2019年高考數(shù)學(xué) 考綱解讀與熱點(diǎn)難點(diǎn)突破 專題04 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教學(xué)案 文（含解析）

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【2019年高考考綱解讀】高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是考查熱點(diǎn)，要求是B級，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上在某點(diǎn)處的切線的斜率，能夠解決與曲線的切線有關(guān)的問題；(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，要求是B級，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、常用導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，一般不單獨(dú)設(shè)置試題，是解決導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的第一步；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值是導(dǎo)數(shù)的核心內(nèi)容，要求是B級，對應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值要達(dá)到相等的高度.(4)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用為函數(shù)應(yīng)用題注入了新鮮的血液，使應(yīng)用題涉及到的函數(shù)模型更加寬廣，要求是B級；(5)導(dǎo)數(shù)還經(jīng)常作為高考的壓軸題，能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識、基本技能，還要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力估計(jì)以后對導(dǎo)數(shù)的考查力度不會減弱作為導(dǎo)數(shù)綜合題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等，常伴隨對參數(shù)的討論，這也是難點(diǎn)之所在.【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率，即kf(x0)(2)曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)cf(x)0f(x)xn(nR)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算u(x)±v(x)u(x)±v(x)；u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；(v(x)0)3函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)如果已知函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，則這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間上大(小)于零恒成立在區(qū)間上離散點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調(diào)性，如函數(shù)yxsin x . 4函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值對可導(dǎo)函數(shù)而言，某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于零是函數(shù)在該點(diǎn)取得極值的必要條件例如f(x)x3，雖有f(0)0，但x0不是極值點(diǎn)，因?yàn)閒(x)0恒成立，f(x)x3在(，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，無極值5閉區(qū)間上函數(shù)的最值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，一定有最大值和最小值，其最大值是區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極大值中的最大者，最小值是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極小值中的最小值6函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則f(x)0在區(qū)間(a，b)上恒成立；(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則f(x)0在區(qū)間(a，b)上恒成立；(3)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)是f(x)0的必要不充分條件.【題型示例】題型一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例1】(2018·全國)設(shè)函數(shù)f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)為奇函數(shù)，則曲線yf(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為()Ay2x Byx Cy2x Dyx答案D解析方法一f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(x)3x21，f(0)1，曲線yf(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為yx.故選D.方法二f(x)x3(a1)x2ax為奇函數(shù)，f(x)3x22(a1)xa為偶函數(shù)，a1，即f(x)3x21，f(0)1，曲線yf(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為yx.故選D.【舉一反三】(2018·全國)曲線y2ln x在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為_答案2xy20解析因?yàn)閥，y|x12，所以切線方程為y02(x1)，即2xy20.【變式探究】若函數(shù)f(x)ln x(x>0)與函數(shù)g(x)x22xa(x<0)有公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B(1，)C(1，) D(ln 2，)答案A解析設(shè)公切線與函數(shù)f(x)ln x切于點(diǎn)A(x1，ln x1)(x1>0)，則切線方程為yln x1(xx1)設(shè)公切線與函數(shù)g(x)x22xa切于點(diǎn)B(x2，x2x2a)(x2<0)，則切線方程為y(x2x2a)2(x21)(xx2)，x2<0<x1，0<<2.