2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 等差數(shù)列及其前n項和 新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 等差數(shù)列及其前n項和 新人教A版自主梳理1等差數(shù)列的有關(guān)定義(1)一般地，如果一個數(shù)列從第_2_項起，每一項與它的前一項的_差_等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號表示為_ an1and _ (nN*，d為常數(shù))(2)數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是_ A_，其中A叫做a，b的_等差中項_2等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：an_ a1(n1)d_，anam_ (nm)d _ (m，nN*)(2)前n項和公式：Sn_ na1d _.3等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系Snn2n.4等差數(shù)列的性質(zhì)(1) 若mnpq (m，n，p，qN*)，則有_amanapa q _，特別地，當(dāng)mn2p時，_ aman2ap _.(2) 若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為_2d _(3) 若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為_ md _的等差數(shù)列.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列.(5) 等差數(shù)列的單調(diào)性：若公差d>0，則數(shù)列為_遞增數(shù)列_；若d<0，則數(shù)列為_遞減數(shù)列_；若d0，則數(shù)列為_常數(shù)列_(6)等差數(shù)列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列(7)S2n1(2n1)an.(8)若n為偶數(shù)，則S偶S奇d.若n為奇數(shù)，則S奇S偶a中(中間項).5.等差數(shù)列的最值在等差數(shù)列an中，a1>0，d<0，則Sn存在最_值；若a1<0，d>0，則Sn存在最_值. 大小6方法與技巧等差數(shù)列的判斷方法有：(1)定義法：an1and (d是常數(shù))an是等差數(shù)列(2)中項公式：2an1anan2 (nN*)an是等差數(shù)列(3)通項公式：anpnq (p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列(4)前n項和公式：SnAn2Bn(A、B為常數(shù))an是等差數(shù)列(5)在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時，可設(shè)三個數(shù)為a，ad，a2d；ad，a，ad；ad，ad，a3d等可視具體情況而定 (6)在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程(組)獲得解.自我檢測1已知等差數(shù)列an中，a5a9a710，記Sna1a2an，則S13的值為 ()A130B260C156D1682等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S36，a34，則公差d等于 ()A1B.C2D33設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若，則等于 ()A1B1C2D.4若等差數(shù)列an的前5項之和S525，且a23，則a7等于 ()A12B13C14D155設(shè)an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項和，若S10S11，則a1等于()A.18 B.20 C.22 D.246.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn.若S972，則a2a4a9_24_.7.有兩個等差數(shù)列2,6,10，190及2,8,14，200，由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列an的通項公式an_.12n10_.8.已知兩個數(shù)列x，a1，a2，a3，y與x，b1，b2，y都是等差數(shù)列，且xy，則的值為_.9數(shù)列an是等差數(shù)列，若1，且它的前n項和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時，n()A11 B17 C19 D21解析由題意，可知數(shù)列an的前n項和Sn有最大值，所以公差小于零，故a11a10，又因為1，所以a100，a11a10，由等差數(shù)列的性質(zhì)有a11a10a1a200，a10a10a1a190，所以Sn取得最小正值時n19.題型一等差數(shù)列的基本量的計算例1等差數(shù)列an的前n項和記為Sn.已知a1030，a2050，(1)求通項an； (2)若Sn242，求n.解(1)由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程組解得所以an2n10.(2)由Snna1d，Sn242. 得12n×2242.解得n11或n22(舍去)設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1； (2)求d的取值范圍.解(1)由題意知S63， a6S6S58.所以解得a17，所以S63，a17.