2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語(yǔ)章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修2-1
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2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語(yǔ)章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修2-1
第1章 常用邏輯用語(yǔ)充分條件、必要條件與充要條件的探究【例1】已知p:2<m<0,0<n<1;q:關(guān)于x的方程x2mxn0有兩個(gè)小于1的正根試分析p是q的什么條件解若關(guān)于x的方程x2mxn0有兩個(gè)小于1的正根,設(shè)為x1,x2,則0x11,0x21,有0x1x22且0x1x21.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得即2m0,0n1,故有qp.反之,取m,n,那么方程變?yōu)閤2x0,則4×0,此時(shí)方程x2mxn0無(wú)實(shí)根,所以pq.綜上所述,p是q的必要不充分條件對(duì)于充分條件、必要條件與充分必要條件的判定,實(shí)際上是對(duì)命題真假的判定,記“若p,則q”為真命題,記為“pq”,“若p,則q”為假命題,記為“pq”.提醒:充分條件、必要條件與充要條件的探究,需要從兩個(gè)方面加以論證,切勿漏掉其中一個(gè)方面.1已知p:x|2x10,q:x|x22x1m20,m0,若p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍解法一:令A(yù)x|2x10,Bx|x22x1m20,m0x|x(1m)x(1m)0,m0x|1mx1m,m0p是q的充分不必要條件,AB.或解得m9.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m|m9法二:p是q的充分不必要條件,綈p是綈q的必要不充分條件由法一知p:Ax|2x10,q:Bx|1mx1m,m0,綈p:Cx|x2或x10,綈q:Dx|x1m或x1m,m0DC,或解得m9.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m|m9命題的否定與否命題【例2】寫出下列命題的否定和否命題:(1)若x2或x1,則x2x20;(2)若集合B真包含于集合A,則集合A包含于集合B.解(1)命題的否定:若x2或x1,則x2x20.否命題:若x2且x1,則x2x20.(2)命題的否定:若集合B真包含于集合A,則集合A不包含于集合B.否命題:若集合B不真包含于集合A,則集合A不包含于集合B.命題的否定與否命題的區(qū)別(1)定義,命題的否定一般是直接對(duì)命題的結(jié)論進(jìn)行否定,而否命題是對(duì)原命題的條件和結(jié)論分別否定組成的命題.(2)構(gòu)成形式,對(duì)于“若p,則q”形式的命題,其命題的否定為“若p,則綈q”,而其否命題的形式為“若綈p,則綈q”(3)與原命題的真假關(guān)系,命題的否定與原命題的真假性總是相對(duì)的,即一真一假,而否命題與原命題的真假性無(wú)必然聯(lián)系.2請(qǐng)寫出下列命題的否命題和命題的否定(1)若|x|y|0,則xy0;(2)若ABC是等腰三角形,則它有兩個(gè)內(nèi)角相等;(3)若x23x40,則1x4.解(1)否命題:若|x|y|0,則x,y中至少有一個(gè)不為0;命題的否定:若|x|y|0,則x,y中至少有一個(gè)不為0.(2)否命題:若ABC不是等腰三角形,則它的任意兩個(gè)內(nèi)角都不相等;命題的否定:若ABC是等腰三角形,則它的任意兩個(gè)內(nèi)角都不相等(3)否命題:若x23x4>0,則x<1或x>4;命題的否定:若x23x40,則x<1或x>4.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用【例3】已知c>0,設(shè)p:函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減;q:不等式x|x2c|>1的解集為R.如果p和q有且僅有一個(gè)為真命題,求c的取值范圍解函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減0c1.不等式x|x2c|>1的解集為R函數(shù)yx|x2c|在R上恒大于1.x|x2c|函數(shù)yx|x2c|在R上的最小值為2c,2c1,得c.如果p真q假,則解得0<c;如果q真p假,則解得c1.c的取值范圍為1,)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是包含在化歸思想中的一種比較具體的數(shù)學(xué)思想,本章主要體現(xiàn)在四種命題間的相互轉(zhuǎn)化與集合之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化、原命題與其逆否命題之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化等,即以充要條件為基礎(chǔ),把同一種數(shù)學(xué)意義的內(nèi)容從一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式,從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、具體化.3已知命題p:(x1)(x5)0,命題q:1mx<1m(m>0)(1)若p是q的充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若m5,“pq”為真命題,“pq”為假命題,求實(shí)數(shù)x的取值范圍解(1)由命題p:(x1)(x5)0,解得1x5.命題q:1mx1m(m>0)p是q的充分條件,1,51m,1m),解得m4,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(4,)(2)m5,命題q:4x<6.“pq”為真命題,“pq”為假命題,命題p,q為一真一假當(dāng)p真q假時(shí),可得解得x.當(dāng)q真p假時(shí),可得解得4x<1或5<x<6.因此x的取值范圍是4,1)(5,6).分類討論思想的應(yīng)用【例4】已知關(guān)于x的方程(mZ):mx24x40,x24mx4m24m50,求方程和的根都是整數(shù)的充要條件解當(dāng)m0時(shí),方程的根為x1,方程化為x250,無(wú)整數(shù)根,m0.當(dāng)m0時(shí),方程有實(shí)數(shù)根的充要條件是164×4m0m1;方程有實(shí)數(shù)根的充要條件是16m24(4m24m5)0m.m1.又mZ,m1或m1.當(dāng)m1時(shí),方程為x24x40,無(wú)整數(shù)根;當(dāng)m1時(shí),方程為x24x40,方程為x24x50.此時(shí)和均有整數(shù)根綜上,方程和均有整數(shù)根的充要條件是m1.分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想之一,利用分類討論思想解答問(wèn)題已成為高考中考查學(xué)生知識(shí)和能力的熱點(diǎn).解題中要找清討論的標(biāo)準(zhǔn).4已知p:2;q:x2axxa.若綈p是綈q的充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解p:2,0,即1x3.又q:x2axxa,x2(a1)xa0.當(dāng)a1時(shí),ax1;當(dāng)a1時(shí),x1;當(dāng)a1時(shí),1xa.設(shè)q對(duì)應(yīng)的集合為A,p對(duì)應(yīng)的集合為B,綈p是綈q的充分條件RBRA,即AB.當(dāng)a1時(shí),AB,不合題意;當(dāng)a1時(shí),AB,符合題意;當(dāng)a1時(shí),1xa,要使AB,則1a3.綜上,符合條件的a1,3)- 6 -