射記法函數(shù)yf(x)，xA映射：f：AB2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，自變量x的取值范圍(數(shù)集A)叫做函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域(2)函數(shù)的三要素：定義域、對應關(guān)系和值域(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)(4)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法3分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)求函數(shù)定義域的依據(jù)(1)整式函數(shù)的定義域為R；(2)分式的分母不為零；(3)偶次根式的被開方數(shù)不小于零；(4)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；(5)正切函數(shù)ytan x的定義域為；(6)x0中x0；(7)實際問題中除要考慮函數(shù)解析式有意義外，還應考慮實際問題本身的要求基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)是特殊的映射()(2)函數(shù)y1與yx0是同一個函數(shù)()(3)與x軸垂直的直線和一個函數(shù)的圖像至多有一個交點()(4)分段函數(shù)是兩個或多個函數(shù)()答案(1)(2)×(3)(4)×2(教材改編)函數(shù)y的定義域為()AB(，3)(3，)C(3，)D(3，)C由題意知解得x且x3.3設(shè)函數(shù)f(x)則f(f(3)等于()AB3CDDf(3)，f(f(3)f 1，故選D.4下列函數(shù)中，與函數(shù)yx1是相等函數(shù)的是()Ay()2By1Cy1Dy1By1x1，且函數(shù)定義域為R，故選B5已知函數(shù)f(x)，若f(a)5，則實數(shù)a的值為_12由f(a)5得5，解得a12.求函數(shù)的定義域【例】(1)(2019·黃山模擬)函數(shù)y的定義域為()A(2,1)B2,1C(0,1)D(0,1(2)若函數(shù)yf(x)的定義域為0,2，則函數(shù)g(x)的定義域是_(3)已知函數(shù)yf(x21)的定義域為，則函數(shù)yf(x)的定義域為_(1)C(2)0,1)(3)1,2(1)由題意得，解得0x1，故選C(2)由02x2，得0x1，又x10，即x1，所以0x<1，即g(x)的定義域為0,1)(3)由函數(shù)yf(x21)的定義域為，得1x212，即函數(shù)yf(x)的定義域為1,2規(guī)律方法常見函數(shù)定義域的類型及求解策略(1)已知函數(shù)解析式，構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解(2)實際問題：由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解(3)抽象函數(shù)：若已知函數(shù)f(x)的定義域為a，b，其復合函數(shù)f(g(x)的定義域由不等式ag(x)b求出；若已知函數(shù)f(g(x)的定義域為a，b，則f(x)的定義域為g(x)在xa，b時的值域；已知f(x)定義域為m，n，求fh(x)定義域，先求(x)值域a，b，令ah(x)b，解出x即可易錯警示：求定義域時，對解析式不要化簡，求出定義域后一定要將其寫成集合或區(qū)間形式 (1)函數(shù)f(x)lg(3x1)的定義域是()ABCD(2)已知函數(shù)f(2x)的定義域為1,1，則f(x)的定義域為_(1)A(2)(1)由題意可知解得x1，故選A(2)f(2x)的定義域為1,1，2x2，即f(x)的定義域為.求函數(shù)的解析式【例2】(1)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)2，f(x1)f(x)x1，則f(x)_.(2)已知f(2x1)4x26x5，則f(x)_.(3)已知f(x)2fx(x0)，則f(x)_.(1)x2x2(2)x25x9(3)(1)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即2axabx1，即f(x)x2x2.(2)法一(配湊法)f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9，f(x)x25x9.法二(換元法)令2x1t(tR)，則x，所以f(t)46×5t25t9，所以f(x)x25x9.(3)f(x)2f x，f 2f(x).聯(lián)立方程組解得f(x)(x0)規(guī)律方法求函數(shù)解析式的常用方法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法；(2)換元法：已知復合函數(shù)f(g(x)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；(3)消去法：已知關(guān)于f(x)與f 或f(x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式，通過解方程組求出f(x)；(4)配湊法：由已知條件f(g(x)F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，即得f(x)的表達式 (1)已知f(1)x2，則f(x)_.