2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式教學(xué)案 理 北師大版

第二節(jié)基本不等式最新考綱1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題1基本不等式：(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)2兩個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(2)ab2(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號3利用基本不等式求最值已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是(簡記：和定積最大)12(a，b同號)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號2ab2.3(a0，b0)一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)不等式a2b22ab與成立的條件是相同的()(2)若a>0，則a3的最小值為2.()(3)函數(shù)f(x)sin x，x(0，)的最小值為4.()(4)x0且y0是2的充要條件()答案(1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改編1設(shè)x0，y0，且xy18，則xy的最大值為()A80B77C81D82Cxy281，當(dāng)且僅當(dāng)xy9時(shí)，等號成立故選C.2若x<0，則x()A有最小值，且最小值為2B有最大值，且最大值為2C有最小值，且最小值為2D有最大值，且最大值為2D因?yàn)閤<0，所以x>0，x22，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號成立，所以x2.3函數(shù)f(x)x(x>2)的最小值為_4當(dāng)x>2時(shí)，x2>0，f(x)(x2)2224，當(dāng)且僅當(dāng)x2(x>2)，即x3時(shí)取等號4若把總長為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場地，則矩形場地的最大面積是_m2.25設(shè)矩形的一邊為x m，矩形場地的面積為y，則另一邊為×(202x)(10x)m，則yx(10x)225，當(dāng)且僅當(dāng)x10x，即x5時(shí)，ymax25.考點(diǎn)1利用基本不等式求最值配湊法求最值配湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，即將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、湊系數(shù)等方法湊成“和為定值”或“積為定值”的形式(如：湊成x(a0)，的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法. (1)(2019·大連模擬)已知a，b是正數(shù)，且4a3b6，則a(a3b)的最大值是()ABC3D9(2)函數(shù)y(x>1)的最小值為_(3)已知x>，則y4x的最小值為_，此時(shí)x_.(1)C(2)22(3)7(1)a>0，b>0,4a3b6，a(a3b)·3a(a3b)2×23，當(dāng)且僅當(dāng)3aa3b，即a1，b時(shí)，a(a3b)的最大值是3.(2)x>1，x1>0，y(x1)222.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)，等號成立(3)x>，4x5>0.y4x4x55257.當(dāng)且僅當(dāng)4x5，即x時(shí)上式“”成立即x時(shí)，ymin7.母題探究把本例(3)中的條件“x>”，改為“x<”，則y4x的最大值為_，此時(shí)x_.31因?yàn)閤<，所以54x>0，則y4x525253.當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)，等號成立故y4x的最大值為3.此時(shí)x1.(1)本例(1)解答易忽視兩項(xiàng)和為定值的條件，常見的錯(cuò)誤解法為：a(a3b)2，當(dāng)且僅當(dāng)aa3b，且4a3b6，即a，b0時(shí)，a(a3b)的最大值為，從而錯(cuò)選B.(2)應(yīng)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法求最值時(shí)，應(yīng)注意檢驗(yàn)基本不等式的前提條件：“一正、二定、三相等”，如T(1)，T(2)常數(shù)代換法求最值常數(shù)代換法求最值的步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1.(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式(4)利用基本不等式求解最值已知a0，b0，ab1，則的最小值為_4因?yàn)閍b1，所以(ab)222224.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號成立母題探究1若本例條件不變，求的最小值解·52549.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號成立2若將本例條件改為a2b3，如何求解的最小值解因?yàn)閍2b3，所以ab1.所以121.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號成立常數(shù)代換法主要解決形如“已知xyt(t為常數(shù))，求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為·，再用基本不等式求最值教師備選例題設(shè)ab2，b>0，則取最小值時(shí)，a的值為_2ab2，b>0，21，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立又ab2，b>0，當(dāng)b2a，a2時(shí)，取得最小值(2019·深圳福田區(qū)模擬)已知a1，b0，ab2，則的最小值為()A.B.C.32D.A已知a1，b0，ab2，可得(a1)b1，又a10，則(a1)b12.當(dāng)且僅當(dāng)，ab2時(shí)取等號則的最小值為.故選A.消元法求最值對于含有多個(gè)變量的條件最值問題，若直接運(yùn)用基本不等式無法求最值時(shí)，可嘗試減少變量的個(gè)數(shù)，即根據(jù)題設(shè)條件建立兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的函數(shù)的最值問題，即減元(三元化二元，二元化一元)(2019·嘉興模擬)已知a0，b0，且2abab1，則a2b的最小值為()A52B8C5D9Aa0，b0，且2abab1，a0，b2，a2b2b2(b2)55252.當(dāng)且僅當(dāng)2(b2)，即b2時(shí)取等號a2b的最小值為52.故選A.求解本題的關(guān)鍵是將等式“2abab1”變形為“a”，然后借助配湊法求最值(2019·新余模擬)已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a22ab9b2c0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為()A3BC1D0C由正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a22ab9b2c，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即a3b時(shí)，取最大值.又因?yàn)閍22ab9b2c0，所以此時(shí)c12b2，所以1，故最大值為1.