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2018高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用 第1-2節(jié) 導數(shù)的概念及運算學案 理 蘇教版選修2-2

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2018高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用 第1-2節(jié) 導數(shù)的概念及運算學案 理 蘇教版選修2-2

第1-2節(jié) 導數(shù)的概念及運算一、學習目標: 1. 了解導數(shù)概念的某些實際背景(如瞬時速度、加速度、光滑曲線的切線的斜率等);掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義;理解導數(shù)的概念。 2. 熟記常函數(shù)C,冪函數(shù)xn(n為有理數(shù)),三角函數(shù)sinx,cosx,指數(shù)函數(shù)ex,ax,對數(shù)函數(shù)lnx,logax的導數(shù)公式;掌握兩個函數(shù)四則運算的求導法則; 3. 掌握復合函數(shù)的求導法則,會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)。二、重點、難點重點:導數(shù)的概念、常見函數(shù)的導數(shù)、函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)、復合函數(shù)的導數(shù)。難點:導數(shù)的概念、復合函數(shù)的導數(shù)。三、考點分析:1. 導數(shù)既是研究函數(shù)性態(tài)的有力工具,又是進行理性思維訓練的良好素材。導數(shù)的概念與幾何意義,及導數(shù)的運算是每年高考的重點考查內(nèi)容之一。2. 考綱要求:理解導數(shù)概念及其幾何意義,能利用導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù),能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù)。 1. 導數(shù)的概念:設函數(shù)在處附近有定義,當自變量在處有增量時,函數(shù)相應地有增量,如果當時,趨于常數(shù)A,稱函數(shù)在點處可導,并把A叫做在處的導數(shù),記作或2. 導數(shù)的幾何意義函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義是曲線在點處的切線的斜率,也就是說,曲線在點處的切線的斜率是。相應地,切線方程為。3. 導數(shù)的運算:(1)基本函數(shù)的導數(shù)公式:;。(2)導數(shù)的運算法則:設均可導,則;(C為常數(shù));(3)復合函數(shù)的導數(shù):設均可導,則復合函數(shù)可導,且 知識點一:導數(shù)的概念例1 已知函數(shù)在=附近有意義且可導,導函數(shù)為,若=2,則趨于( )A. 2 B. C. D. 思路分析:本題是導數(shù)概念題,注意自變量的增量為。解題過程:原式=,故選D。解題后反思:對導數(shù)概念問題,注意要準確地從函數(shù)增量的式子中找出自變量的增量,緊扣函數(shù)在某一點的導數(shù)的概念:函數(shù)增量與自變量增量的比的極限值就是這一點的導數(shù)解題,本題中自變量的增量為。知識點二:導數(shù)的幾何意義例2 曲線=在點(1,1)處的切線方程為( )A. B. =0 C. =0 D. =0思路分析:先求函數(shù)在這一點的導數(shù)即切線斜率,再由點斜式寫出直線方程。解題過程:=,曲線在點(1,1)處的切線斜率=,曲線在點(1,1)處的切線方程為,即,故選B。解題后反思:對曲線的切線問題,注意利用導數(shù)的幾何意義解題,注意過某一點的切線與在某一點的切線的區(qū)別。例3 求函數(shù)=過點P(1,)的切線方程。思路分析:先設出切點坐標,求出切線方程,再利用切點既在曲線上又在切線上,列出切點坐標的方程,求出切點坐標,從而求出切線方程。解題過程:設切點Q(,),求導得=,由導數(shù)的幾何意義得曲線在點Q(,)處的切線斜率=,曲線在點(1,)處的切線方程為:=,又點Q(,)既在切線上,又在函數(shù)圖像上,解得,或,切線方程為=0或=0。