2022年高考數學二輪復習 專題8 選修專題 第三講 不等式選講 理
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2022年高考數學二輪復習 專題8 選修專題 第三講 不等式選講 理
2022年高考數學二輪復習 專題8 選修專題 第三講 不等式選講 理1絕對值三角不等式(1)定理1:如果a,b是實數,則|aB|a|b|,當且僅當ab0時,等號成立(2)定理2:如果a,b,c是實數,那么|ac|ab|bc|,當且僅當(ab)(bc)0時,等號成立2絕對值不等式的解法(1)不等式|x|<a與|x|>a的解集:不等式a>0a0a<0|x|<ax|a<x<a|x|>ax|x>a或x<ax|x0R|axb|ccaxbc;|axb|caxbc或axbc(3)|xa|xb|c(c>0)和|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法:方法一:利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數形結合的思想;方法二:利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想;方法三:通過構造函數,利用函數的圖象求解,體現(xiàn)了函數與方程的思想3柯西不等式的二維形式(1)柯西不等式的代數形式:設a1,a2,b1,b2均為實數,則(aa)(bb)(a1b1a2b2)2(當且僅當a1b2a2b1時,等號成立)(2)柯西不等式的向量形式:設,為平面上的兩個向量,則|·|.(3)二維形式的三角不等式:設x1,y1,x2,y2R,那么.4柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式:設a1,a2,an,b1,b2,bn為實數,則(aaa)·(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.5基本不等式的一般形式(a1,a2,anR)1函數y|x4|x6|的最小值為(A)A2 B. C4 D6解析:y|x1|x6|x46x|2.2不等式3|52x|<9的解集為(D)A2,1)4,7) B(2,1(4,7C(2,14,7) D(2,14,7)解析:得(2,14,7)3(xx·皖南八校聯(lián)考)不等式|x3|x1|a23a對任意實數x恒成立,則實數a的取值范圍為(A)A1,4B(,25,)C2,5D(,2)4,)解析:由絕對值的幾何意義易知|x3|x1|的最小值為4,所以不等式|x3|x1|a23a對任意實數x恒成立,只需a23a4,解得1a4.4(xx·延邊州質檢)函數y(x0)的最小值為(B)A6 B7 C. D9解析:原式變形為yx21,因為x0,所以x2>0,所以x26.所以y7,當且僅當x1時取等號所以ymin7(當且僅當x1時)一、選擇題1不等式|x5|x3|10的解集是(D)A5,7 B4,6C(,57,) D(,46,)解析:當x3時,|x5|x3|5xx322x10,即x4,x4.當3<x<5時,|x5|x3|5xx3810,不成立,無解當x5時,|x5|x3|x5x32x210,即x6,x6.綜上可知,不等式的解集為(,46,),故選D.2(xx·延邊州質檢)函數y(x0)的最小值為(B)A6 B7 C. D9解析:原式變形為yx21,因為x0,所以x2>0,所以x26.所以y7,當且僅當x1時取等號所以ymin7(當且僅當x1時) 3若x,yR且滿足x3y2,則3x27y1的最小值是(D)A3 B12C6 D7解析:3x33y121217.當且僅當3x33y時,即x3y1時取等號4設x>0,y>0,A,B,則A,B的大小關系是(B)AAB BA<BCAB DA>B解析:B>A,即A<B.5設a,b,c為正數且a2b3c13,則的最大值為(C)A. B. C. D.解析:(a2b3c)()2,a2b2c13,()2.,當且僅當時取等號a2b3c13,a9,b,c時,取最大值.二、填空題6不等式1<|x1|<3的解集為(4,2)(0,2)7不等式|x8|x4|>2的解集為x|x<5解析:令f(x)|x8|x4|4<x8,當x4時,f(x)4>2;當4<x8,時f(x)2x12>2,得x<5,4<x<5;當x>8時,f(x)4>2不成立故原不等式的解集為x|x<58已知關于x的不等式|x1|x|k無解,則實數k的取值范圍是k<1解析:|x1|x|x1x|1,當k<1時,不等式|x1|x|k無解,故k<1.三、解答題9(xx·柳州一模)已知關于x的不等式|2x1|x1|log2a(其中a>0)(1)當a4時,求不等式的解集;(2)若不等式有解,求實數a的取值范圍解析:(1)當a4時,不等式即|2x1|x1|2.當x<時,不等式為x22,解得4x<.當x1時,不等式為3x2,解得x.當x>1時,不等式為x22,此時x不存在綜上,不等式的解集為.(2)設f(x)|2x1|x1|故f(x),即f(x)的最小值為.所以當f(x)log2a有解,則有l(wèi)og2a,解得a,即a的取值范圍是.10(xx·遼寧卷)設函數f(x)2|x1|x1,g(x)16x28x1.記f(x)1的解集為M,g(x)4的解集為N.(1)求M;(2)當xMN時,求證:x2f(x)xf(x)2.解析:(1)由f(x)2|x1|x11可得或解得1x,解得0x<1.綜上,原不等式的解集為.(2)由g(x)16x28x14,得x,N.MN.當xMN時,f(x)1x,x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x),故要證的不等式成立11已知不等式|a2|x22y23z2對滿足xyz1的一切實數x,y,z都成立,求實數a的取值范圍解析:由柯西不等式,得x2(y)2(z)2(xyz)2.x22y23z2.當且僅當時取等號,即x,y,z取等號則|a2|.所以實數a的取值范圍為.