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2022年高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材講義 函數(shù)教案

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2022年高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材講義 函數(shù)教案

2022年高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材講義 函數(shù)教案一、基礎(chǔ)知識定義1 映射,對于任意兩個集合A,B,依對應(yīng)法則f,若對A中的任意一個元素x,在B中都有唯一一個元素與之對應(yīng),則稱f: AB為一個映射定義2 單射,若f: AB是一個映射且對任意x, yA, xy, 都有f(x)f(y)則稱之為單射定義3 滿射,若f: AB是映射且對任意yB,都有一個xA使得f(x)=y,則稱f: AB是A到B上的滿射定義4 一一映射,若f: AB既是單射又是滿射,則叫做一一映射,只有一一映射存在逆映射,即從B到A由相反的對應(yīng)法則f-1構(gòu)成的映射,記作f-1: AB定義5 函數(shù),映射f: AB中,若A,B都是非空數(shù)集,則這個映射為函數(shù)A稱為它的定義域,若xA, yB,且f(x)=y(即x對應(yīng)B中的y),則y叫做x的象,x叫y的原象集合f(x)|xA叫函數(shù)的值域通常函數(shù)由解析式給出,此時函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍,如函數(shù)y=3-1的定義域為x|x0,xR. 定義6 反函數(shù),若函數(shù)f: AB(通常記作y=f(x))是一一映射,則它的逆映射f-1: AB叫原函數(shù)的反函數(shù),通常寫作y=f-1(x). 這里求反函數(shù)的過程是:在解析式y(tǒng)=f(x)中反解x得x=f-1(y),然后將x, y互換得y=f-1(x),最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域例如:函數(shù)y=的反函數(shù)是y=1-(x0).定理1 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱定理2 在定義域上為增(減)函數(shù)的函數(shù),其反函數(shù)必為增(減)函數(shù)定義7 函數(shù)的性質(zhì)(1)單調(diào)性:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足對任意的x1, x2I并且x1< x2,總有f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2),則稱f(x)在區(qū)間I上是增(減)函數(shù),區(qū)間I稱為單調(diào)增(減)區(qū)間(2)奇偶性:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,且D是關(guān)于原點對稱的數(shù)集,若對于任意的xD,都有f(-x)=-f(x),則稱f(x)是奇函數(shù);若對任意的xD,都有f(-x)=f(x),則稱f(x)是偶函數(shù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱(3)周期性:對于函數(shù)f(x),如果存在一個不為零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個數(shù)時,f(x+T)=f(x)總成立,則稱f(x)為周期函數(shù),T稱為這個函數(shù)的周期,如果周期中存在最小的正數(shù)T0,則這個正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期定義8 如果實數(shù)a<b,則數(shù)集x|a<x<b, xR叫做開區(qū)間,記作(a,b),集合x|axb,xR記作閉區(qū)間a,b,集合x|a<xb記作半開半閉區(qū)間(a,b,集合x|ax<b記作半閉半開區(qū)間a, b),集合x|x>a記作開區(qū)間(a, +),集合x|xa記作半開半閉區(qū)間(-,a.定義9 函數(shù)的圖象,點集(x,y)|y=f(x), xD稱為函數(shù)y=f(x)的圖象,其中D為f(x)的定義域通過畫圖不難得出函數(shù)y=f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b>0);(1)向右平移a個單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象;(2)向左平移a個單位得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象;(3)向下平移b個單位得到y(tǒng)=f(x)-b的圖象;(4)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱;(5)與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱;(6)與函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;(7)與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱定理3 復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性,記住四個字:“同增異減”例如y=, u=2-x在(-,2)上是減函數(shù),y=在(0,+)上是減函數(shù),所以y=在(-,2)上是增函數(shù)注:復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減這里不做嚴(yán)格論證,求導(dǎo)之后是顯然的二、方法與例題1數(shù)形結(jié)合法例1 求方程|x-1|=的正根的個數(shù).xyx11x【解】 分別畫出y=|x-1|和y=的圖象,由圖象可知兩者有唯一交點,所以方程有一個正根例2 求函數(shù)f(x)=的最大值【解】 f(x)=,記點P(x, x2),A(3,2),B(0,1),則f(x)表示動點P到點A和B距離的差因為|PA|-|PA|AB|=,當(dāng)且僅當(dāng)P為AB延長線與拋物線y=x2的交點時等號成立所以f(x)max=2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例3 設(shè)x, yR,且滿足,求x+y.