又aln x121ln 21，令t，0<t<2，at2tln t.設(shè)h(t)t2tln t(0<t<2)，則h(t)t1<0，h(t)在(0,2)上為減函數(shù)，則h(t)>h(2)ln 21ln ，a.【變式探究】【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 【答案】【感悟提升】函數(shù)圖像上某點(diǎn)處的切線斜率就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最值的基本方法是“平行切線法”，即作出與直線平行的曲線的切線，則這條切線到已知直線的距離即為曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最值，結(jié)合圖形可以判斷是最大值還是最小值【舉一反三】(2015·陜西，15)設(shè)曲線yex在點(diǎn)(0，1)處的切線與曲線y(x0)上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為_解析(ex)e01，設(shè)P(x0，y0)，有1，又x00，x01，故xP(1，1)答案(1，1)【變式探究】 (1)曲線yxex1在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率等于()A2eBeC2D1(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))過點(diǎn)P(2，5)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的幾何意義(2)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查考生的運(yùn)算求解能力【感悟提升】1求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解題型二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例2】已知函數(shù)f(x)4ln xmx21.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若對任意x，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)由題意知f(x)2mx(x>0)，當(dāng)m0時，f(x)>0在x(0，)時恒成立，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)m>0時，f(x)(x>0)，令f(x)>0，得0<x<；令f(x)<0，得 x>.f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)m0時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)m>0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)方法一由題意知4ln xmx210在上恒成立，即m在上恒成立令g(x)，x， g(x)，x1，e，令g(x)>0，得1<x<；令g(x)<0，得<x<e.g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減g(x)maxg，m.方法二要使f(x)0恒成立，只需f(x)max0，由(1)知，若m0，則f(x)在上單調(diào)遞增f(x)maxf(e)4me210，即m，這與m0矛盾，此時不成立若m>0，()若e，即0<m，則f(x)在上單調(diào)遞增，f(x)maxf(e)4me210，即m，這與0<m矛盾，此時不成立()若1<<e，即<m<2，則f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減f(x)maxf4ln10，即，解得m.又<m<2，m<2，()若0<1，即m2，則f(x)在上單調(diào)遞減，則f(x)maxf(1)m10，m1.又m2，m2.綜上可得m.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【變式探究】 (2017·高考全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)(1x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x0時，f(x)ax1，求a的取值范圍解：(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1或x1.當(dāng)x(，1)時，f(x)<0；當(dāng)x(1，1)時，f(x)>0；當(dāng)x(1，)時，f(x)<0.所以f(x)在(，1)，(1，)單調(diào)遞減，在(1，1)單調(diào)遞增(2)f(x)(1x)(1x)ex.當(dāng)a1時，設(shè)函數(shù)h(x)(1x)ex，則h(x)xex<0(x>0)，因此h(x)在0，)單調(diào)遞減而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.當(dāng)0<a<1時，設(shè)函數(shù)g(x)exx1，則g(x)ex1>0(x>0)，所以g(x)在0，)單調(diào)遞增而g(0)0，故exx1.當(dāng)0<x<1時，f(x)>(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，則x0(0,1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)>ax01.當(dāng)a0時，取x0，則x0(0,1)，f(x0)>(1x0)(1x0)21ax01.綜上，a的取值范圍是1，)【變式探究】【2016高考山東文數(shù)】已知.（I）討論的單調(diào)性；（II）當(dāng)時，證明對于任意的成立.【答案】（）見解析；（）見解析【解析】（）的定義域?yàn)椋?當(dāng)， 時，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減.當(dāng)時，.（1），當(dāng)或時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；（2）時，在內(nèi)，單調(diào)遞增；（3）時，當(dāng)或時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（）由（）知，時，令，.則，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.又，設(shè)，則在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在上存在使?