2022年高考數學二輪復習 專題8 選修專題 第三講 不等式選講 理

2022年高考數學二輪復習 專題8 選修專題 第三講 不等式選講 理1絕對值三角不等式(1)定理1：如果a，b是實數，則|aB|a|b|，當且僅當ab0時，等號成立(2)定理2：如果a，b，c是實數，那么|ac|ab|bc|，當且僅當(ab)(bc)0時，等號成立2絕對值不等式的解法(1)不等式|x|<a與|x|>a的解集：不等式a>0a0a<0|x|<ax|a<x<a|x|>ax|x>a或x<ax|x0R|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc(3)|xa|xb|c(c>0)和|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法：方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數形結合的思想；方法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；方法三：通過構造函數，利用函數的圖象求解，體現(xiàn)了函數與方程的思想3柯西不等式的二維形式(1)柯西不等式的代數形式：設a1，a2，b1，b2均為實數，則(aa)(bb)(a1b1a2b2)2(當且僅當a1b2a2b1時，等號成立)(2)柯西不等式的向量形式：設，為平面上的兩個向量，則|·|.(3)二維形式的三角不等式：設x1，y1，x2，y2R，那么.4柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：設a1，a2，an，b1，b2，bn為實數，則(aaa)·(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.5基本不等式的一般形式(a1，a2，anR)1函數y|x4|x6|的最小值為(A)A2 B. C4 D6解析：y|x1|x6|x46x|2.2不等式3|52x|<9的解集為(D)A2，1)4，7) B(2，1(4，7C(2，14，7) D(2，14，7)解析：得(2，14，7)3(xx·皖南八校聯(lián)考)不等式|x3|x1|a23a對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍為(A)A1，4B(，25，)C2，5D(，2)4，)解析：由絕對值的幾何意義易知|x3|x1|的最小值為4，所以不等式|x3|x1|a23a對任意實數x恒成立，只需a23a4，解得1a4.4(xx·延邊州質檢)函數y(x0)的最小值為(B)A6 B7 C. D9解析：原式變形為yx21，因為x0，所以x2>0，所以x26.所以y7，當且僅當x1時取等號所以ymin7(當且僅當x1時)一、選擇題1不等式|x5|x3|10的解集是(D)A5，7 B4，6C(，57，) D(，46，)解析：當x3時，|x5|x3|5xx322x10，即x4，x4.當3<x<5時，|x5|x3|5xx3810，不成立，無解當x5時，|x5|x3|x5x32x210，即x6，x6.綜上可知，不等式的解集為(，46，)，故選D.2(xx·延邊州質檢)函數y(x0)的最小值為(B)A6 B7 C. D9解析：原式變形為yx21，因為x0，所以x2>0，所以x26.所以y7，當且僅當x1時取等號所以ymin7(當且僅當x1時) 3若x，yR且滿足x3y2，則3x27y1的最小值是(D)A3 B12C6 D7解析：3x33y121217.當且僅當3x33y時，即x3y1時取等號4設x>0，y>0，A，B，則A，B的大小關系是(B)AAB BA<BCAB DA>B解析：B>A，即A<B.5設a，b，c為正數且a2b3c13，則的最大值為(C)A. B. C. D.解析：(a2b3c)()2，a2b2c13，()2.，當且僅當時取等號a2b3c13，a9，b，c時，取最大值.二、填空題6不等式1<|x1|<3的解集為(4，2)(0，2)7不等式|x8|x4|>2的解集為x|x<5解析：令f(x)|x8|x4|4<x8，當x4時，f(x)4>2；當4<x8，時f(x)2x12>2，得x<5，4<x<5；當x>8時，f(x)4>2不成立故原不等式的解集為x|x<58已知關于x的不等式|x1|x|k無解，則實數k的取值范圍是k<1解析：|x1|x|x1x|1，當k<1時，不等式|x1|x|k無解，故k<1.三、解答題9(xx·柳州一模)已知關于x的不等式|2x1|x1|log2a(其中a>0)(1)當a4時，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求實數a的取值范圍解析：(1)當a4時，不等式即|2x1|x1|2.當x<時，不等式為x22，解得4x<.當x1時，不等式為3x2，解得x.當x>1時，不等式為x22，此時x不存在綜上，不等式的解集為.(2)設f(x)|2x1|x1|故f(x)，即f(x)的最小值為.所以當f(x)log2a有解，則有l(wèi)og2a，解得a，即a的取值范圍是.10(xx·遼寧卷)設函數f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.記f(x)1的解集為M，g(x)4的解集為N.(1)求M；(2)當xMN時，求證：x2f(x)xf(x)2.解析：(1)由f(x)2|x1|x11可得或解得1x，解得0x<1.綜上，原不等式的解集為.(2)由g(x)16x28x14，得x，N.MN.當xMN時，f(x)1x，x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x)，故要證的不等式成立11已知不等式|a2|x22y23z2對滿足xyz1的一切實數x，y，z都成立，求實數a的取值范圍解析：由柯西不等式，得x2(y)2(z)2(xyz)2.x22y23z2.當且僅當時取等號，即x，y，z取等號則|a2|.所以實數a的取值范圍為.