【解】 設(shè)f(t)=t3+1997t,先證f(t)在(-,+)上遞增事實上,若a<b,則f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0,所以f(t)遞增由題設(shè)f(x-1)=-1=f(1-y),所以x-1=1-y,所以x+y=2.例4 奇函數(shù)f(x)在定義域(-1,1)內(nèi)是減函數(shù),又f(1-a)+f(1-a2)<0,求a的取值范圍【解】 因為f(x) 是奇函數(shù),所以f(1-a2)=-f(a2-1),由題設(shè)f(1-a)<f(a2-1)又f(x)在定義域(-1,1)上遞減,所以-1<1-a<a2-1<1,解得0<a<1例5 設(shè)f(x)是定義在(-,+)上以2為周期的函數(shù),對kZ, 用Ik表示區(qū)間(2k-1, 2k+1,已知當(dāng)xI0時,f(x)=x2,求f(x)在Ik上的解析式【解】 設(shè)xIk,則2k-1<x2k+1,所以f(x-2k)=(x-2k)2.又因為f(x)是以2為周期的函數(shù),所以當(dāng)xIk時,f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.例6 解方程:(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.【解】 令m=3x-1, n=2x-3,方程化為m(+1)+n(+1)=0. 若m=0,則由得n=0,但m, n不同時為0,所以m0, n0.)若m>0,則由得n<0,設(shè)f(t)=t(+1),則f(t)在(0,+)上是增函數(shù)又f(m)=f(-n),所以m=-n,所以3x-1+2x-3=0,所以x=)若m<0,且n>0同理有m+n=0,x=,但與m<0矛盾綜上,方程有唯一實數(shù)解x=3.配方法例7 求函數(shù)y=x+的值域【解】 y=x+=2x+1+2+1-1=(+1)-1-1=-.當(dāng)x=-時,y取最小值-,所以函數(shù)值域是-,+)4換元法例8 求函數(shù)y=(+2)(+1),x0,1的值域【解】令+=u,因為x0,1,所以2u2=2+24,所以u2,所以2,12,所以y=,u2+2,8所以該函數(shù)值域為2+,85判別式法例9 求函數(shù)y=的值域【解】由函數(shù)解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 當(dāng)y1時,式是關(guān)于x的方程有實根所以=9(y+1)2-16(y-1)20,解得y1.又當(dāng)y=1時,存在x=0使解析式成立,所以函數(shù)值域為,76關(guān)于反函數(shù)例10 若函數(shù)y=f(x)定義域、值域均為R,且存在反函數(shù)若f(x)在(-,+ )上遞增,求證:y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函數(shù)【證明】設(shè)x1<x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2),則x1=f(y1), x2=f(y2),若y1y2,則因為f(x)在(-,+ )上遞增,所以x1x2與假設(shè)矛盾,所以y1<y2即y=f-1(x)在(-,+ )遞增例11 設(shè)函數(shù)f(x)=,解方程:f(x)=f-1(x).【解】 首先f(x)定義域為(-,-)-,+);其次,設(shè)x1, x2是定義域內(nèi)變量,且x1<x2<-;=>0,所以f(x)在(-,-)上遞增,同理f(x)在-,+)上遞增在方程f(x)=f-1(x)中,記f(x)=f-1(x)=y,則y0,又由f-1(x)=y得f(y)=x,所以x0,所以x,y-,+).若xy,設(shè)x<y,則f(x)=y<f(y)=x,矛盾同理若x>y也可得出矛盾所以x=y.即f(x)=x,化簡得3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因為x0,所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0,所以x=1.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1已知X=-1, 0, 1, Y=-2, -1, 0, 1, 2,映射f:XY滿足:對任意的xX,它在Y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數(shù),這樣的映射有_個2給定A=1,2,3,B=-1,0,1和映射f:XY,若f為單射,則f有_個;若f為滿射,則f有_個;滿足ff(x) =f(x)的映射有_個3若直線y=k(x-2)與函數(shù)y=x2+2x圖象相交于點(-1,-1),則圖象與直線一共有_個交點4函數(shù)y=f(x)的值域為,則函數(shù)g(x)=f(x)+的值域為_5已知f(x)=,則函數(shù)g(x)=ff(x)的值域為_6已知f(x)=|x+a|,當(dāng)x3時f(x)為增函數(shù),則a的取值范圍是_7設(shè)y=f(x)在定義域(,2)內(nèi)是增函數(shù),則y=f(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_8若函數(shù)y=(x)存在反函數(shù)y=-1(x),則y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關(guān)于直線_對稱9函數(shù)f(x)滿足=1-,則f()=_10. 函數(shù)y=, x(1, +)的反函數(shù)是_11求下列函數(shù)的值域:(1)y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=12. 