數(shù)學(xué)：《函數(shù)的對稱性與周期性》教案(新人教A版)

1.函數(shù)對稱性與周期性知識歸納:.函數(shù)自身的對稱性結(jié)論 結(jié)論1.函數(shù)y = f (x)的圖像關(guān)于點 A (a對稱的充要條件是f (x) + f (2a-x) = 2b證明：(必耍性)設(shè)點 P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點，點 P( x ,y)關(guān)于點A (a ,b)的對稱點 P (2a x, 2b y)也在 y = f (x)圖像上，2b-y = f (2a x)即 y + f (2a x)=2b 故 f (x) + f (2a x) = 2b,必要性得證。(充分性)設(shè)點 P(x0,y0y = f (x)圖像上任一點，則 yo = f (xo)f (x) + f (2a-x) =2b.-.f (xo) + f (2axo) =2b,即 2b-yo = f (2a-xo)。故點p (2a-xo, 2byo)也在y = f (x)圖像上，而點P與點P關(guān)于點A (a對稱，充分性得 征。推論：函數(shù)y = f (x)的圖像關(guān)于原點 O對稱的充要條件是 f (x) + f ( x) = oa b結(jié)論2.若函數(shù)y = f (x)滿足f (a +x) = f (bx)那么函數(shù)本身的圖像關(guān)于直線x =2 對稱，反 之亦然。證明：已知對于任意的 xo, yo都有f(a+ xo) =f(b xo)= yo"令 a+ xo = x , b- xo = x'"則A ( x , yo), B ( x , yo)是函數(shù)y=f(x)上的點a b顯然，兩點是關(guān)于 x= 2 對稱的。a b反之，若已知函數(shù)關(guān)于直線x = -2一對稱，在函數(shù)y = f (x)上任取一點P ( x0,yo)那么P (x0,yo)a b關(guān)于x =2對稱點P (a+ b xo,yo)也在函數(shù)上故 f( x0)=f(a+ b - x0)f(a+( x°-a)=f(b-( xo -a)所以有f (a +x) = f (b- x)成立。推論1 ：函數(shù)y = f (x)的圖像關(guān)于直線 x = a對稱的充要條件是 f (a +x) = f (a x)即f (x) = f（2a x）推論2:函數(shù)y = f (x)的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f (x) = f ( x)結(jié)論3.若函數(shù)y = f (x)圖像同時關(guān)于點 A (a ©和點B (b ©成中心又稱(aw»,則y = f (x)是 周期函數(shù)，且 2| a b| 是其一個周期。若函數(shù)y = f (x)圖像同時關(guān)于直線x = a和直線x = b成軸對稱 (aw»,則y = f (x)是周期函數(shù)，且 2| a b| 是其一個周期。若函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點 A (a ,c)成中心對稱又關(guān)于直線x =b成軸對稱(aD ,則丫 = f (x)是周期函數(shù)，且4| a b|是其一個周期。的證明留給讀者，以下給出的證明：,函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點 A (a ,c)成中心對稱，f (x) + f (2a x) =2c,用 2bx代 x得：f (2b - x) + f 2a (2b x) =2c(*) 又函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱，f (2b-x) = f (x)代入(*)得：f (x) = 2cf 2(a b) + x (*),用 2 (ab) x 代 x 得f 2 (a - b)+ x = 2c- f 4(a - b) + x代入(* )得：f (x) = f 4(a - b) + *,故丫 = f (x)是周期函數(shù)，且 4| a b|是其一個周期。二 不同函數(shù)的對稱性結(jié)論結(jié)論4.函數(shù)y = £僅)與丫 = 2bf (2a x)的圖像關(guān)于點 A (a ,b)成中心對稱。結(jié)論5.函數(shù)y = f (x)與y = f (2a x)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對稱。函數(shù)y = f (x>W a-x = f (ay)的圖像關(guān)于直線 x +y = a成軸對稱。函數(shù)y = f (x>W x- a = f (y + a)的圖像關(guān)于直線 xy = a成軸對稱。定理4與定理5中的證明留給讀者，現(xiàn)證定理 5中的設(shè)點P(xo ,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則 y0 = f (x0)o記點P( x ,y)關(guān)于直線x- y = a的 軸對稱點為P(x1，yi),貝U xi = a +yo ,yi =xo a , xo = a + yi, yo= xi a 代入yo= f (xo)之中得xi a = f (a + yi)點P (xi, yi)在函數(shù)x a = f (y + a)的圖像上。