2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)列的概念與簡單表示法教案 新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)列的概念與簡單表示法教案 新人教A版自主梳理1數(shù)列的定義按照_著的一列數(shù)叫數(shù)列，數(shù)列中的_都叫這個數(shù)列的項；在函數(shù)意義下，數(shù)列是_的函數(shù)，數(shù)列的一般形式為：_，簡記為an，其中an是數(shù)列的第_項1一定順序排列每一個數(shù)定義域為N*(或它的子集)a1，a2，a3，an，n2通項公式：如果數(shù)列an的_與_之間的關(guān)系可以_來表示，那么這個式子叫做數(shù)列的通項公式但并非每個數(shù)列都有通項公式，也并非都是唯一的2.第n項n用一個公式3數(shù)列有三種表示法：它們分別是_、_、_.解析法(通項公式或遞推公式)列表法圖象法4數(shù)列的分類：數(shù)列按項數(shù)來分，分為_、_；按項的增減規(guī)律分為_、_、_和_遞增數(shù)列an1_an；遞減數(shù)列an1_an；常數(shù)列an1_an.按其他標(biāo)準(zhǔn)分類 有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M擺動數(shù)列 an的符號正負(fù)相間，如1，1,1，1，4.有窮數(shù)列無窮數(shù)列遞增數(shù)列遞減數(shù)列擺動數(shù)列常數(shù)列 ><5an與Sn的關(guān)系：已知Sn，則anS1SnSn11.對數(shù)列概念的理解(1)數(shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)，這有別于集合中元素的無序性.因此，若組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個數(shù)列.(2)數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn).(3)數(shù)列的項與項數(shù)：數(shù)列的項與項數(shù)是兩個不同的概念，數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應(yīng)的位置序號.2.數(shù)列的函數(shù)特征數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)的函數(shù)解析式，即f(n)an (nN*).自我檢測1設(shè)ann210n11，則數(shù)列an從首項到第幾項的和最大 ()A10B11C10或11D122.已知數(shù)列an的通項公式ann (nN*)，則數(shù)列an的最小項是 ()A.a12 B.a13 C.a12或a13 D.不存在3.在數(shù)列an中，a11，a25，an2an1an (nN*)，則a100等于 ()A.1 B.1 C.5 D.54已知數(shù)列an對任意的p，qN*滿足apqapaq，且a26，那么a10等于 ()A165B33C30D215已知數(shù)列1，按此規(guī)律，則這個數(shù)列的通項公式是()Aan(1)n· Ban(1)n·Can(1)n· Dan(1)n·6下列對數(shù)列的理解：數(shù)列可以看成一個定義在N*(或它的有限子集1,2,3，n)上的函數(shù)；數(shù)列的項數(shù)是有限的；數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點；數(shù)列的通項公式是唯一的其中說法正確的序號是 ()ABCD7.已知數(shù)列an的前4項為1,3,7,15，寫出數(shù)列an的一個通項公式為_ an2n1 (nN*)_.8.已知數(shù)列，2，根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，2應(yīng)該是該數(shù)列的第_7_項.9.若數(shù)列an的前n項和Snn210n (n1,2,3，)，則此數(shù)列的通項公式為an_.2n11_；數(shù)列nan中數(shù)值最小的項是第_項.10在數(shù)列an中，若a11，a2， (nN*)，則該數(shù)列的通項an_.題型一由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式探究點一由數(shù)列前幾項求數(shù)列通項例1根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式：(1)1,7，13,19，； (2)0.8,0.88,0.888，；(3)，； (4)，1，；(5)0,1,0,1，. (6)，；解題導(dǎo)引根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，要使用添項、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項公式來求；解(1)符號問題可通過(1)n或(1)n1表示，其各項的絕對值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對值總比前面數(shù)的絕對值大6，故通項公式為an(1)n(6n5).(2)將數(shù)列變形為(10.1)，(10.01)，(10.001)，an.(3)各項的分母分別為21,22,23,24，易看出第2,3,4項的分子分別比分母少3.因此把第1項變?yōu)?，原?shù)列可化為，an(1)n·.(4)將數(shù)列統(tǒng)一為，對于分子3,5,7,9，是序號的2倍加1，可得分子的通項公式為bn2n1，對于分母2,5,10,17，聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16，即數(shù)列n2，可得分母的通項公式為cnn21，因此可得它的一個通項公式為an.(5)an或an或an. (6)原數(shù)列為，an.探究提高(1)據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征：分式中分子、分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后的各部分特征；各項符號特征等，并對此應(yīng)多進(jìn)行對比分析、從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想.