2022年高中數(shù)學 直線與圓錐曲線 板塊二 直線與雙曲線完整講義（學生版）

2022年高中數(shù)學 直線與圓錐曲線 板塊二 直線與雙曲線完整講義（學生版）1橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡（或集合）叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距2橢圓的標準方程：，焦點是，且，焦點是，且3橢圓的幾何性質(zhì)（用標準方程研究）：范圍：，；對稱性：以軸、軸為對稱軸，以坐標原點為對稱中心，橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心；橢圓的頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，如圖中的；長軸與短軸：焦點所在的對稱軸上，兩個頂點間的線段稱為橢圓的長軸，如圖中線段的；另一對頂點間的線段叫做橢圓的短軸，如圖中的線段橢圓的離心率：，焦距與長軸長之比，越趨近于，橢圓越扁；反之，越趨近于，橢圓越趨近于圓4直線：與圓錐曲線：的位置關(guān)系：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為：設(shè)直線：，圓錐曲線：，由消去（或消去）得：若，相交；相離；相切若，得到一個一次方程：為雙曲線，則與雙曲線的漸近線平行；為拋物線，則與拋物線的對稱軸平行因此直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件5連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦求弦長的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求；另外一種求法是如果直線的斜率為，被圓錐曲線截得弦兩端點坐標分別為，則弦長公式為兩根差公式：如果滿足一元二次方程：，則（）6直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有：從方程的觀點出發(fā)，利用根與系數(shù)的關(guān)系來進行討論，這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基礎(chǔ)要重視通過設(shè)而不求與弦長公式簡化計算，并同時注意在適當時利用圖形的平面幾何性質(zhì)以向量為工具，利用向量的坐標運算解決與中點、弦長、角度相關(guān)的問題典例分析【例1】 若直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點，則的取值范圍是_【例2】 過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于、兩點，若，則這樣的直線有_條 【例3】 過點與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為_【例4】 直線與雙曲線相交于兩點、，則=_【例5】 若直線與雙曲線沒有公共點，求的取值范圍【例6】 若直線與雙曲線有且只有一個公共點，求的的值【例7】 若直線與雙曲線有兩個相異公共點，求的取值范圍【例8】 直線與雙曲線的一支有兩個相異公共點，求的取值范圍【例9】 若直線與雙曲線的兩支各有一個公共點，求的取值范圍【例10】 若直線與雙曲線的右支有兩個相異公共點，求的取值范圍【例11】 已知不論取何實數(shù)，直線與雙曲線總有公共點，求實數(shù)的取值范圍【例12】 直線與雙曲線交于、兩點當為何值時，、分別在雙曲線的兩支上？當為何值時，以為直徑的圓過坐標原點？【例13】 已知直線與雙曲線相交于兩個不同點、求的取值范圍；若軸上的點到、兩點的距離相等，求的值【例14】 已知直線與雙曲線，記雙曲線的右頂點為，是否存在實數(shù)，使得直線與雙曲線的右支交于兩點，且，若存在，求出值：若不存在，請說明理由【例15】 已知點，動點滿足條件，記動點的軌跡為求的方程；若、是曲線上不同的兩點，是坐標原點，求的最小值【例16】 直線與雙曲線的右支交不同的，兩點，求實數(shù)取值范圍；是否存在實數(shù)，使得以線段直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點若存在，求出值：若不存在，請說明理由【例17】 雙曲線的中心在原點，右焦點為，漸近線方程為求雙曲線的方程；設(shè)直線：與雙曲線交于、兩點，問：當為何值時，以為直徑的圓過原點【例18】 已知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，過其右焦點且傾斜角為的直線被雙曲線截得的弦的長為求此雙曲線的方程；若直線與該雙曲線交于兩個不同點、，且以線段為直徑的圓過原點，求定點到直線的距離的最大值，并求此時直線的方程_ / / / / / / / / / / / / / / / / 密 封 裝 訂 線 / / / / / / / / / / / / / / / / 密 封 線 內(nèi) 不 要 答 題 【例19】 在中，已知、，動點滿足求動點的軌跡方程；設(shè)點，過點作直線垂直，且與直線交于點，試在軸上確定一點，使得；在的條件下，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，求的值【例20】 已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，右頂點為求雙曲線的方程；若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點和，且（其中為原點），求的取值范圍【例21】 已知雙曲線，設(shè)過點的直線的方向向量 當直線與雙曲線的一條漸近線平行時，求直線的方程及與的距離；證明：當>時，在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為【例22】 已知雙曲線的方程為，離心率，頂點到漸近線的距離為求雙曲線的方程； 如圖，是雙曲線上一點，兩點在雙曲線的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍【例23】 已知以原點為中心，為右焦點的雙曲線的離心率求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；如圖，已知過點的直線與過點（其中）的直線的交點在雙曲線上，直線與兩條漸近線分別交與、兩點，求的面積【例24】 已知動圓過點并且與圓相外切，動圓圓心的軌跡為，軌跡與軸的交點為求軌跡的方程；設(shè)直線過點且與軌跡有兩個不同的交點，求直線的斜率的取值范圍；在的條件下，若，證明直線過定點，并求出這個定點的坐標【例25】 已知點為雙曲線（為正常數(shù)）上任一點，為雙曲線的右焦點，過 作右準線的垂線，垂足為，連接并延長交軸于 求線段的中點的軌跡的方程；設(shè)軌跡與軸交于、兩點，在上任取一點，直線，分別交軸于兩點求證：以為直徑的圓過兩定點（焦點在軸上的標準雙曲線的準線方程為）【例26】 已知雙曲線的離心率為，右準線方程為求雙曲線的方程；設(shè)直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值