(2)方法一S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.因為關(guān)于a1的一元二次方程有解，所以81d28(10d21)d280，解得d2或d2.方法二S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.故(4a19d)2d28.所以d28.故d的取值范圍為d2或d2.探究提高(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.變式訓(xùn)練1設(shè)等差數(shù)列an的公差為d (d0)，它的前10項和S10110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列，求公差d和通項公式an.解由題意，知即d0，a1d.解得a1d2，an2n.已知等差數(shù)列an中，a11，a33.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列an的前k項和Sk35，求k的值.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.從而an1(n1)×(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5. 又kN*，故k7.題型二等差數(shù)列的判定或證明例2已知數(shù)列an中，a1，an2 (n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bn (nN*). (1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列； (1)證明an2 (n2，nN*)，bn.n2時，bnbn11.又b1.數(shù)列bn是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.(2)解由(1)知，bnn，則an11，設(shè)函數(shù)f(x)1，易知f(x)在區(qū)間和內(nèi)為減函數(shù).當(dāng)n3時，an取得最小值1；當(dāng)n4時，an取得最大值3.探究提高1證明或判斷一個數(shù)列為等差數(shù)列，通常有兩種方法：(1)定義法：an1and；(2)等差中項法：2an1anan2.就本例而言，所用方法為定義法.2解選擇、填空題時，亦可用通項或前n項和直接判斷(1)通項法：若數(shù)列an的通項公式為n的一次函數(shù)，即anAnB，則an是等差數(shù)列(2)前n項和法：若數(shù)列an的前n項和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常數(shù))，則an為等差數(shù)列3若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說明任意連續(xù)三項不是等差數(shù)列即可變式訓(xùn)練2(1)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足Sn (n2)，a12.求證：是等差數(shù)列； 求an的表達(dá)式. 證明由Sn，得2，2，是以即為首項，以2為公差的等差數(shù)列. 解由知(n1)×22n，Sn，當(dāng)n2時，anSnSn1；當(dāng)n1時，a12不適合an，故an(2)已知數(shù)列an中，a15且an2an12n1(n2且nN*)求a2，a3的值 是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說解a15，a22a122113， a32a223133.假設(shè)存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列設(shè)bn，由bn為等差數(shù)列，則有2b2b1b3.2×.，解得1.事實上，bn1bn(an12an)1(2n11)11.綜上可知，存在實數(shù)1，使得數(shù)列為首項為2、公差為1的等差數(shù)列題型三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例3若一個等差數(shù)列的前5項之和為34，最后5項之和為146，且所有項的和為360，求這個數(shù)列的項數(shù)解方法一設(shè)此等差數(shù)列為an共n項，依題意有a1a2a3a4a534，anan1an2an3an4146. 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，得a5an4a4an3a3an2a2an1a1an.將兩式相加，得(a1an)(a2an1)(a3an2)(a4an3)(a5an4)5(a1an)180，a1an36.由Sn360，得n20.所以該等差數(shù)列有20項方法二設(shè)此等差數(shù)列共有n項，首項為a1，公差為d，則S55a1d34，SnSn5na1(n5)a1d5a1(5n15)d146.兩式相加可得10a15(n1)d180，a1d18，代入Snna1dn360，得18n360，n20. 所以該數(shù)列的項數(shù)為20項變式訓(xùn)練3已知數(shù)列an是等差數(shù)列(1)若Sn20，S2n38，求S3n；(2) 若項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項和為44，偶數(shù)項和為33，求數(shù)列的中間項和項數(shù)解(1) Sn，S2nSn，S3nS2n成等差數(shù)列，S3n3(S2nSn)54. (2) 設(shè)項數(shù)為2n1 (nN*)，則奇數(shù)項有n項，偶數(shù)項有n1項，中間項為an，則S奇n·an44，S偶(n1)·an33，.n4，an11.數(shù)列的中間項為11，項數(shù)為7.