時，時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，由于，因此，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，所以，即對于任意的恒成立。【感悟提升】確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要特別注意函數(shù)的定義域，不要從導(dǎo)數(shù)的定義域確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在某些情況下函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義域與原函數(shù)的定義域不同【舉一反三】(2015·福建，10)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)1，其導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)k1，則下列結(jié)論中一定錯誤的是()Af BfCf Df【變式探究】已知函數(shù)f(x)exex2x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)g(x)f(2x)4bf(x)，當(dāng)x>0時，g(x)>0，求b的最大值；(3)已知1.414 2<<1.414 3，估計(jì)ln 2的近似值(精確到0.001)【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的最值、估計(jì)無文數(shù)的近似值等，考查基本不等式的應(yīng)用與分類討論思想的應(yīng)用，意在考查考生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力與對知識的綜合應(yīng)用能力【解析】 (1)f(x)exex20，等號僅當(dāng)x0時成立所以f(x)在(，)單調(diào)遞增(2)g(x)f(2x)4bf(x)e2xe2x4b(exex)(8b4)x，g(x)2e2xe2x2b(exex)(4b2)2(exex2)(exex2b2)當(dāng)b2時，g(x)0，等號僅當(dāng)x0時成立，所以g(x)在(，)單調(diào)遞增而g(0)0，所以對任意x>0，g(x)>0；當(dāng)b>2時，若x滿足2<exex<2b2，即0<x<ln(b1)時，g(x)<0.而g(0)0，因此當(dāng)0<x<ln(b1)時，g(x)<0.綜上，b的最大值為2.(3)由(2)知，g(ln )2b2(2b1)ln 2.當(dāng)b2時，g(ln )46ln 2>0，ln 2>>0.692 8；當(dāng)b1時，ln(b1)ln ，g(ln)2(3 2)ln 2 <0，ln 2<<0.693 4. （2）因?yàn)楹瘮?shù)只有1個零點(diǎn)，而，所以0是函數(shù)的唯一零點(diǎn).因?yàn)?，又由知，所以有唯一?令，則，從而對任意，所以是上的單調(diào)增函數(shù)，于是當(dāng)，；當(dāng)時，.因而函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù).下證.若，則，于是，又，且函數(shù)在以和為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在和之間存在的零點(diǎn)，記為. 因?yàn)椋?，又，所以與“0是函數(shù)的唯一零點(diǎn)”矛盾.若，同理可得，在和之間存在的非0的零點(diǎn)，矛盾.因此，.于是，故，所以.【舉一反三】(2015·陜西，12)對二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a為非零整數(shù))，四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是()A1是f(x)的零點(diǎn) B1是f(x)的極值點(diǎn)C3是f(x)的極值 D點(diǎn)(2，8)在曲線yf(x)上解析A正確等價于abc0，B正確等價于b2a，C正確等價于3，D正確等價于4a2bc8.下面分情況驗(yàn)證，若A錯，由、組成的方程組的解為符合題意；若B錯，由、組成的方程組消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程后無實(shí)數(shù)解；若C錯，由、組成方程組，經(jīng)驗(yàn)證a無整數(shù)解；若D錯，由、組成的方程組a的解為也不是整數(shù)綜上，故選A.答案A【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國，12)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)0，當(dāng)x>0時，xf(x)f(x)0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0，1)B(1，0)(1，)C(，1)(1，0)D(0，1)(1，)解析因?yàn)閒(x)(xR)為奇函數(shù)，f(1)0，所以f(1)f(1)0.當(dāng)x0時，令g(x)，則g(x)為偶函數(shù)，且g(1)g(1)0.則當(dāng)x0時，g(x)0，故g(x)在(0，)上為減函數(shù)，在(，0)上為增函數(shù)所以在(0，)上，當(dāng)0x1時，g(x)g(1)00f(x)0；在(，0)上，當(dāng)x1時，g(x)g(1)00f(x)0.綜上，得使得f(x)0成立的x的取值范圍是(，1)(0，1)，選A.答案A【舉一反三】(2015·江蘇，19)已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a，bR)(1)試討論f(x)的單調(diào)性；(2)若bca(實(shí)數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個不同的零點(diǎn)時，a的取值范圍恰好是(，3)，求c的值解(1)f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.當(dāng)a0時，因?yàn)閒(x)3x20(x0)，所以函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，x(0，)時，f(x)0，x時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在，(0，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時，x(，0)時，f(x)0，x時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個極值為f(0)b，fa3b，則函數(shù)f(x)有三個零點(diǎn)等價于f(0)·fb0，從而或又bca，所以當(dāng)a 0時，a3ac0或當(dāng)a0時，a3ac0.