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高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第21練 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) 文

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高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第21練 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) 文

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第21練 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) 文明考情三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點(diǎn),在解答題中和解三角形綜合考查或單獨(dú)命題,難度一般為中低檔.知考向1.三角函數(shù)的最值問題.2.三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用.3.三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用.考點(diǎn)一三角函數(shù)的最值問題方法技巧求解三角函數(shù)最值的常用方法(1)有界性法:將yasin xbcos xc化為ysin (x)c.然后利用正弦函數(shù)的有界性求解.(2)換元法:對于yasin2xbsin xc(或yasin xcos xb(sin x±cos x)c)型的函數(shù)最值,可設(shè)tsin x(或tsin x±cos x).(3)利用數(shù)形結(jié)合或單調(diào)性.1.(xx·浙江)已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR).(1)求f 的值;(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.解(1)由sin ,cos ,得f 222××,所以f 2.(2)由cos 2xcos2xsin2x與sin 2x2sin xcos x,得f(x)cos 2xsin 2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數(shù)的性質(zhì)得2k2x2k,kZ,解得kxk,kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).2.已知函數(shù)f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)討論f(x)在上的單調(diào)性.解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin,因此f(x)的最小正周期為,最大值為.(2)當(dāng)x時,02x,從而當(dāng)02x,即x時,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)2x,即x時,f(x)單調(diào)遞減.綜上可知,f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.3.已知函數(shù)f(x)4cos xsin(0)的最小正周期是.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)上的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.解(1)函數(shù)f(x)4cos xsin4cos x2sin xcos x2cos2x11sin 2xcos 2x12sin1,且f(x)的最小正周期是,所以1.從而f(x)2sin1;令2k2x2k,kZ,解得kxk,kZ,所以函數(shù)f(x)在(0,)上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.(2)當(dāng)x時,2x,所以2x,2sin,所以當(dāng)2x,即x時,f(x)取得最小值1;當(dāng)2x,即x時,f(x)取得最大值1;所以f(x)在上的最大值和最小值分別為1,1.4.是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)ysin2xacos xa在閉區(qū)間上的最大值是1?若存在,則求出對應(yīng)的a的值;若不存在,請說明理由.解y2a.當(dāng)0x時,0cos x1,令tcos x,則0t1,y2a,0t1.當(dāng)01,即0a2時,則當(dāng)t,即cos x時,ymaxa1,解得a或a4(舍去),故a;當(dāng)0,即a0時,則當(dāng)t0,即cos x0時,ymaxa1,解得a,由于a0,故這種情況不存在滿足條件的a值;當(dāng)>1,即a>2時,則當(dāng)t1,即cos x1時,ymaxaa1,解得a,由于2,故這種情況下不存在滿足條件的a值.綜上可知,存在a符合題意.考點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用要點(diǎn)重組三角函數(shù)圖象的對稱問題(1)yAsin(x)的對稱軸為x(kZ),對稱中心為(kZ).(2)yAcos(x)的對稱軸為x(kZ),對稱中心為(kZ).(3)yAtan(x)的對稱中心為(kZ).方法技巧(1)代入法:把圖象上的一個已知點(diǎn)代入(此時A,b已知)或代入圖象與直線yb的交點(diǎn)求解(此時要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上).(2)五點(diǎn)法:確定值時,往往尋找“五點(diǎn)法”中的某一個點(diǎn)作為突破口.5.(xx·長安區(qū)校級月考)已知函數(shù)f(x)Asin(x) 的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)x時,求函數(shù)yf f 的最值.解(1)由函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象知,T,T2,1.又f AsinA,且0,;f(0)Asin 2,A4,f(x)4sin.(2)函數(shù)yf f 4sin4sin4sin4sin4×sin x4×cos x4cos x2sin x2cos x4sin,當(dāng)x時,x,當(dāng)x,即x時,函數(shù)y取得最小值4;當(dāng)x,即x時,函數(shù)y取得最大值2.6.已知函數(shù)f(x)sin(2x)sincos2x.(1)求f(x)的最小正周期和其圖象的對稱軸方程;(2)當(dāng)x時,求f(x)的最小值和最大值.解(1)依題意,得f(x)(sin x)(cos x)cos2xsin xcos xcos2xsin 2x(cos 2x1)sin 2xcos 2xsin,所以f(x)的最小正周期為T.令2xk(kZ),得x(kZ),故所求對稱軸方程為x(kZ).(2)當(dāng)0x時,2x,由函數(shù)圖象可知sin1,即0sin.于是f(x)的最小值為0,最大值為.7.設(shè)函數(shù)f(x)sin xsin.