題型四等差數(shù)列的前n項和及綜合應(yīng)用例4(1)在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知數(shù)列an的通項公式是an4n25，求數(shù)列|an|的前n項和.解(1)方法一a120，S10S15，10×20d15×20d，d.an20(n1)×n.a130，即當(dāng)n12時， an>0，n14時，an<0，當(dāng)n12或13時，Sn取得最大值，且最大值為S13S1212×20×130.方法二同方法一求得d.Sn20n·n2n2.nN*，當(dāng)n12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.方法三同方法一得d.又由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.當(dāng)n12或13時，Sn有最大值.且最大值為S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a14×12521.所以數(shù)列an是以21為首項，以4為公差的遞增的等差數(shù)列.令由得n<6；由得n5，所以n6.即數(shù)列|an|的前6項是以21為首項，公差為4的等差數(shù)列，從第7項起以后各項構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，而|a7|a74×7243.設(shè)|an|的前n項和為Tn，則Tn點(diǎn)評：求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：若an是等差數(shù)列，求前n項和的最值時，(1)若a1>0，d<0，且滿足，前n項和Sn最大；(2)若a1<0，d>0，且滿足，前n項和Sn最??；(3)將等差數(shù)列的前n項和SnAn2Bn (A、B為常數(shù))看做二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求最值，注意nN*.變式訓(xùn)練4 (1) 已知數(shù)列an滿足2an1anan2 (nN*)，它的前n項和為Sn，且a310，S672.若bnan30，求數(shù)列bn的前n項和的最小值解方法一2an1anan2，an是等差數(shù)列設(shè)an的首項為a1，公差為d，由a310，S672，得，.an4n2.則bnan302n31.解得n.nN*，n15.bn前15項為負(fù)值. S15最小可知b129，d2，S15225.方法二同方法一求出bn2n31.Snn230n(n15)2225，當(dāng)n15時，Sn有最小值，且最小值為225. (2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1<0，S2 0090.求Sn的最小值及此時n的值；求n的取值集合，使anSn.解方法一設(shè)公差為d，則由S2 00902 009a1d0a11 004d0， da1，a1ana1，Sn(a1an)·a1(2 009nn2)a1<0，nN*，當(dāng)n1 004或1 005時，Sn取最小值a1.ana1.Snan(2 009nn2)a1.a1<0，n22 011n2 0100，即(n1)(n2 010)0，解得：1n2 010.故所求n的取值集合為n|1n2 010，nN*. (3)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和Snm，前m項和Smn (mn)，求它的前mn項的和Smn.解方法一設(shè)an的公差為d，則由Snm，Smn，得得(mn)a1·dnm，mn，a1d1.Smn(mn)a1d(mn)(mn).方法二設(shè)SnAn2Bn (nN*)，則得A(m2n2)B(mn)nm.mn，A(mn)B1，A(mn)2B(mn)(mn)，Smn(mn).等差數(shù)列及其前n項和（1）一、選擇題1如果等差數(shù)列中，a3a4a512，那么a1a2a7 ()A14B21C28D352已知an是等差數(shù)列，a19，S3S7，那么使其前n項和Sn最小的n是 ()A4B5C6D73在等差數(shù)列an中，若a4a6a8a10a12120，則a9a11的值為 ()A14B15C16D174等差數(shù)列an的前n項和滿足S20S40，下列結(jié)論中正確的是 ()AS30是Sn中的最大值BS30是Sn中的最小值CS300DS6005設(shè)數(shù)列an、bn都是等差數(shù)列，且a110，b190，a2b2100，那么數(shù)列anbn的第2 012項的值是 ()A.85 B.90 C.95 D.1006已知等差數(shù)列an中，a26，a515，若bna3n，則數(shù)列bn的前9項和等于_ 解析 由an33(n1)3n，bna3n9n，數(shù)列bn的前9項和為S9×9405.二、填空題7設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若S33，S624，則a9_15_.8等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知am1am1a0，S2m138，則m_10_.9在數(shù)列an中，若點(diǎn)(n，an)在經(jīng)過點(diǎn)(5,3)的定直線l上，則數(shù)列an的前9項和S9_27_.三、解答題10設(shè)an是一個公差為d (d0)的等差數(shù)列，它的前10項和S10110，且aa1a4.(1)證明：a1d；(2)求公差d的值和數(shù)列an的通項公式(1) 證明an是等差數(shù)列，a2a1d，a4a13d，又aa1a4，于是(a1d)2a1(a13d)，即a2a1dd2a3a1d (d0)化簡得a1d(2)解由條件S10110和S1010a1d，得到10a145d110.由(1)知，a1d，代入上式得55d110，故d2，ana1(n1)d2n.