已知定義在R上,對任意xR, f(x)=f(x+2),且f(x)是偶函數(shù),又當(dāng)x2,3時,f(x)=x,則當(dāng)x-2,0時,求f(x)的解析式四、高考水平訓(xùn)練題1已知a, f(x)定義域是(0,1,則g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域為_2設(shè)0a<1時,f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值則f(x)定義域為_3映射f: a, b, c, d1,2,3滿足10<f(a)·f(b)·f(c)·f(d)<20,這樣的映射f有_個4設(shè)函數(shù)y=f(x)(xR)的值域為R,且為增函數(shù),若方程f(x)=x解集為P,ff(x)=x解集為Q,則P,Q的關(guān)系為:P_Q(填=、)5下列函數(shù)是否為奇函數(shù):(1)f(x)=(x-1);(2)g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3) (x)=;(4)y=6. 設(shè)函數(shù)y=f(x)(xR且x0),對任意非零實數(shù)x1, x2滿足f(x1x2)=f(x1)+f(x2),又f(x)在(0,+)是增函數(shù),則不等式f(x)+f(x-)0的解集為_7函數(shù)f(x)=,其中P,M為R的兩個非空子集,又規(guī)定f(P)=y|y=f(x), xP, f(M)=y|y=f(x), xM,給出如下判斷:若PM=,則f(P) f(M)=;若PM,則f(P) f(M);若PM=R, 則f(P) f(M)=R;若PMR,則f(P) f(M)R. 其中正確的判斷是_8函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)是y=f-1(x+1),并且f(1)=3997,則f(xx)= _9已知y=f(x)是定義域為-6,6的奇函數(shù),且當(dāng)x0,3時是一次函數(shù),當(dāng)x3,6時是二次函數(shù),又f(6)=2,當(dāng)x3,6時,f(x)f(5)=3求f(x)的解析式10設(shè)a>0,函數(shù)f(x)定義域為R,且f(x+a)=,求證:f(x)為周期函數(shù)11設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為,(<),已知函數(shù)f(x)=,(1)求f()、f();(2)求證:f(x)在,上是增函數(shù);(3)對任意正數(shù)x1, x2,求證:<2|-|.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1奇函數(shù)f(x)存在函數(shù)f-1(x),若把y=f(x)的圖象向上平移3個單位,然后向右平移2個單位后,再關(guān)于直線y=-x對稱,得到的曲線所對應(yīng)的函數(shù)是_.2若a>0,a1,F(xiàn)(x)是奇函數(shù),則G(x)=F(x)是_(奇偶性).3若=x,則下列等式中正確的有_.F(-2-x)=-2-F(x);F(-x)= ;F(x-1)=F(x);F(F(x)=-x.4.設(shè)函數(shù)f:RR滿足f(0)=1,且對任意x,yR,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,則f(x)=_.5已知f(x)是定義在R上的函數(shù),f(1)=1,且對任意xR都有f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x)+1若g(x)=f(x)+1-x,則g(xx)= _.6. 函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是_.7. 函數(shù)f(x)=的奇偶性是:_奇函數(shù),_偶函數(shù)(填是,非)8. 函數(shù)y=x+的值域為_.9設(shè)f(x)=,對任意的aR,記V(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3,試求V(a)的最小值10解方程組: (在實數(shù)范圍內(nèi))11設(shè)kN+, f: N+N+滿足:(1)f(x)嚴(yán)格遞增;(2)對任意nN+, 有ff(n)=kn,求證:對任意nN+, 都有nf(n)六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1求證:恰有一個定義在所有非零實數(shù)上的函數(shù)f,滿足:(1)對任意x0, f(x)=x·f;(2)對所有的x-y且xy0,有f(x)+f(y)=1+f(x+y).2.設(shè)f(x)對一切x>0有定義,且滿足:()f(x)在(0,+)是增函數(shù);()任意x>0, f(x)f=1,試求f(1).3. f:0,1R滿足:(1)任意x0, 1, f(x)0;(2)f(1)=1;(3)當(dāng)x, y, x+y0, 1時,f(x)+f(y)f(x+y),試求最小常數(shù)c,對滿足(1),(2),(3)的函數(shù)f(x)都有f(x)cx.4. 試求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值5對給定的正數(shù)p,q(0, 1),有p+q>1p2+q2,試求f(x)=(1-x)+在1-q,p上的最大值6已知f: (0,1)R且f(x)=.當(dāng)x時,試求f(x)的最大值7函數(shù)f(x)定義在整數(shù)集上,且滿足f(n)=,求f(100)的值8函數(shù)y=f(x)定義在整個實軸上,它的圖象在圍繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)角后不變(1)求證:方程f(x)=x恰有一個解;(2)試給出一個具有上述性質(zhì)的函數(shù)9設(shè)Q+是正有理數(shù)的集合,試構(gòu)造一個函數(shù)f: Q+Q+,滿足這樣的條件:f(xf(y)=x, yQ+.

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