(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值時的x的集合;(2)說明函數(shù)yf(x)的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到(不用畫圖).解(1)因?yàn)閒(x)sin xsin xcos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos x,所以由輔助角公式,得f(x)sin.當(dāng)sin1時,f(x)min,此時x2k(kZ),所以x2k(kZ).所以f(x)的最小值為,此時x的集合為.(2)將函數(shù)ysin x圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,得到y(tǒng)sin x的圖象;再將ysin x的圖象向左平移個單位長度,得到f(x)sin的圖象.8.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)Asin(x)在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表: x02xAsin(x)0550(1) 請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式;(2) 將yf(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(>0)個單位長度,得到y(tǒng)g(x)的圖象.若yg(x)圖象的一個對稱中心為,求的最小值.解(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得A5,2,.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表:x02xAsin(x)05050且函數(shù)表達(dá)式為f(x)5sin.(2)由(1)知,f(x)5sin,得g(x)5sin.因?yàn)楹瘮?shù)ysin x的圖象的對稱中心為(k,0),kZ.令2x2k,解得x,kZ.由于函數(shù)yg(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱,令,解得,kZ,由>0可知,當(dāng)k1時,取得最小值.考點(diǎn)三三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用方法技巧求解三角函數(shù)問題的兩個思想(1)整體思想:對于yAsin(x)的性質(zhì),可將x視為一個整體,設(shè)tx,解yAsin t,通過研究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到求解目標(biāo).(2)數(shù)形結(jié)合思想:結(jié)合函數(shù)的圖象研究三角函數(shù)性質(zhì).9.設(shè)函數(shù)f(x)2cos2xsin 2xa(aR).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)當(dāng)x時,f(x)的最大值為2,求a的值,并求出yf(x)(xR)的對稱軸方程.解(1)f(x)2cos2xsin 2xa1cos 2xsin 2xasin1a,則f(x)的最小正周期T,且當(dāng)2k2x2k(kZ),即kxk(kZ)時,f(x)單調(diào)遞增.所以(kZ)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)當(dāng)x時,2x,當(dāng)2x,即x時,sin1.所以f(x)max1a2a1.由2xk(kZ),得x(kZ),故yf(x)的對稱軸方程為x,kZ.10.已知向量a(m,cos 2x),b(sin 2x,n), 函數(shù)f(x)a·b,且yf(x)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn).(1)求m,n的值;(2)將yf(x)的圖象向左平移(0<<)個單位長度后得到函數(shù)yg(x)的圖象,若yg(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1,求yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解(1)由題意知,f(x)a·bmsin 2xncos 2x.因?yàn)閥f(x)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn),所以即解得(2)由(1)知,f(x)sin 2xcos 2x2sin.由題意知,g(x)f(x)2sin.設(shè)yg(x)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為(x0,2),由題意知,x11,所以x00,即yg(x)圖象上到點(diǎn)(0,3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0,2).將其代入yg(x),得sin1,因?yàn)?<<,所以,所以g(x)2sin2cos 2x.由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,所以函數(shù)yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,kZ.11.已知函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示,P是圖象的最高點(diǎn),Q為圖象與x軸的交點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OQ4,OP,PQ.(1)求函數(shù)yf(x)的解析式;(2)將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移2個單位長度后得到函數(shù)yg(x)的圖象,當(dāng)x0,3時,求函數(shù)h(x)f(x)·g(x)的值域.解(1)在OPQ中,cosPOQ,sinPOQ,P(1,2),所以A2,周期T4×(41)12,又12,則.將點(diǎn)P(1,2)代入f(x)2sin,得sin1,因?yàn)?,所以,所以f(x)2sin.(2)由題意,可得g(x)2sin x.所以h(x)f(x)·g(x)4sin·sin x2sin2x2sin x·cos x1cos xsin x12sin.當(dāng)x0,3時,x,所以sin,所以函數(shù)h(x)的值域?yàn)?,3.12.已知向量a(2cos x,sin x),b(cos x,2cos x),函數(shù)f(x)a·bm(mR),且當(dāng)x時,f(x)的最小值為2.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)先將函數(shù)yf(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮小到原來的,再把所得的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)yg(x)的圖象,求方程g(x)4在區(qū)間上的所有根之和.解f(x)2cos2x2sin x·cos xmcos 2xsin 2xm12m12sinm1.因?yàn)楫?dāng)x時,2x,所以當(dāng)x時,f(x)取得最小值1m12,所以m2,所以f(x)2sin3.(1)令2k2x2k(kZ),得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).