(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且2f(x1)f(x1)6x，則f(x)_.(3)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)2f(x)2x，則f(x)_.(1)x21(x1)(2)2x(3)(1)(換元法)設(shè)1t(t1)，則t1，所以f(t)(t1)22(t1)t21(t1)，所以f(x)x21(x1)(配湊法)f(1)x2(1)21，又11，f(x)x21(x1)(2)f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)kxb(k0)，由2f(x1)f(x1)6x，得2k(x1)bk(x1)b6x，即3kxk3b6x，k2，b，即f(x)2x.(3)由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x ，×2，得3f(x)2x12x.即f(x).f(x)的解析式為f(x).分段函數(shù)考法1求分段函數(shù)的函數(shù)值【例3】(1)若f(x)，則f ()A2B3C9D9(2)已知函數(shù)f(x)，則f 的值為()A1B1CD(1)C(2)B(1)f log32，則f f(2)29.(2)f f 1f 112cos22×21，故選B考法2求參數(shù)或自變量的值【例4】(1)已知f(x)若f(a)2，則實數(shù)a的值為()A2B1或2C±1或2D1或2(2)設(shè)函數(shù)f(x)若f 4，則b()A1 BCD(1)B(2)D(1)由f(a)2得或解得a2或a1，故選B(2)f f f .當b1，即b時，3×b4，解得b(舍去)當b1，即b時，2b4，解得b.故選D.考法3解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式【例5】(1)(2019·青島模擬)設(shè)f(x)若f(a)f(a1)，則f()A2B4C6D8(2)(2017·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x)f 1的x的取值范圍是_(1)C(2)(1)法一：當0a1時，a11，f(a)，f(a1)2(a11)2a.由f(a)f(a1)得2a，a.此時f f(4)2×(41)6.當a1時，a11，f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a.由f(a)f(a1)得2(a1)2a，無解綜上，f 6，故選C法二：當0x1時，f(x)，為增函數(shù)，當x1時，f(x)2(x1)，為增函數(shù)，又f(a)f(a1)，2(a11)，a.ff(4)6.(2)當x0時，原不等式為x1x>1，解得x>，<x0.當0<x時，原不等式為2xx>1，顯然成立當x>時，原不等式為2x2x>1，顯然成立綜上可知，x的取值范圍是.規(guī)律方法1.求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于定義域的哪一個子集，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a)的形式時，應從內(nèi)到外依次求值2已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍時，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍易錯警示：當分段函數(shù)自變量的范圍不確定時，應分類討論 (1)設(shè)函數(shù)f(x)則f(2)f(log212)()A3B6C9D12(2)已知函數(shù)f(x)若f(f(1)2，則實數(shù)m的值為()A1B1或1CD或(3)設(shè)函數(shù)f(x)則使得f(x)2成立的x的取值范圍是_(1)C(2)D(3)(，8(1)2<1，f(2)1log2(22)1log24123.log212>1，f(log212)2log21216.f(2)f(log212)369.故選C(2)f(f(1)f(1m2)log2(1m2)2，m23，解得m±，故選D.(3)當x<1時，x1<0，ex1<e012，當x<1時滿足f(x)2.當x1時，x2，x238，1x8.綜上可知x(，81(2015·全國卷)已知函數(shù)f(x)且f(a)3，則f(6a)()A BC DA分類討論處理條件f(a)3，解得a，然后代入函數(shù)解析式計算f(6a)由于f(a)3，若a1，則2a123，整理得2a11.由于2x>0，所以2a11無解；若a>1，則log2(a1)3，解得a18，a7，所以f(6a)f(1)2112.綜上所述，f(6a).故選A2(2015·全國卷)已知函數(shù)f(x)ax32x的圖像過點(1,4)，則a_.2將已知點代入函數(shù)解析式即可求得a的值f(x)ax32x的圖像過點(1,4)，4a×(1)32×(1)，解得a2.- 9 -