因此，數(shù)列an的通項公式為an2n，nN*11已知等差數(shù)列an滿足：a37，a5a726，an的前n項和為Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn (nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，由于a37，a5a726，所以a12d7,2a110d26，解得a13，d2由于ana1(n1)d，Sn，所以an2n1，Snn(n2)(2)因為an2n1，所以a14n(n1)，因此bn故Tnb1b2bn.所以數(shù)列bn的前n項和Tn12在數(shù)列an中，a11,3anan1anan10(n2)(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項；(3)若an對任意n2的整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍 (1)證明將3anan1anan10(n2)整理得3(n2)所以數(shù)列為以1為首項，3為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)可得13(n1)3n2，所以an (3)解若an對n2的整數(shù)恒成立，即3n1對n2的整數(shù)恒成立整理得 (9分)令cncn1cn.因為n2，所以cn1cn>0，即數(shù)列cn為單調(diào)遞增數(shù)列，所以c2最小，c2.所以的取值范圍為(，等差數(shù)列及其前n項和（2）一、選擇題1.設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a62且S530，則S8等于 ()A.31 B.32 C.33 D.342.數(shù)列an為等差數(shù)列，a1033，a21，Sn為數(shù)列an的前n項和，則S202S10等于()A.40 B.200 C.400 D.203設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，則k等于()A.8 B.7 C.6 D.54.已知數(shù)列an中，a32，a51，若是等差數(shù)列，則a11等于 ()A.0 B. C. D.5.在各項均不為零的等差數(shù)列an中，若an1aan10 (n2)，則S2n14n等于()A.2 B.0 C.1 D.26已知兩個等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為An和Bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是()A2 B3 C4 D56D解析 7，所以當(dāng)n1,2,3,5,11時滿足二、填空題7 設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若S33，S624，則a9_15_.8. 等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且6S55S35，則a4_.9. 等差數(shù)列an的通項公式是an2n1，其前n項和為Sn，則數(shù)列的前10項和為_75_.10. 設(shè)等差數(shù)列an、bn的前n項和分別為Sn、Tn，若對任意自然數(shù)n都有，則的值為_.三、解答題11.已知數(shù)列an的通項公式anpn2qn (p、qR，且p、q為常數(shù)).(1)當(dāng)p和q滿足什么條件時，數(shù)列an是等差數(shù)列；(2)求證：對任意實數(shù)p和q，數(shù)列an1an是等差數(shù)列. (1)解an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq，要使an是等差數(shù)列，則2pnpq應(yīng)是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以只有2p0，即p0.故當(dāng)p0，qR時，數(shù)列an是等差數(shù)列.(2)證明an1an2pnpq，an2an12p(n1)pq，(an2an1)(an1an)2p為一個常數(shù).an1an是等差數(shù)列.12在等差數(shù)列an中，a16a17a18a936，其前n項和為Sn.(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值時n的值解(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，a16a17a183a1736，a1712，d3，ana9(n9)·d3n63， an13n60，令，得20n21，S20S21630，n20或21時，Sn最小且最小值為630.(2)由(1)知前20項小于零，第21項等于0，以后各項均為正數(shù)當(dāng)n21時，TnSnn2n.當(dāng)n>21時，TnSn2S21n2n1 260.綜上，Tn.13.已知等差數(shù)列an中，公差d>0，前n項和為Sn，a2·a345，a1a518.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn (nN*)，是否存在一個非零常數(shù)c，使數(shù)列bn也為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請說明理由.解(1)由題設(shè)知，an是等差數(shù)列，且公差d>0，則由得解得an4n3 (nN*).(2)由bn，c0，可令c，得到bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，數(shù)列bn是公差為2的等差數(shù)列.即存在一個非零常數(shù)c，使數(shù)列bn也為等差數(shù)列.