設(shè)g(a)a3ac，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個零點(diǎn)時，a的取值范圍恰好是(，3)，則在(，3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立從而g(3)c10，且gc10，因此c1.此時，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函數(shù)有三個零點(diǎn)，則x2(a1)x1a0有兩個異于1的不等實(shí)根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).綜上c1.題型四導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【例4】(2017·高考天津卷)設(shè)a，bR，|a|1.已知函數(shù)f(x)x36x23a(a4)xb，g(x)exf(x)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)已知函數(shù)yg(x)和yex的圖象在公共點(diǎn)(x0，y0)處有相同的切線，求證：f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)等于0；若關(guān)于x的不等式g(x)ex在區(qū)間x01，x01上恒成立，求b的取值范圍解：(1)由f(x)x36x23a(a4)xb，可得f(x)3x212x3a(a4)3(xa)x(4a)令f(x)0，解得xa或x4a.由|a|1，得a4a.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，a)(a,4a)(4a，)f(x)f(x)所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，a)，(4a，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a,4a)(2)證明：因?yàn)間(x)ex(f(x)f(x)，由題意知所以，解得所以，f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)等于0.因?yàn)間(x)ex，xx01，x01，且ex0，所以f(x)1.又因?yàn)閒(x0)1，f(x0)0，所以x0為f(x)的極大值點(diǎn)，由(1)知x0a.另一方面，由于|a|1，故a14a.由(1)知f(x)在(a1，a)內(nèi)單調(diào)遞增，在(a，a1)內(nèi)單調(diào)遞減，故當(dāng)x0a時，f(x)f(a)1在a1，a1上恒成立，從而g(x)ex在x01，x01上恒成立由f(a)a36a23a(a4)ab1，得b2a36a21，1a1.令t(x)2a36x21，x1,1，所以t(x)6x212x.令t(x)0，解得x2(舍去)或x0.因?yàn)閠(1)7，t(1)3，t(0)1，所以，t(x)的值域?yàn)?,1所以，b的取值范圍是7,1【變式探究】某地政府鑒于某種日常食品價格增長過快，欲將這種食品價格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對這種食品生產(chǎn)廠家提供政府補(bǔ)貼，設(shè)這種食品的市場價格為x元/千克，政府補(bǔ)貼為t元/千克，根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)16x24時，這種食品市場日供應(yīng)量p萬千克與市場日需求量q萬千克近似地滿足關(guān)系：p2(x4t14)(x16，t0)，q248ln (16x24)當(dāng)pq時的市場價格稱為市場平衡價格(1)將政府補(bǔ)貼表示為市場平衡價格的函數(shù)，并求出函數(shù)的值域(2)為使市場平衡價格不高于每千克20元，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元？解析：(1)由pq得2(x4t14)248ln (16x24，t0)txln (16x24)t<0，t是x的減函數(shù)tmin×24ln ln ln ；tmax×16ln ln ， 值域?yàn)?(2)由(1)知txln (16x24)而x20時，t×20ln 1.5(元/千克)，t是x的減函數(shù)，欲使x20，必須t1.5(元/千克)，要使市場平衡價格不高于每千克20元，政府補(bǔ)貼至少為1.5元/千克【舉一反三】時下，網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣大學(xué)生的喜愛，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價格x(單位：元/套)滿足關(guān)系式y(tǒng)4(x6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)已知銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套(1)求m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大(保留一位小數(shù))【解析】解(1)因?yàn)閤4時，y21，代入關(guān)系式y(tǒng)4(x6)2，得1621，解得m10.(2)由(1)可知，套題每日的銷售量y4(x6)2，所以每日銷售套題所獲得的利潤f(x)(x2)4(x6)24x356x2240x278(2<x<6)，從而f(x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2<x<6)令f(x)0，得x，且在上，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(，6)上，f(x) <0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以x是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以當(dāng)x3.3時，函數(shù)f(x)取得最大值故當(dāng)銷售價格為3.3元/套時，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大【規(guī)律方法】在利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題中的最大值和最小值時，不僅要注意函數(shù)模型中的定義域，還要注意實(shí)際問題的意義，不符合的解要舍去【舉一反三】請你給某廠商設(shè)計(jì)一個包裝盒如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點(diǎn)重合于點(diǎn)P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒E，F(xiàn)在AB上，且是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn)設(shè)AEFBx(cm)(1)若廠商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？