2022年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 第19章 矩形、菱形與正方形 19.3 正方形練習(xí) （新版）華東師大版

2022年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 第19章 矩形、菱形與正方形 19.3 正方形練習(xí) （新版）華東師大版1.菱形、矩形、正方形都具有的性質(zhì)是(C)(A)對(duì)角線相等(B)對(duì)角線互相垂直(C)對(duì)角線互相平分(D)對(duì)角線平分一組對(duì)角2.下列命題錯(cuò)誤的是(C)(A)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形(B)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形(C)一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形(D)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形3.已知四邊形ABCD中,A=B=C=D,如果添加一個(gè)條件,即可推出該四邊形是正方形,那么這個(gè)條件可以是(D)(A)D=90°(B)AB=CD(C)AD=BC (D)BC=CD4.如圖,把正方形紙片ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開,折痕為MN,再過點(diǎn)B折疊紙片,使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處,折痕為BE.若AB的長為2,則FM的長為(B)(A)2 (B) (C) (D)15.能使平行四邊形ABCD為正方形的條件是AC=BD且ACBD(答案不唯一)(填上一個(gè)條件即可). 6.如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,若不增加任何字母與輔助線,要使四邊形ABCD是正方形,則還需增加一個(gè)條件是AC=BD或(ABBC)(答案不唯一). 7.如圖,正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)E在AB邊上.四邊形EFGB也為正方形,則AFC的面積為2. 8.(xx武漢)以正方形ABCD的邊AD作等邊ADE,則BEC的度數(shù)是30°或150°. 9.已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,分別過點(diǎn)A,C兩點(diǎn)作l1l2,作BMl1于M,DNl1于N,直線MB,DN分別交l2于Q,P點(diǎn).求證:四邊形PQMN是正方形.證明:因?yàn)镻Nl1,QMl1,所以PNQM,PNM=90°.因?yàn)镻QNM,所以四邊形PQMN是矩形.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以BAD=ADC=90°,AB=AD=DC.所以1+2=90°.又3+2=90°,所以1=3.所以ABMDAN.所以AM=DN.同理AN=DP.所以AM+AN=DN+DP,即MN=PN.所以四邊形PQMN是正方形.10.已知:如圖,四邊形ABCD中,ADBC,AD=CD,E是對(duì)角線BD上一點(diǎn),且EA=EC.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)如果BE=BC,且CBEBCE=23,求證:四邊形ABCD是正方形.證明:(1)在ADE與CDE中,所以ADECDE(S.S.S.),所以ADE=CDE,因?yàn)锳DBC,所以ADE=CBD,所以CDE=CBD,所以BC=CD,因?yàn)锳D=CD,所以BC=AD,所以四邊形ABCD為平行四邊形,因?yàn)锳D=CD,所以四邊形ABCD是菱形.(2)因?yàn)锽E=BC,所以BCE=BEC,因?yàn)镃BEBCE=23,所以CBE=180°×=45°,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以ABE=45°,所以ABC=90°,所以四邊形ABCD是正方形.11.(開放探究題)已知,如圖,在ABC中,AB=AC,ADBC,垂足為點(diǎn)D,AN是ABC外角CAM的平分線,CEAN,垂足為點(diǎn)E.(1)求證:四邊形ADCE為矩形;(2)當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí),四邊形ADCE是一個(gè)正方形?并說明理由.(1)證明:因?yàn)锳D,AN分別是BAC的內(nèi)角、外角平分線,所以BAD=CAD,CAE=MAE.因?yàn)锽AD+CAD+CAE+MAE=180°.所以2CAD+2CAE=180°.所以CAD+CAE=90°,即DAE=90°,因?yàn)锳DBC,CEAN,所以ADC=AEC=DAE=90°,所以四邊形ADCE是矩形.(2)解:當(dāng)ABC是以BAC為直角的等腰直角三角形時(shí),四邊形ADCE是正方形.理由如下:因?yàn)锳BC是以BAC為直角的等腰直角三角形,ADBC,所以CAD=BAD=45°.ACD=45°.所以CAD=ACD=45°.所以AD=CD.因?yàn)樗倪呅蜛DCE是矩形,所以四邊形ADCE是正方形.12.(拓展探究題)如圖,四邊形ABCD,DEFG都是正方形,連結(jié)AE,CG.(1)求證:AE=CG;(2)觀察圖形,猜想AE與CG之間的位置關(guān)系,并證明你的猜想.(1)證明:因?yàn)锳D=CD,DE=DG,ADC=GDE=90°,又CDG=90°+ADG=ADE,所以ADECDG.所以AE=CG.(2)解:猜想:AECG.證明:如圖,設(shè)AE與CG交點(diǎn)為M,AD與CG交點(diǎn)為N.由(1)得ADECDG,所以DAE=DCG.又因?yàn)锳NM=CND,所以CND+DCN=90°,即ANM+DAE=90°,所以AMN=ADC=90°.所以AECG.