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2022年高二數(shù)學(xué) 橢圓的幾何性質(zhì)知識精講 新人教版(文)

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2022年高二數(shù)學(xué) 橢圓的幾何性質(zhì)知識精講 新人教版(文)

2022年高二數(shù)學(xué) 橢圓的幾何性質(zhì)知識精講 新人教版(文)【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容:橢圓的幾何性質(zhì)二. 本周教學(xué)重、難點:1. 重點: 橢圓的幾何性質(zhì),橢圓的第二定義。2. 難點:焦半徑,焦點三角形三. 知識梳理:【典型例題】例1 設(shè)P為橢圓上一點,F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點,若,求橢圓的離心率為多少?解:方法一: 又 方法二: 又 例2 過點M(1,1)作直線與橢圓交于A、B兩點,M恰為AB中點,求直線方程。解:設(shè)A()B() : 即例3 橢圓,P為任一點,當(dāng)最大時,是否存在一直線過點()交橢圓于A、B兩點,且A、B在以P為圓心的圓上。解:設(shè)A(),B(),直線AB的斜率為,線段AB中點M() : 又 PMAB 又 設(shè), 聯(lián)立、 這樣的直線存在 方程為例4 已知橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸,O為坐標(biāo)原點,F(xiàn)是一個焦點,A是一個頂點,若橢圓的長軸長是6,且,求橢圓的方程。解: 橢圓的長軸長是6, 點A不是長軸的端點(是短軸的端點) , , 橢圓的方程是或例5 已知點A(1,2)在橢圓內(nèi),F(xiàn)的坐標(biāo)為(2,0),在橢圓上求一點P使最小。解: , , F為橢圓的右焦點,并且離心率為設(shè)P到右準(zhǔn)線的距離為,則, 由幾何性質(zhì)可知,當(dāng)P點的縱坐標(biāo)(橫坐標(biāo)大于零)與A點的縱坐標(biāo)相同時,最小。把代入,得(負(fù)舍之),即P()為所求例6 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點,長軸在軸上,離心率,已知點P(0,)到這個橢圓上的點的最遠(yuǎn)距離是,求這個橢圓的方程,并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標(biāo)。解法一:設(shè)橢圓的參數(shù)方程為(其中,)由,得設(shè)橢圓上的點()到點P的距離為則 如果,即那么當(dāng)時,取得最大值由此得,與矛盾因此必有 此時當(dāng)時,取得最大值解得,所求橢圓的參數(shù)方程是由,求得橢圓上到點P的距離等于的點是()與()解法二:設(shè)所求橢圓的方程為()由 解得設(shè)橢圓上的點()到點P的距離為則 其中。如果,則當(dāng)時,取得最大值解得,與矛盾 故必有當(dāng)時,取得最大值解得, 所求橢圓方程為由可求得到點P的距離等于的點的坐標(biāo)為()例7 已知P點在橢圓上,P點的坐標(biāo)為(),求的最大值和最小值。解: P點在橢圓上 可設(shè)P點的坐標(biāo)為() 即, 當(dāng)時,最大,其最大值為當(dāng)()時,最小,其最小值為例8 已知橢圓(1)求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程;(2)過A(2,1)的直線與橢圓相交,求被截得的弦的中點軌跡方程;(3)過點P()且被P點平分的弦所在直線的方程。解:(1)設(shè)斜率為2的直線的方程為由 得由得設(shè)平行弦的端點坐標(biāo)為()、(),設(shè)弦的中點坐標(biāo)為(),則,代入,得為所求軌跡方程(2)設(shè)與橢圓的交點為()、()弦的中點為(),則,兩式相減并整理得又 , 由題意知代入得=0 化簡得 所求軌跡方程為(夾在橢圓內(nèi)的部分)(注:設(shè)的方程為,仿(1)的解法也可)(3)將,代入得。故所求的直線方程為【模擬試題】(答題時間:60分鐘)一. 選擇:1. 橢圓與的關(guān)系為( )A. 有相等的長、短軸B. 有相等的焦距C. 有相同的焦點D. 有相同的準(zhǔn)線2. 中心在原點,焦點在軸上,若長軸長為18,且兩個焦點恰好將長軸三等分,則此橢圓的方程是( )A. B. C. D. 3. 橢圓的一個頂點與兩個焦點構(gòu)成等邊三角形,則此橢圓的離心率是( )A. B. C. D. 4. F()是橢圓的一個焦點,F(xiàn)與橢圓上點的距離的最大值為,最小值為, 則橢圓上與點F距離為的點是( ) A. B. C. D. 不存在5. 橢圓上有一點P到左準(zhǔn)線的距離為,那么P到右焦點的距離為( ) A. 8 B. C. D. 6. 已知點P在橢圓上,并且P到直線:的距離最小,則P點的坐標(biāo)是( ) A. B. C. D. 7. 曲線(為參數(shù))的準(zhǔn)線方程是( ) A. B. C. D. 8. 過橢圓左焦點作弦AB,以AB為直徑的圓與橢圓左準(zhǔn)線( )A. 相切B. 相交C. 相離D. 位置關(guān)系不確定二. 填空:1. P是橢圓上的點,F(xiàn)1、F2是兩個焦點,則的最大值與最小值之差是 。2. 一廣告氣球被一束平行光線投射到水平面上,其投影為橢圓,離心率是,則這束光線對于水平平面的入射角為 。3. P點在橢圓上運動,點Q、R分別在圓,上運動,則的最大值是 。4. 橢圓,P為橢圓上一點,且,則點P的坐標(biāo)為 。三. 解答題:1. 已知點A()及橢圓,在橢圓上求一點P使的值最大。2. 橢圓的左、右焦點分別為和,過中心O作直線與橢圓交于A、B兩點,若的面積為20,求直線AB的方程。3. 是橢圓的長軸,CD是垂直于長軸的弦,求直線和的交點P的軌跡方程。 4. 如下圖,A、B是兩個定點,動點M到A點的距離是6,線段MB的垂直平分線交MA于點P,直線垂直于AB,且B到的距離是。若以AB所在直線為軸,AB的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系。(1)求證:點P到點B的距離與直線的距離之比為定值。(2)若P點到A、B兩點的距離之積為,當(dāng)取最大值時,求P點的坐標(biāo)。(3)設(shè)直線與點P所在曲線相交于不同兩點C、D,定點G(),則使的正數(shù)是否存在?若存在,則求出其取值范圍;若不存在,請說明理由?!驹囶}答案】一. 1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. A 7. A 8. C二. 1. 1 2. 3. 6 4. 三. 1. 解: 點P在橢圓上 設(shè)P的坐標(biāo)為 當(dāng)時,最大,此時 P點的坐標(biāo)為()2. 解: 設(shè)A() AB過橢圓中心 B的坐標(biāo)為() ,即 ,代入橢圓的方程得 直線AB的方程為3. 解:設(shè)P(),C(),D()由、共線得 由D、A、P共線得 由聯(lián)立求出代入得 整理得4. (1)證明:A(),B(),:由題意,且 點P在橢圓上 :為橢圓的右準(zhǔn)線,且右焦點為B(2,0),若到的距離為則為定值(2)解:當(dāng),即或時,取最大值(3)解:設(shè)存在直線與P點所在曲線交于C()、D()兩點,CD中點為N()則, 即GN為CD的中垂線,由得 由得 又, 由得 但由得,二者矛盾,故這樣的正數(shù)不存在

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