(2)若廠商要求包裝盒的體積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值【解析】解設(shè)包裝盒的高為h(cm), 底面邊長為a(cm)由已知得ax，h(30x)，0<x<30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800.所以當(dāng)x15時，S取得最大值即當(dāng)包裝盒的側(cè)面積S最大時，x的值為15.(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0，得x0(舍去)或20.當(dāng)x(0,20)時，V>0；當(dāng)x(20,30)時，V<0.所以當(dāng)x20時，V取得極大值，也是最大值，此時，即包裝盒的高與底面邊長的比值為.題型五利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的有關(guān)問題【例5】【2017北京，文20】已知函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值【答案】()；（）最大值1；最小值.【解析】（）因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（）設(shè)，則.當(dāng)時， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以對任意有，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【舉一反三】【2017江蘇，20】 已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值） （1）求關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域； （2）證明：; （3）若,這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍.【答案】（1），定義域?yàn)?（2）見解析（3）.【解析】（1）由，得.當(dāng)時， 有極小值.因?yàn)榈臉O值點(diǎn)是的零點(diǎn).所以，又，故.因?yàn)橛袠O值，故有實(shí)根，從而，即.時，故在R上是增函數(shù)， 沒有極值；時， 有兩個相異的實(shí)根，.列表如下x+00+極大值極小值故的極值點(diǎn)是.從而，因此，定義域?yàn)?（3）由（1）知， 的極值點(diǎn)是，且，.從而記， 所有極值之和為，因?yàn)榈臉O值為，所以， .因?yàn)?，于是在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，于是，?因此a的取值范圍為.【變式探究】(2016·高考全國卷)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xa(x1)(1)當(dāng)a4時，求曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程；(2)若當(dāng)x(1)時，f(x)0，求a的取值范圍(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)當(dāng)a4時，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(1)0，f(x)ln x3，f(1)2.故曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為2xy20.(2)當(dāng)x(1，)時，f(x)0等價于ln x0.設(shè)g(x)ln x，則g(x)，g(1)0.當(dāng)a2，x(1)時，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)單調(diào)遞增，因此g(x)0；當(dāng)a2時，令g(x)0得x1a1，x2a1.由x21和x1x21得x11，故當(dāng)x(1，x2)時，g(x)0，g(x)在(1，x2)單調(diào)遞減，因此g(x)0.綜上，a的取值范圍是(，2【舉一反三】 (2015·湖南，21)已知a0，函數(shù)f(x)eaxsin x(x0，)記xn為f(x)的從小到大的第n(nN*)個極值點(diǎn)，證明：(1)數(shù)列f(xn)是等比數(shù)列；(2)若a，則對一切nN*，xn|f(xn)|恒成立. 證明(1)f(x)aeaxsin xeaxcos xeax(asin xcos x)eaxsin(x)，其中tan ，0.令f(x)0，由x0得xm，即xm，mN*，對kN，若2kx(2k1)，即2kx(2k1)， 則f(x)0；若(2k1)x(2k2)，即(2k1)x(2k2)，則f(x)0.因此，在區(qū)間(m1)，m)與(m，m)上，f(x)的符號總相反于是當(dāng)xm(mN*)時，f(x)取得極值，所以xnn(nN*)此時，f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin .易知f(xn)0，而ea是常數(shù)，故數(shù)列f(xn)是首項(xiàng)為f(x1)ea()sin ，公比為ea的等比數(shù)列(2)由(1)知，sin ，于是對一切nN*；xn|f(xn)|恒成立，即nea(n)恒成立，等價于(*)恒成立，因?yàn)?a0)設(shè)g(t)(t0)，則g(t).令g(t)0得t1.當(dāng)0t1時，g(t)0，所以g(t)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)t1時，g(t)0，所以g(t)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增從而當(dāng)t1時，函數(shù)g(t)取得最小值g(1)e.因此，要使(*)式恒成立，只需g(1)e，即只需a.而當(dāng)a時，由tan 且0知，.于是，且當(dāng)n2時，n2.因此對一切nN*，axn1，所以g(axn)g(1)e.故(*)式亦恒成立綜上所述，若a，則對一切nN*，xn|f(xn)|恒成立【變式探究】(2015·福建，20)已知函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)kx(kR)(1)證明：當(dāng)x0時，f(x)x；(2)證明：當(dāng)k1時，存在x00，使得對任意的x(0，x0)，恒有f(x)g(x)；(3)確定k的所有可能取值，使得存在t0，對任意的x(0，t)，恒有|f(x)g(x)|x2.(1)證明令F(x)f(x)xln(1x)x，x(0，)，則有F(x)1.當(dāng)x(0，)時，F(xiàn)(x)0，所以F(x)在(0，)上單調(diào)遞減，故當(dāng)x0時，F(xiàn)(x)F(0)0，即當(dāng)x0時，f(x)x.(2)證明令G(x)f(x)g(x)ln(1x)kx，x(0，)，則有G(x)k.