同理可證：函數(shù)x- a = f (y + a)的圖像上任一點關(guān)于直線x- y = a的軸對稱點也在函數(shù)y = f(x) 的圖圖上。故定理 5 中的成立。推論：函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線 x = y成軸對稱。三三角函數(shù)圖圖的對稱性函數(shù)對稱中心坐標(biāo)對稱軸方程y = sin x（k 兀，0 ）x = k兀+兀/y = cos x（k % + 40）x = k 兀y = tan x（k 立/,0 ）無注：上表中kC Z舉例例1 :定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f(10+x)為偶函數(shù)，且f(5 x) = f (5+x)，則f (x)一定是()(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)(B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)(D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解： f(10+x)為偶函數(shù)，f (10+x) = f (10x).，f(x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ,因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數(shù)，. x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數(shù)。故選(A)例2:設(shè)定義域為R的函數(shù)y = f(x)、y = g(x)都有反函數(shù)，并且f(x 1)和g-1(x 2)函數(shù)的圖像 關(guān)于直線y = x對稱，若g(5) = 1999,那么f(4)=()。(A)1999;(B) 2000;(C) 2001;(D) 2002。B： y = f(x 1)和丫 = g-1(x 2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線 y = x對稱，y = g-1(x- 2)反函數(shù)是 y = f(x1),而 y = g-1(x 2)的反函數(shù)是:y = 2 + g(x),，f(x 1) = 2 + g(x), .有 f(51) = 2 + g(5)=2001 故 f(4) = 2001，應(yīng)選(C)例3.設(shè)f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1 x)，當(dāng)一1WxW時，f(x)= 1x,則f(8.6)2解：f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，x = 0是丫 = f(x)對稱軸；又,f(1+x)= f(1 -x) x = 1也是y = f (x)對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數(shù), . f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3例4.函數(shù)y = sin (2x + 5)的圖像的一條對稱軸的方程是()2(A) x = - -(B) x = - 4 (C) x = (D) x =解：函數(shù)y = sin (2x + 5)的圖像的所有對稱軸的方程是2x + 5 = k + 222''' x = ，顯然取k = 1時的對稱軸方程是 x = 故選(A)22例5 .求證:若f x x R為奇函數(shù)，則方程 f x =0若有根一定為奇數(shù)個。證:Q f x為奇函數(shù)f 0- f 0 = f 02 f 0 =0即x=0是方程f x =0的根若Xi是f x =0的根，即f Xi =0由奇數(shù)定義得fXif Xi =0x1也是方程的根即方程的根除X =0外成對出現(xiàn)。方程根為奇數(shù)個。練習(xí)：1 .設(shè)f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，且f(x+2)= f(x)，當(dāng)0WxW時，f (x) = x,則f (7.5 )=()(A) 0.5(B) 0.5(C) 1.5(D) 1.5B： y = f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，點(0, 0)是其對稱中心；又f(x+2 )= -f (x) = f (-x),即 f(1+ x) = f (1-x), 直線 x = 1是 y = f (x)對稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數(shù)。f (7.5 ) = f (80.5 ) = f ( 0.5 ) = -f (0.5 ) = 0.5 故選(B)2 .知函數(shù)y=f(x)對一切實數(shù)x滿足f(2-x)=f(4+x),且方程f(x)=0有5個實根，則這5個實 根之和為(C )A、5 B、10C、15D、183 . f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0 x 1時，f (x) lgx.a f(6),b f昌,c f5則(A) a b c (B) b a c(C) c b a (D) cab解：已知f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0 x 1時，f (x) lgx.64431151僅 af (7)f ( 7)f(-) , b f (-)f ( -) f(-) , cf (-)f(-) <0 ,55522222 . c a b,選 D.4 .