解題后反思:注意過某點的切線與在某點的切線的區(qū)別,要掌握過某點的曲線的切線方程求法。知識點三:導數(shù)的實際意義例4 設球的半徑為時間t的函數(shù),若球的體積以均勻速度c增長,則球的表面積的增長速度與球的半徑A. 成正比,比例系數(shù)為c B. 成正比,比例系數(shù)為2c C. 成反比,比例系數(shù)為c D. 成反比,比例系數(shù)為2c 思路分析:求出球的表面積的導數(shù),觀察其與球的半徑的關(guān)系。解題過程:由題意可知球的體積為=,則=,由此可得=,而球的表面積為=,=,故選D;解題后反思:注意利用題中條件,球的體積以均勻速度c增長即球的體積函數(shù)的導數(shù)為常數(shù)。知識點四:導數(shù)的運算例5 求下列函數(shù)的導數(shù):; ; 。思路分析:解答本題的突破口是要分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)和特征,挖掘量的隱含條件,將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導數(shù)。解題過程:(1)(2)。;(3)令,;(4),解題后反思:(1)本題分別考查了導數(shù)的四則運算法則,復合函數(shù)求導的方法,以及抽象函數(shù)求導的思想方法和代數(shù)式等價化簡的運算能力。(2)對于函數(shù)求導,一般要遵循先化簡,再求導的基本原則,求導時,不但要重視求導法則的應用,而且要特別注意求導法則對求導的制約作用,在實施化簡時,首先必須注意變換的等價性,避免不必要的運算失誤。對復合函數(shù)求導,必須正確分析復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復合而成的,分清其間的復合關(guān)系,再按照復合函數(shù)求導法則進行求導。(3)對復雜函數(shù)進行求導時,函數(shù)的解析式能化簡的要盡量化簡,應盡量少用甚至不用乘積的求導法則,應在求導前,先用代數(shù)、三角恒等變形對函數(shù)解析式進行化簡,然后再用函數(shù)的四則運算法則的求導公式求導數(shù)。例6 (1)若曲線存在垂直于軸的切線,則實數(shù)的取值范圍是_。(2)已知函數(shù)在R上滿足=,則曲線在點處的切線方程是_。思路分析:(1)本題是函數(shù)存在斜率為0的切線問題,先求導,轉(zhuǎn)化為導數(shù)為0恒有解的問題,通過參變分離求出參數(shù)范圍。(2)先求,因是復合函數(shù),故根據(jù)復合函數(shù)的導數(shù)法則等式兩邊求導,再將=1代入,即可求出,代入點斜式即可求得切線方程。解題過程:(1)由題知函數(shù)的定義域為,求導得,又因為存在垂直于軸的切線,所以=0恒有解,即=()恒有解, 0,實數(shù)的取值范圍是(,0)。(2)令=1得,=,即=,解得=1,對=兩邊同求導得,=,將=1代入上式得,=,即=,解得=2,在點處的切線方程為=,即。解題后反思:對含參數(shù)函數(shù)的導數(shù)問題,應注意函數(shù)的定義域。(全國高考)曲線在點(0,2)處的切線與直線和圍成的三角形的面積為( )A. B. C. D. 1思路分析:利用導數(shù)求出點(0,2)處的切線方程,然后分別求出與直線y0與yx的交點問題即可解決。解答過程:切線方程是:,在直角坐標系中作出示意圖,即得。解題后反思:函數(shù)在點處的切線方程是。1. 理解和掌握求導法則和公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律是靈活進行求導運算的前提條件。具體解題時,還應結(jié)合函數(shù)本身的特點,才能準確有效地進行求導運算,調(diào)動思維的積極性,在解決新問題時,觸類旁通,得心應手。 2熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導公式以及和、差、積、商的求導法則,復合函數(shù)的求導法則。 3. 對于一個復合函數(shù),一定要理清其中的復合關(guān)系,弄清各分解函數(shù)中應對哪個變量求導。下節(jié)課我們將學習導數(shù)的應用,那么導數(shù)的應用是指它在哪些方面的應用呢?請同學們閱讀課本,并且進行思考。5

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