2022年高三數學第一次聯考試題 文（含解析）新人教A版

2022年高三數學第一次聯考試題 文（含解析）新人教A版本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。滿分為150分，考試用時為120分鐘.第卷（選擇題，共50分）【試卷綜析】試題比較平穩(wěn)，基本符合高考復習的特點，穩(wěn)中有變，變中求新,適當調整了試卷難度，體現了穩(wěn)中求進的精神.考查的知識涉及到函數、三角函數、數列、導數等幾章知識，重視學科基礎知識和基本技能的考察，同時側重考察了學生的學習方法和思維能力的考察，這套試題以它的知識性、思辨性、靈活性，基礎性充分體現了考素質，考基礎，考方法，考潛能的檢測功能.試題中無偏題，怪題，起到了引導高中數學向全面培養(yǎng)學生數學素質的方向發(fā)展的作用.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的【題文】1、已知全集，集合，則等于（ ）A. B. C. D. 【知識點】交集及其運算. A1【答案解析】A 解析：由A中的不等式變形得：2x1=20，解得：x0，即A=（0，+），B=（4，1），AB=（0，1）故選：A【思路點撥】求出A中不等式的解集確定出A，找出A與B的交集即可.【題文】2、已知為虛數單位，復數的模（ ） A. 1 B. C D.3【知識點】復數求模. L4【答案解析】C 解析：z=i（2i）=2i+1，|z|=，故選：C【思路點撥】根據復數的有關概念直接進行計算即可得到結論.【題文】3、在等差數列中，已知，則（ ） A. 7B. 8C. 9D. 10【知識點】等差數列的性質. D2【答案解析】D 解析：在等差數列an中，a1+a7=10，a3+a5=a1+2d+a1+4d=a1+（a1+6d）=a1+a7=10故選：D【思路點撥】在等差數列an中，由a1+a7=10，能求出a3+a5的值.【題文】4、設是兩個非零向量，則“”是“夾角為銳角”的（ ） A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【知識點】數量積的符號與兩個向量的夾角范圍的關系.充分條件；必要條件. A2 F3【答案解析】B 解析：當 0時，與的夾角可能為銳角，也可能為零角，故充分性不成立；當與的夾角為銳角時，0一定成立，故必要性成立綜上，0是與的夾角為銳角的必要而不充分條件，故選B【思路點撥】先看當 0時，能否推出與的夾角是否為銳角，再看當與的夾角為銳角時，0是否一定成立，然后根據充分條件、必要條件的定義進行判斷【題文】5、在“魅力咸陽中學生歌手大賽”比賽現場上七位評委為某選手打出的分數的莖葉統(tǒng)計圖如圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均數和方差分別為（ ） A.5和1.6B.85和1.6 C. 85和0.4 D. 5和0.4【知識點】莖葉圖；眾數、中位數、平均數. I2 【答案解析】B 解析：根據題意可得：評委為某選手打出的分數還剩84，84，84，86，87，所以所剩數據的平均數為=85，所剩數據的方差為（8485）2+（8485）2+（8685）2+（8485）2+（8785）2=1.6故選B【思路點撥】根據均值與方差的計算公式，分別計算出所剩數據的平均數和方差分即可.【題文】6、如果直線與平面滿足：那么必有（ ）A. B. C. D.【知識點】空間中直線與平面之間的位置關系. G3 G4 G5【答案解析】A 解析：m和m，l=，llm，故選A【思路點撥】m和m，l=，l然后推出lm，得到結果.【題文】241正視圖俯視圖側視圖7、如圖所示，某幾何體的正視圖（主視圖），側視圖（左視圖）和俯視圖分別是等腰梯形，等腰直角三角形和長方形，則該幾何體體積為（ ）A B C D【知識點】由三視圖求面積、體積. G2【答案解析】A 解析：由三視圖知幾何體是直三棱柱削去兩個相同的三棱錐，由側視圖得三棱柱的底面為直角邊長為1的等腰直角三角形，三棱柱側棱長為4，三棱柱的體積為=2，由正視圖與俯視圖知兩個三棱錐的高為1，三棱錐的體積為××1×1×1=，幾何體的體積V=22×=故選A【思路點撥】由三視圖知幾何體是直三棱柱削去兩個相同的三棱錐，根據側視圖得三棱柱的底面為直角邊長為1的等腰直角三角形，三棱柱側棱長為4.