當(dāng)k0時，G(x)0，故G(x)在(0，)單調(diào)遞增，G(x)G(0)0，故任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意當(dāng)0k1時，令G(x)0，得x10，取x01，對任意x(0，x0)，有G(x)0，從而G(x)在(0，x0)單調(diào)遞增，所以G(x)G(0)0，即f(x)g(x)綜上，當(dāng)k1時，總存在x00，使得對任意x(0，x0)，恒有f(x)g(x)(3)解當(dāng)k1時，由(1)知，對于x(0，)，g(x)xf(x)，故g(x)f(x)，|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln(1x)M(x)kxln(1x)x2，x0，)則有M(x)k2x.故當(dāng)x時，M(x)0，M(x)在上單調(diào)遞增，故M(x)M(0)0，即|f(x)g(x)|x2，所以滿足題意的t不存在當(dāng)k1時，由(2)知，存在x00，使得當(dāng)x(0，x0)時，f(x)g(x)，此時|f(x)g(x)|f(x)g(x) ln(1x)kx.令N(x)ln(1x)kxx2，x0，) 則有N(x)k2x.當(dāng)x時，N(x)0，N(x)在上單調(diào)遞增，故N(x)N(0)0，即f(x)g(x)x2.記x0與中的較小者為x1，則當(dāng)x(0，x1)時，恒有|f(x)g(x)|x2.故滿足題意的t不存在當(dāng)k1時，由(1)知，當(dāng)x0時，|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln(1x)，令H(x)xln(1x)x2，x0，)，則有H(x)12x.當(dāng)x0時，H(x)0，所以H(x)在0，)上單調(diào)遞減，故H(x)H(0)0.故當(dāng)x0時，恒有|f(x)g(x)|x2.此時，任意正實(shí)數(shù)t均滿足題意綜上，k1.法二(1)(2)證明同法一(3)解當(dāng)k1時，由(1)知，對于x(0，)，g(x)xf(x)，故|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln(1x)kxx(k1)x.令(k1)xx2，解得0xk1.從而得到，當(dāng)k1時，對于x(0，k1)，恒有|f(x)g(x)|x2，故滿足題意的t不存在當(dāng)k1時，取k1，從而kk11，由(2)知，存在x00，使得x(0，x0)，f(x)k1xkxg(x)，此時|f(x)g(x)|f(x)g(x)(k1k)xx，令xx2，解得0x，此時f(x)g(x)x2.記x0與的較小者為x1，當(dāng)x(0，x1)時，恒有|f(x)g(x)|x2.故滿足題意的t不存在當(dāng)k1時，由(1)知，x0，|f(x)g(x)|f(x)g(x)xln(1x)，令M(x)xln(1x)x2，x0，)，則有M(x)12x.當(dāng)x0時，M(x)0，所以M(x)在0，)上單調(diào)遞減，故M(x)M(0)0.故當(dāng)x0時，恒有|f(x)g(x)|x2，此時，任意正實(shí)數(shù)t均滿足題意綜上，k1.【舉一反三】已知函數(shù)f(x)exax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線yf(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x0時，x2ex；(3)證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x(x0，)時，恒有x2cex.【命題意圖】本小題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、全稱量詞與存在量詞等基礎(chǔ)知識，考查考生的運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想【解析】解法一：(1)由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.當(dāng)xln 2時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xln 2時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)xln 2時，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，(2)證明：令g(x)exx2，則g(x)ex2x，由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)0，故g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)10，因此，當(dāng)x0時，g(x)g(0)0，即x2ex.(3)證明：若c1，則excex.又由(2)知，當(dāng)x0時，x2ex.所以當(dāng)x0時，x2cex.取x00，當(dāng)x(x0，)時，恒有x2cex.若0c1，令k1，要使不等式x2cex成立，只要exkx2成立而要使exkx2成立，則只要xln(kx2)，只要x2ln xln k成立令h(x)x2ln xln k，則h(x)1，所以當(dāng)x2時，h(x)0，h(x)在(2，)內(nèi)單調(diào)遞增取x016k16，所以h(x)在(x0，)內(nèi)單調(diào)遞增，又h(x0)16k2ln(16k)ln k8(kln 2)3(kln k)5k，易知kln k，kln 2,5k0，所以h(x0)0.即存在x0，當(dāng)x(x0，)時，恒有x2cex.綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時，恒有x2cex.解法二：(1)同解法一(2)同解法一(3)證明：對任意給定的正數(shù)c，取x0，由(2)知，當(dāng)x0時，exx2，所以exe·e22，當(dāng)xx0時，ex222x2，因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時，恒有x2cex.解法三：(1)同解法一(2)同解法一(3)證明：首先證明當(dāng)x(0，)時，恒有x3ex，證明如下：令h(x)x3ex，則h(x)x2ex.由(2)知，當(dāng)x0時，x2ex，從而h(x)0，h(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，所以h(x)h(0)10，即x3ex.取x0，當(dāng)xx0時，有x2x3ex.因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時，恒有x2cex.(3)滿足條件的x0不存在證明如下：假設(shè)存在x00，使|g(x)g(x0)|對任意x0成立，即對任意x0，有l(wèi)n xg(x0)ln x，(*)但對上述x0，取x1eg(x0)時，有l(wèi)n x1g(x0)，這與(*)左邊不等式矛盾，因此，不存在x00，使|g(x)g(x0)|對任意x0成立. 27