(2)將f(x)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮小到原來的,得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為y2sin3,再把所得的圖象向右平移個單位長度得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為g(x)2sin3.由g(x)4,得sin,解得4x2k或2k,即x或(kZ).因?yàn)閤,所以x或,故所求所有根之和為.例(12分)已知m(cos x,cos(x),n(sin x,cos x),其中>0,f(x)m·n,且f(x)相鄰兩條對稱軸之間的距離為.(1)若f ,求cos 的值;(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,然后向左平移個單位長度,得到函數(shù)yg(x)的圖象,求函數(shù)yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答·評分標(biāo)準(zhǔn)解f(x)m·ncos xsin xcos(x)cos xcos xsin xcos xcos xsin.3分f(x)相鄰兩條對稱軸之間的距離為,T,1,f(x)sin.4分(1)f sin,sin,sin,cos.6分cos coscoscos sinsin ××.8分(2)f(x)經(jīng)過變換可得g(x)sin,10分令2kx2k,kZ,解得2kx2k,kZ,g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,kZ.12分構(gòu)建答題模板第一步化簡變形:利用輔助角公式將三角函數(shù)化成yAsin(x)形式.第二步整體代換:將“x”看作一個整體,研究三角函數(shù)性質(zhì).第三步回顧反思:查看角的范圍對函數(shù)影響,評價結(jié)果的合理性,檢查步驟的規(guī)范化.1.(xx·河西區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)2sin·cossin 2x1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若將f(x)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值,并求出取得最值時的x值.解(1)函數(shù)f(x)2sincossin 2x1sinsin 2x1cos 2xsin 2x12sin1,令2k2x2k,求得kxk,可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,kZ.(2)若將f(x)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)2sin12cos1的圖象,在區(qū)間上,2x,故當(dāng)2x時,即x時,函數(shù)取得最小值213;當(dāng)2x,即x0時,函數(shù)取得最大值1.2.已知函數(shù)f(x)sin2xsin2,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.解(1)由已知,有f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,可知函數(shù)f(x)在(kZ)上單調(diào)遞增;令2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,可知函數(shù)f(x)在(kZ)上單調(diào)遞減.所以f(x)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),f ,f ,f ,所以f(x)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.3.(xx·天津)已知函數(shù)f(x)4tan xsin·cos.(1)求f(x)的定義域與最小正周期;(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性.解(1)f(x)的定義域?yàn)?f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x,則函數(shù)y2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是,kZ.由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ.設(shè)A,B,易知AB.所以當(dāng)x時,f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.4.(xx·宣城二模)已知向量m(2acos x,sin x),n(cos x,bcos x),函數(shù)f(x)m·n,函數(shù)f(x)在y軸上的截距為,函數(shù)f(x)與y軸最近的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移(0)個單位長度,再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得到函數(shù)ysin x的圖象,求的最小值.解(1)f(x)m·n2acos2xbsin xcos x,由f(0)2a,得a,此時,f(x)cos 2xsin 2x,由f(x)1,得b1或b1,當(dāng)b1時,f(x)sin,經(jīng)檢驗(yàn)為最高點(diǎn);當(dāng)b1時,f(x)sin,經(jīng)檢驗(yàn)不是最高點(diǎn),故舍去.故函數(shù)的解析式為f(x)sin.(2)函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)ysin的圖象;橫坐標(biāo)伸長到原長的2倍后,得到函數(shù)ysin的圖象,所以22k(kZ),k(kZ),因?yàn)?,所以的最小值為.5.已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)cos x的圖象經(jīng)如下變換得到:先將g(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變),再將所得到的圖象向右平移個單位長度.(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖象的對稱軸方程;(2)已知關(guān)于x的方程f(x)g(x)m在0,2)內(nèi)有兩個不同的解,.求實(shí)數(shù)m的取值范圍.證明:cos()1.(1)解將g(x)cos x的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)2cos x的圖象,再將y2cos x的圖象向右平移個單位長度得到y(tǒng)2cos的圖象,故f(x)2cos2sin x.從而函數(shù)f(x)2sin x圖象的對稱軸方程為xk(kZ).(2)解f(x)g(x)2sin xcos xsin(x).依題意,sin(x)在0,2)內(nèi)有兩個不同的解,當(dāng)且僅當(dāng)1,故m的取值范圍是(,).證明因?yàn)?,是方程sin(x)m在0,2)內(nèi)的兩個不同的解,所以sin(),sin() .當(dāng)0m時,2,即2();當(dāng)m0時,2,即32(),所以cos()cos 2()2sin2()12211.

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