【題文】8、定義運算“”為：兩個實數的“”運算原理如圖所示，若輸人， 則輸出（ ）A.2 B0 C、2 D.4【知識點】程序框圖. L1【答案解析】D 解析：由程序框圖知，算法的功能是求P=的值，a=2cos=2cos=1b=2，P=2×（1+1）=4故選：D【思路點撥】算法的功能是求P=的值，利用三角誘導公式求得a、b的值，代入計算可得答案【題文】9、在長為12 厘米的線段上任取一點，現作一矩形,鄰邊長分別等于線段的長,則該矩形面積大于20平方厘米的概率為（ ）A. B. C. D. 【知識點】幾何概型. K3【答案解析】C 解析：設AC=x，則BC=12x，矩形的面積S=x（12x）20x212x+200，2x10由幾何概率的求解公式可得，矩形面積大于20cm2的概率P=，故選C【思路點撥】設AC=x，則BC=12x，由矩形的面積S=x（12x）20可求x的范圍，利用幾何概率的求解公式可求結論.【題文】10、如圖，是函數圖像上一點，曲線在點處的切線交軸于點，軸，垂足為 若的面積為，則 與滿足關系式（ ） A. B. C. D. 【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程 B12【答案解析】B 解析：設A的坐標為（a，0），由導數的幾何意義得：f'（x0）為曲線y=f（x）在x=x0處切線的斜率，故P點處的切線方程為yf（x0）=f'（x0）（xx0），令y=0，則0f（x0）=f'（x0）（xx0），即x=x0，即a=x0，又PAB的面積為，ABPB=，即（x0a）f（x0）=1，f（x0）=1即f'（x0）=f（x0）2，故選B【思路點撥】根據導數的幾何意義：f'（x0）為曲線y=f（x）在x=x0處切線的斜率，寫出切線方程，令y=0，求出A點的坐標，分別求出AB，PB長，運用三角形的面積公式，化簡即可.第II卷（非選擇題，共100分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，其中1415題是選做題，考生只需選做其中一題，兩題全答的，只以第14小題計分【題文】11函數，則【知識點】分段函數的函數值. B1【答案解析】 解析：，故答案為：【思路點撥】先求，故代入x0時的解析式；求出=2，再求值即可.【題文】12. 若目標函數在約束條件下僅在點處取得最小值，則實數的取值范圍是 .【知識點】簡單線性規(guī)劃. E5【答案解析】（4，2） 解析：作出不等式對應的平面區(qū)域，由z=kx+2y得y=x+，要使目標函數z=kx+2y僅在點B（1，1）處取得最小值，則陰影部分區(qū)域在直線z=kx+2y的右上方，目標函數的斜率大于x+y=2的斜率且小于直線2xy=1的斜率，即12，解得4k2，即實數k的取值范圍為（4，2），故答案為：（4，2）【思路點撥】作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，確定目標取最優(yōu)解的條件，即可求出k的取值范圍.【題文】13. 已知，且，則 【知識點】兩角和與差的余弦函數；同角三角函數間的基本關系C5 C2【答案解析】 解析：因為cos=，cos（）=，且0，0，所以sin=，（0，），sin（）=，cos=cos（）=coscos（）+sinsin（）=故答案為：【思路點撥】通過、的范圍，求出的范圍，然后求出sin，sin（）的值，即可求解cos【題文】14.（坐標系與參數方程）在極坐標系中圓的圓心到直線的距離是 【知識點】簡單曲線的極坐標方程. N3【答案解析】1 解析：圓=4cos，2=4cos化為普通方程為x2+y2=4x，即（x2）2+y2=4，圓心的坐標為（2，0）直線=（R），直線的方程為y=x，即xy=0圓心（2，0）到直線xy=0的距離=1故答案為：1【思路點撥】先將極坐標方程化為普通方程，可求出圓心的坐標，再利用點到直線的距離公式即可求出答案【題文】15（幾何證明選講）如圖，點B在O上， M為直徑AC上一點，BM的延長線交O于N， ，若O的半徑為，OA=OM ，則MN的長為 【知識點】與圓有關的比例線段. N1【答案解析】2 解析：BNA=45°，圓心角AOB和圓周角ANB對應著相同的一段弧，AOB=90°，O的半徑為2，OA=OM，OM=2，在直角三角形中BM=4，根據圓內兩條相交弦定理有4MN=（2+2）（22），MN=2，故答案為：2【思路點撥】根據圓心角AOB和圓周角ANB對應著相同的一段弧，得到角AOB是一個直角，根據所給的半徑的長度和OA，OM之間的關系，求出OM的長和BM的長，根據圓的相交弦定理做出結果三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟【題文】16（本題滿分12分）已知向量，設函數.