(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗，對于正負(fù)符號變化，可用(1)n或(1)n1來調(diào)整.變式訓(xùn)練1寫出下列數(shù)列的一個通項公式：(1)3,5,9,17,33，；(2)，2，8，；(3)，2，；(4)3,5,7,9，；(5)，；(6)1，；(7)3,33,333,3 333，.解(1)a13211，a25221，a39231，an2n1.(2)將數(shù)列中各項統(tǒng)一成分母為2的分?jǐn)?shù)，得，觀察知，各項的分子是對應(yīng)項數(shù)的平方，數(shù)列通項公式是an.(3)將數(shù)列各項統(tǒng)一成的形式得，；觀察知，數(shù)列各項的被開方數(shù)逐個增加3，且被開方數(shù)加1后，又變?yōu)?,6,9,12，所以數(shù)列的通項公式是an. (4)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an2n1.(5)每一項的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，所以an.(6)奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，故通項公式中含因子(1)n；各項絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，；而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項為1，偶數(shù)項為3，即奇數(shù)項為21，偶數(shù)項為21，所以an(1)n·.也可寫為an.(7)將數(shù)列各項改寫為，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031,1041，所以an(10n1).題型二已知數(shù)列的遞推公式求通項公式例2根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項公式.(1)a12，an1ann；(2)an1an3n2，且a12，(3)a11,2n1anan1 (n2) (4)a11，anan1 (n2)；(5)a11，an13an2；解(1)當(dāng)n1,2,3，n1時，可得n1個等式，anan1n1，an1an2n2，a2a11，將其相加，得ana1123(n1)ana12.(2)an1an3n2，anan13n1 (n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 (n2).當(dāng)n1時，a1×(3×11)2符合公式，ann2. (3)方法一an·····a1n1·n2··2·112(n1)，an.方法二由2n1anan1，得ann1an1.ann1an1n1·n2an2n1·n2··1a1(n1)(n2)21(4)anan1 (n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)個式子相乘得ana1····. (5)an13an2，an113(an1)，3，數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3，又a112，an12·3n1，an2·3n11.探究提高已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解.當(dāng)出現(xiàn)anan1m時，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anxan1y時，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)f(n)時，用累乘法求解.變式訓(xùn)練2 根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項公式. (1) a12，an1anln.(2)a11，an1(n1)an；(3) 在數(shù)列an中，a11，an1；(4)在數(shù)列an中，an13a，a13；(5) 在數(shù)列an中，a12，an14an3n1；(6) 在數(shù)列an中，a18，a22，且滿足an24an13an0.(7) 數(shù)列an滿足an1若a1，則a2 010的值為_解(1) an1anln，an1anlnln .anan1ln ，an1an2ln ，a2a1ln ，累加可得，ana1ln ln ln ln nln(n1)ln(n1)ln(n2)ln 2ln 1ln n.又a12，anln n2.(2)an1(n1)an，n1.n，n1，3，2，a11.累乘可得，ann×(n1)×(n2)××3×2×1n！.故ann！.(3) 將an1取倒數(shù)得：2，2，又1，是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.12(n1)，an.(4)由已知an>0，在遞推關(guān)系式兩邊取對數(shù).有l(wèi)g an12lg anlg 3，令bnlg an，則bn12bnlg 3，bn1lg 32(bnlg 3)，bnlg 3是等比數(shù)列，bnlg 32n1·2lg 32nlg 3，bn2nlg 3lg 3(2n1)lg 3lg an，an32n1.(5) 由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，又a111，所以數(shù)列ann是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列，ann(a11)4n1，an4n1n. (6) 將an24an13an0變形為an2an13(an1an)，則數(shù)列an1an是以a2a16為首項，3為公比的等比數(shù)列，則an1an6·3n1，利用累加法可得an113n.題型三由an與Sn的關(guān)系求通項an例3（1）已知數(shù)列an的前n項和Sn2n23n1，求an的通項公式解當(dāng)n1時，a1S12×123×110；當(dāng)n2時，anSnSn1(2n23n1)2(n1)23(n1)14n5；又n1時，an4×151a1，an（2）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和滿足Sn>1，且6Sn(an1)(an2)，nN*.求an的通項公式.