利用兩次基本不等式求最值當(dāng)運(yùn)用一次基本不等式無法求得代數(shù)式的最值時(shí)，常采用第二次基本不等式；需注意連續(xù)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性已知ab0，那么a2的最小值為_4由題意ab0，則ab0，所以b(ab)2，所以a2a224，當(dāng)且僅當(dāng)bab且a2，即a，b時(shí)取等號，所以a2的最小值為4.由于b(ab)為定值，故可求出b(ab)的最大值，然后再由基本不等式求出題中所給代數(shù)式的最小值若a，bR，ab0，則的最小值為_4因?yàn)閍b0，所以4ab24，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故的最小值是4.考點(diǎn)2利用基本不等式解決實(shí)際問題利用基本不等式解決實(shí)際問題的3個(gè)注意點(diǎn)(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解經(jīng)測算，某型號汽車在勻速行駛過程中每小時(shí)耗油量y(L)與速度x(km/h)(50x120)的關(guān)系可近似表示為y(1)該型號汽車的速度為多少時(shí)，可使得每小時(shí)耗油量最少？(2)已知A，B兩地相距120 km，假定該型號汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時(shí)總耗油量最少？解(1)當(dāng)x50,80)時(shí)，y(x2130x4 900)(x65)2675，所以當(dāng)x65時(shí)，y取得最小值，最小值為×6759.當(dāng)x80,120時(shí)，函數(shù)y12單調(diào)遞減，故當(dāng)x120時(shí)，y取得最小值，最小值為1210.因?yàn)?<10，所以當(dāng)x65，即該型號汽車的速度為65 km/h時(shí)，可使得每小時(shí)耗油量最少(2)設(shè)總耗油量為l L，由題意可知ly·，當(dāng)x50,80)時(shí)，ly·16，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x70時(shí)，l取得最小值，最小值為16.當(dāng)x80,120時(shí)，ly·2為減函數(shù)，所以當(dāng)x120時(shí)，l取得最小值，最小值為10.因?yàn)?0<16，所以當(dāng)速度為120 km/h時(shí)，總耗油量最少當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解(2019·上海模擬)經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型，是目前大多數(shù)工廠、企業(yè)等最常采用的訂貨方式，即某種物資在單位時(shí)間的需求量為某常數(shù)，經(jīng)過某段時(shí)間后，存儲量消耗下降到零，此時(shí)開始訂貨并隨即到貨，然后開始下一個(gè)存儲周期，該模型適用于整批間隔進(jìn)貨、不允許缺貨的存儲問題，具體如下：年存儲成本費(fèi)T(元)關(guān)于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關(guān)系T(x)，其中A為年需求量，B為每單位物資的年存儲費(fèi)，C為每次訂貨費(fèi). 某化工廠需用甲醇作為原料，年需求量為6 000噸，每噸存儲費(fèi)為120元/年，每次訂貨費(fèi)為2 500元(1)若該化工廠每次訂購300噸甲醇，求年存儲成本費(fèi)；(2)每次需訂購多少噸甲醇，可使該化工廠年存儲成本費(fèi)最少？最少費(fèi)用為多少？解(1)因?yàn)槟甏鎯Τ杀举M(fèi)T(元)關(guān)于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關(guān)系T(x)，其中A為年需求量，B為每單位物資的年存儲費(fèi)，C為每次訂貨費(fèi)由題意可得：A6 000，B120，C2 500，所以年存儲成本費(fèi)T(x)60x，若該化工廠每次訂購300噸甲醇，所以年存儲成本費(fèi)為T(300)60×30068 000.(2)因?yàn)槟甏鎯Τ杀举M(fèi)T(x)60x，x0，所以T(x)60x260 000，當(dāng)且僅當(dāng)60x，即x500時(shí)，取等號所以每次需訂購500噸甲醇，可使該化工廠年存儲成本費(fèi)最少，最少費(fèi)用為60 000元考點(diǎn)3基本不等式的綜合應(yīng)用基本不等式的綜合應(yīng)用的2類問題(1)與函數(shù)、數(shù)列等知識交匯的最值問題：此類問題常以函數(shù)、數(shù)列等知識為載體，以基本不等式為解題工具，求解最值或取值范圍(2)求參數(shù)值或取值范圍：對于此類題目，要觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)關(guān)系式成立的條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍(1)(2019·臺州模擬)若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足1，且存在這樣的x，y使不等式xm23m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(1,4)B(4,1)C(，4)(1，)D(，3)(0，)(2)(2019·衡陽一模)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號函數(shù)yx(xR)稱為高斯函數(shù)，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，例如：2.13，3.13.已知函數(shù)f(x)，則函數(shù)yf(x)的值域是()A0,1B(0,1C(0,1)D1,0,1(3)(2019·定遠(yuǎn)模擬)已知在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos Cccos B，則的最小值為()A.B.C.D.2(1)C(2)A(3)A(1)正實(shí)數(shù)x，y滿足1，x2224，當(dāng)且僅當(dāng)且1，即x2，y8時(shí)取等號，存在x，y使不等式xm23m有解，4m23m，解得m1或m4，故選C.(2)f(x)，2x2，0f(x)1，則函數(shù)yf(x)的值域?yàn)?,1，故選A.(3)2bcos Cccos B，2sin Bcos Csin Ccos B，tan C2tan B又ABC，tan Atan(BC)tan(BC)，tan B.又在銳角ABC中，tan B0，tan B2，當(dāng)且僅當(dāng)tan B時(shí)取等號，min，故選A.條件不等式的最值問題，常通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解在轉(zhuǎn)化過程中相應(yīng)知識起到穿針連線的作用1.已知a0，b0，若不等式恒成立，則m的最大值為()A9B12C18D24B由，得m(a3b)6.又62612(當(dāng)且僅當(dāng)，即a3b時(shí)等號成立)，m12，m的最大值為12.2兩圓x2y22mym210和x2y24nx4n290恰有一條公切線，若mR，nR，且mn0，則的最小值為()A1B2C3D4D由題意可知兩圓內(nèi)切，x2y22mym210化為x2(ym)21，x2y24nx4n290化為(x2n)2y29，故312，即4n2m24，(4n2m2)2224.3設(shè)等差數(shù)列an的公差是d，其前n項(xiàng)和是Sn(nN)，若a1d1，則的最小值是_ana1(n1)dn，Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n4時(shí)取等號的最小值是.12