（）求函數單調增區(qū)間；（）若，求函數的最值，并指出取得最值時的取值.【知識點】平面向量數量積的運算；三角函數中的恒等變換應用. F3 C7【答案解析】（），（kZ）；（）f（x）取得最小值0，此時，f（x）取得最大值，此時.解析：（）=當，kZ，即，kZ，即，kZ時，函數f（x）單調遞增，函數f（x）的單調遞增區(qū)間是，（kZ）；（）f（x）=sin（2x+）+，當時，當時，f（x）取得最小值0，此時2x+=，當時，f（x）取得最大值，此時2x+=，【思路點撥】（）利用向量的數量積求出f（x）的解析式，再利用三角函數的圖象與性質求出單調區(qū)間；（）由三角函數的圖象與性質，結合區(qū)間x，求函數f（x）的最值以及對應x的值【題文】17、（本題滿分12分）某小區(qū)在一次對20歲以上居民節(jié)能意識的問卷調查中，隨機抽取了100份問卷進行統(tǒng)計，得到相關的數據如下表：節(jié)能意識弱節(jié)能意識強總計20至50歲45954大于50歲103646總計5545100（1）由表中數據直觀分析，節(jié)能意識強弱是否與人的年齡有關？（2）若全小區(qū)節(jié)能意識強的人共有350人，則估計這350人中，年齡大于50歲的有多少人？（3）按年齡分層抽樣，從節(jié)能意識強的居民中抽5人，再是這5人中任取2人，求恰有1人年齡在20至50歲的概率?！局R點】用樣本的頻率分布估計總體分布；抽樣方法；等可能事件的概率I2 I1 K1【答案解析】(1) 節(jié)能意識強弱與年齡有關；（2）280人；（3） 解析：（1）因為20至50歲的54人有9人節(jié)能意識強，大于50歲的46人有36人節(jié)能意識強，與相差較大，所以節(jié)能意識強弱與年齡有關（2）由數據可估計在節(jié)能意識強的人中，年齡大于50歲的概率約為年齡大于50歲的約有（人）（3）抽取節(jié)能意識強的5人中，年齡在20至50歲的（人），年齡大于50歲的51=4人，記這5人分別為a，B1，B2，B3，B4從這5人中任取2人，共有10種不同取法：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），設A表示隨機事件“這5人中任取2人，恰有1人年齡在20至50歲”，則A中的基本事件有4種：（a，B1），（a，B2），（a，B3），（a，B4）故所求概率為 .【思路點撥】（1）利用獨立性檢驗的基本思想，只要在每個年齡段計算它們節(jié)能意識強的概率，若差距較大說明與年齡有關，也可利用|adbc|的值的大小來直觀判斷；（2）先利用統(tǒng)計數據計算在節(jié)能意識強的人中，年齡大于50歲的概率，再由總體乘以概率即可得總體中年齡大于50歲的有多少人；（3）先確定抽樣比，即每層中應抽取，故再抽到的5人中，一人年齡小于50，4人年齡大于50，從中取兩個，求恰有1人年齡在20至50歲的概率為古典概型，利用古典概型的概率計算公式，分別利用列舉法計數即可得所求概率.【題文】18、（本題滿分14分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，點O是對角線與的交點,是的中點,. （1）求證：平面; （2）平面平面（3）當四棱錐的體積等于時,求的長.【知識點】平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定G1 G4 G5 【答案解析】（1）證明：略；（2）證明：略；（3）.