解由a1S1(a11)(a12)，解得a11或a12，由已知a1S1>1，因此a12.又由an1Sn1Sn(an11)(an12)(an1)(an2)，得an1an30或an1an.因為an>0，故an1an不成立，舍去.因此an1an30.即an1an3，從而an是公差為3，首項為2的等差數(shù)列，故an的通項為an3n1.探究提高(1)已知an的前n項和Sn，求an時應(yīng)注意以下三點：an與Sn的關(guān)系式anSnSn1的條件是n2，求an時切勿漏掉n1，即a1S1的情況由SnSn1an推得的an，當(dāng)n1時，a1也適合“an式”，則需統(tǒng)一“合寫”.由SnSn1an推得的an，當(dāng)n1時，a1不適合“an式”，則數(shù)列的通項公式應(yīng) 分段表示(“分寫”)，即an(2)利用Sn與an的關(guān)系求通項是一個重要內(nèi)容，應(yīng)注意Sn與an間關(guān)系的靈活運用.變式訓(xùn)練3(1)已知an的前n項和Sn3nb，求an的通項公式(2)已知在正項數(shù)列an中，Sn表示前n項和且2an1，求an.解(1)a1S13b，當(dāng)n2時，anSnSn1(3nb)(3n1b)2·3n1.當(dāng)b1時，a1適合此等式；當(dāng)b1時，a1不適合此等式當(dāng)b1時，an2·3n1；當(dāng)b1時，an.(2)由2an1，得Sn2，當(dāng)n1時，a1S12，得a11；當(dāng)n2時，anSnSn122，整理，得(anan1)(anan12)0，數(shù)列an各項為正，anan1>0.anan120.數(shù)列an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列ana1(n1)×22n1.(3) 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an2 (n1) (nN*).求證：數(shù)列an為等差數(shù)列，并分別寫出an和Sn關(guān)于n的表達(dá)式；是否存在自然數(shù)n，使得S1(n1)22 013？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由.解由an2(n1)，得Snnan2n(n1) (nN*).當(dāng)n2時，anSnSn1nan(n1)·an14(n1)，即anan14，數(shù)列an是以a11為首項，4為公差的等差數(shù)列.于是，an4n3，Sn2n2n (nN*). 由Snnan2n(n1)，得2n1 (nN*)，S1(n1)21357(2n1)(n1)2n2(n1)22n1.令2n12 013，得n1 007，即存在滿足條件的自然數(shù)n1 007.題型四用函數(shù)的思想方法解決數(shù)列問題數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列.因此，在研究函數(shù)問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性.例4已知數(shù)列an. (1)若ann25n4，數(shù)列中有多少項是負(fù)數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值.(2)若ann2kn4且對于nN*，都有an1>an成立.求實數(shù)k的取值范圍.(1)求使an<0的n值；從二次函數(shù)看an的最小值.(2)數(shù)列是一類特殊函數(shù)，通項公式可以看作相應(yīng)的解析式f(n)n2kn4.f(n)在N*上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù). 解(1)由n25n4<0，解得1<n<4.nN*，n2,3.數(shù)列中有兩項是負(fù)數(shù)，即為a2，a3.ann25n42的對稱軸方程為n.又nN*，n2或n3時，an有最小值，其最小值為a2a32.(2)由an1>an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又因為通項公式ann2kn4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到nN*，所以<，即得k>3. (1)本題給出的數(shù)列通項公式可以看做是一個定義在正整數(shù)集N*上的二次函數(shù)，因此可以利用二次函數(shù)的對稱軸來研究其單調(diào)性，得到實數(shù)k的取值范圍，使問題得到解決.(2)在利用二次函數(shù)的觀點解決該題時，一定要注意二次函數(shù)對稱軸位置的選取.(3)易錯分析：本題易錯答案為k>2.原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量是正整數(shù).(3)已知數(shù)列an的通項an(n1)n (nN*)，試問該數(shù)列an有沒有最大項？若有，求出最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由解方法一令，n9或n10時，an最大，即數(shù)列an有最大項，此時n9或n10.方法二an1an(n2)·n1(n1)·nn·，當(dāng)n<9時，an1an>0，即an1>an；當(dāng)n9時，an1an0，即an1an；當(dāng)n>9時，an1an<0，即an1<an.故a1<a2<a3<<a9a10>a11>a12>，數(shù)列an中有最大項，為第9、10項有關(guān)數(shù)列的最大項、最小項，數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性常用作差法，作商法，圖象法求最大項時也可用an滿足；若求最小項，則用an滿足.數(shù)列實質(zhì)就是一種特殊的函數(shù)，所以本題就是用函數(shù)的思想求最值方法與技巧1.求數(shù)列通項或指定項.通常用觀察法(對于交錯數(shù)列一般用(1)n或(1)n1來區(qū)分奇偶項的符號)；已知數(shù)列中的遞推關(guān)系，一般只要求寫出數(shù)列的前幾項，若求通項可用歸納、猜想和轉(zhuǎn)化的方法.2.強(qiáng)調(diào)an與Sn的關(guān)系：an.3.已知遞推關(guān)系求通項：對這類問題的要求不高，但試題難度較難把握.一般有三種常見思路：(1)算出前幾項，再歸納、猜想；(2)“an1panq”這種形式通常轉(zhuǎn)化為an1p(an)，由待定系數(shù)法求出，再化為等比數(shù)列；(3)逐差累加或累乘法.