解析：（1）證明：在PBD中，O、M分別是BD、PD的中點，OM是PBD的中位線，OMPB，（1分）OM平面PBD，PB平面PBD，（3分）OM平面PAB（4分）（2）證明：底面ABCD是菱形，BDAC，（5分）PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA（6分）AC平面PAC，PA平面PAC，ACPA=A，BD平面PAC，（8分）BD平面PBD，平面PBD平面PAC（10分）（3）解：底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60°，（11分）四棱錐PABCD的高為PA，得（12分）PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB（13分）在RtPAB中，（14分）【思路點撥】（1）利用三角形中位線的性質，證明線線平行，從而可得線面平行；（2）先證明BD平面PAC，即可證明平面PBD平面PAC；（3）利用四棱錐PABCD的體積等于時，求出四棱錐PABCD的高為PA，利用PAAB，即可求PB的長【題文】19、（本題滿分14分）已知等差數列的公差為, 且,（1）求數列的通項公式與前項和；（2）將數列的前項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數列的前3項,記的前項和為, 若存在, 使對任意總有恒成立, 求實數的取值范圍.【知識點】等差數列與等比數列的綜合；數列與不等式的綜合D2 D3 E8【答案解析】（1）；（2）2 . 解析：（1）由a2+a7+a12=6得a7=2，所以a1=4（4分）an=5n，從而（6分）（2）由題意知b1=4，b2=2，b3=1（18分）設等比數列bn的公比為q，則， 隨m遞減，Tm為遞增數列，得4Tm8（10分）又，故（Sn）max=S4=S5=10，（11分）若存在mN*，使對任意nN*總有SnTm+則108+，得2（14分）【思路點撥】（1）先利用a2+a7+a12=6以及等差數列的性質，求出a7=2，再把公差代入即可求出首項，以及通項公式和前n項和Sn；（2）先由已知求出等比數列的首項和公比，代入求和公式得Tm，并利用函數的單調性求出其范圍；再利用（1）的結論以及SnTm+恒成立，即可求實數的取值范圍【題文】20、（本題滿分14分）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于兩點，且直線與軸交于點(1)求證：成等比數列；(2)設，試問是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請說明理由【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題；等比關系的確定. H8 D3【答案解析】（1）證明：略；（2）為定值且定值為1. 解析：(1)證明：設直線的方程為：，聯立方程可得得設，則，而，即成等比數列-7分(2)由，得，即得：，則 由(1)中代入得，故為定值且定值為1.-14分【思路點撥】（1）設直線l的方程為：y=kx+2，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得|MA|，|MC|、|MB|成等比數列，從而解決問題（2）由，得，從而利用x1，x2，及k來表示，最后結合（1）中根系數的關系即得故+為定值【題文】21、（本題滿分14分）設函數（），(1) 若函數圖象上的點到直線距離的最小值為，求的值；(2) 關于的不等式的解集中的整數恰有3個，求實數的取值范圍；(3) 對于函數與定義域上的任意實數，若存在常數，使得和都成立，則稱直線為函數與的“分界線”設，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由【知識點】兩點間距離公式的應用；利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；不等式. B12 E8【答案解析】（1）；（2）；（3）與存在“分界線， 且“分界線”方程為：解析：（1）因為，所以，令得：，此時，2分則點到直線的距離為，即，解之得4分（2）解法一：不等式的解集中的整數恰有3個，等價于恰有三個整數解，故，6分令，由且， 所以函數的一個零點在區(qū)間，則另一個零點一定在區(qū)間，8分故解之得10分解法二：恰有三個整數解，故，即，6分，所以，又因為，8分所以，解之得10分（3）設，則所以當時，；當時，因此時，取得最小值，則與的圖象在處有公共點12分設與存在 “分界線”，方程為，即，由在恒成立，則在恒成立 所以成立， 因此下面證明恒成立 設，則 所以當時，；當時，因此時取得最大值，則成立故所求“分界線”方程為：14分【思路點撥】（1）直接運用點到直線的距離公式，然后求解即可得到答案（2）關于由不等式解集整數的個數，然后求未知量取值范圍的題目，可利用恒等變換，把它轉化為求函數零點的問題，即可求解（3）屬于新定義的題目，可以用函數求導數求最值的方法解答