數(shù)列的概念與簡單表示法一、選擇題1.下列說法正確的是 ()A.數(shù)列1,3,5,7可表示為1,3,5,7B.數(shù)列1,0，1，2與數(shù)列2，1,0,1是相同的數(shù)列C.數(shù)列的第k項為1 D.數(shù)列0,2,4,6，可記為2n2.數(shù)列an中，a1a21，an2an1an對所有正整數(shù)n都成立，則a10等于()A.34 B.55 C.89 D.1003.如果數(shù)列an的前n項和Snan3，那么這個數(shù)列的通項公式是()A.an2(n2n1) B.an3·2nC.an3n1D.an2·3n二、填空題4.已知數(shù)列an對于任意p，qN*，有apaqapq，若a1，a36_4_.5.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，對任意nN*都有Snan，且1<Sk<9 (kN*)，則a1的值為_1_，k的值為_4_.6.已知a12，an1an2n1 (nN*)，則an_ n21_.三、解答題7.數(shù)列an的通項公式是ann27n6.(1)這個數(shù)列的第4項是多少？(2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？(3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？解(1)當(dāng)n4時，a4424×766.(2)令an150，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是這個數(shù)列的第16項.(3)令ann27n6>0，解得n>6或n<1(舍).從第7項起各項都是正數(shù).一、選擇題1.已知數(shù)列an滿足a12，an1 (nN*)，則a1·a2··a2 011的值為 ()A.3 B.1 C.2 D.32.數(shù)列an滿足anan1 (nN*)，a22，Sn是數(shù)列an的前n項和，則S21為()A.5 B. C. D.3.數(shù)列an中，a11，對于所有的n2，nN*都有a1·a2·a3··ann2，則a3a5等于()A. B. C. D.1設(shè)數(shù)列an的前n項和Snn2，則a8的值為 ()A15B16C49D642已知數(shù)列an的通項公式是an，那么這個數(shù)列是 ()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C擺動數(shù)列D常數(shù)列3已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2(an1)，則a2等于 ()A4B2C1D24數(shù)列an中，若an1，a11，則a6等于 ()A13B.C11D.5數(shù)列an滿足anan1 (nN*)，a22，Sn是數(shù)列an的前n項和，則S21為 ()A5B.C.D.二、填空題4.已知數(shù)列an中，a1，an11 (n2)，則a16_.5.數(shù)列，中，有序數(shù)對(a，b)是_.6.若數(shù)列中的最大項是第k項，則k_4_.7已知Sn是數(shù)列an的前n項和，且有Snn21，則數(shù)列an的通項an_.8將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：123456789101112131415根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n (n3)行從左至右的第3個數(shù)是_三、解答題7.已知數(shù)列an中，an1 (nN*，aR，且a0).(1)若a7，求數(shù)列an中的最大項和最小項的值；(2)若對任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范圍. 7.解(1)an1 (nN*，aR，且a0)，a7，an1.結(jié)合函數(shù)f(x)1的單調(diào)性.可知1>a1>a2>a3>a4； a5>a6>a7>>an>1 (nN*).數(shù)列an中的最大項為a52，最小項為a40.(2)an11.對任意的nN*，都有ana6成立，并結(jié)合函數(shù)f(x)1的單調(diào)性，5<<6，10<a<8.9寫出下列各數(shù)列的一個通項公式(1)1，2，3，4，； (2)1，.9解(1)a11，a22，a33，ann(nN*)(2)a1，a2，a3， a4，an(1)n·(nN*)10由下列數(shù)列an遞推公式求數(shù)列an的通項公式：(1)a11，anan1n (n2)； (2)a11， (n2)；(3)a11，an2an11 (n2)10解(1)由題意得，anan1n，an1an2n1，a3a23，a2a12.將上述各式等號兩邊累加得， ana1n(n1)32，即ann(n1)321，故an. (2)由題意得，.將上述各式累乘得，故an (3)由an2an11，得an12(an11)，又a1120，所以2，即數(shù)列an1是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列所以an12n，即an2n111已知數(shù)列an的前n項和Sn2n22n，數(shù)列bn的前n項和Tn2bn.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)設(shè)cna·bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n3時，cn1<cn.11(1)解a1S14對于n2有anSnSn12n(n1)2(n1)n4n.a1也適合，an的通項公式an4n將n1代入Tn2bn，得b12b1，故T1b11(求bn方法一)對于n2，由Tn12bn1，Tn2bn，得bnTnTn1(bnbn1)，bnbn1，bn21n (求bn方法二)對于n2，由Tn2bn得Tn2(TnTn1)，2Tn2Tn1，Tn2(Tn12)，Tn221n(T12)21n， Tn221n，bnTnTn1(221n)(222n)21n.b11也適合綜上，bn的通項公式bn21n. (2)證明方法一由cna·bnn225n，得2當(dāng)且僅當(dāng)n3時，1<，<·()21，又cnn2·25n>0，即cn1<cn方法二由cna·bnn225n，得cn1cn24n(n1)22n224n(n1)22當(dāng)且僅當(dāng)n3時，cn1cn <0，即cn1< cn.