定義在R上的函數(shù)f x是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，則f 1 f 4 f 7等于(B )A.-1B.0C.1D.4E- 1,5 .用mina,b表布a, b兩數(shù)中的取小值。右函數(shù) f(x)=min|x|,|x+t| 的圖像關(guān)于直線 x= 一對2稱，則t的值為()A. -2B. 2 C. -1 D. 1【答案】A【解析】由下圖可以看tti全使“外:血口曰|大”|的圖象關(guān)于直攏=一:而稱，則t-i*,【用題意圖】本題通過新定義號載學(xué)生的創(chuàng)新施力，考察的教的圖索，漕尊考生效形結(jié)合的 能力.屬中檔題./6.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=則f (2010)的值為 (BA.-1B. 0C.1解析由已知得f( 1) log2210g2 (1 x),x 0f (x 1) f (x 2),x 0)D. 21, f (0) 0,f(1) f(0) f( 1)1f(2) f (1) f(0)1, f (3) f (2) f (1)1 ( 1) 0,f(4)f (3) f(2) 0 ( 1) 1, f(5)f(4)f (3) 1, f (6)f(5) f (4) 0,所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn).，所以f (2010) = f (6) =0,故選C.7.定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且 的個數(shù)的最小值是()f (2) 0,則方程f(x)=0在區(qū)間(0, 6)內(nèi)解D. 2 f 1 f 40A. 5B. 4C. 3解析：由f(x)的周期性知，f (2) f 5 f 1即至少有根1, 2, 4, 5。故選擇Boy對稱。8 .設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為 R,且滿足f(x+1)=f(1-x),則y=f(x+1)的圖象關(guān)于 y=f(x)圖象關(guān)于 x=1_對稱。9 .設(shè)y=f(x)的定義域為R,且對任意xC R,有f(1-2x)=f(2x),貝U y=f(2x)圖象關(guān)于對稱，y=f(x)關(guān)于 對稱。10 .設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為R,則下列命題中，若 y=f(x)是偶函數(shù)，則y=f(x+2)圖象關(guān) 于y軸對稱；若y=f(x+2)是偶函數(shù)，則y=f(x)圖象關(guān)于直線x=2對稱；若f(x-2)=f(2-x), 則函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=2對稱；y=f(x-2)與y=f(2-x)圖象關(guān)于直線 x=2對稱，其中 正確命題序號為。11 .設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y f x的圖象關(guān)于直線x -對稱，則f (1)+ f (2)+ f (3)+ 2f (4)+ f (5)=.【考點分析】本題考查函數(shù)的周期性解析：f 0 f 0得f 00,假設(shè)f n 01因為點(n , 0)和點(n 1,0)關(guān)于x 對稱，所以f n 1 f n f n 02因此，對一切正整數(shù) n都有：f n 0從而：f1 f2 f3 f 4 f 5 0。本題答案填寫：0112 .函數(shù)f x對于任意實數(shù)x滿足條件f x 2,若f 15,則f xf f 5。【考點分析】本題考查函數(shù)的周期性與求函數(shù)值，中檔題。.一，11解析：由 f x 2得 f x 41 f(x),所以 f(5)f(1)5,則f xf x 2f( 5)f( 1)1f( 1 2)般都比較靈【窺管之見】函數(shù)的周期性在高考考查中除了在三角函數(shù)中較為直接考查外,活。本題應(yīng)直觀理解 f x 2 只要加2,則變倒數(shù)，加兩次則回原位 ”則一通盡通f x也。13 .設(shè)函數(shù)f x的定義域為R,若f x 1與f x 1都是關(guān)于x的奇函數(shù)，則函數(shù)y f x在區(qū)間0,100上至少有 個零點.答案：f(2k-1)=0, kC Z.又可作一個函數(shù) f x滿足問題中的條件，且 f x的一個零點恰為x 2k 1, kCZ.所以至少有50個零點.f1(x)=f(x), fk 1(x)f (fk(x) ,k=1,2, 則 f2010(x) =1 x 14 .設(shè) f(x)=,又記1 x解：f1 x據(jù)此，f4n 1 x故選B.15.已知偶函數(shù)f21 f11 f1y=f(x)定義域為R,L f3 x 3 /4 xx1f2x 11 f3 x ,1 f31x 1一，f4n 3 x ，f4nx x，因 2010 為 4n+2 型,xx 1且恒滿足f(x+2)=f(2-x),若方程f(x)=0在0,4上只有三個實根，且一個根是 4,求方程在區(qū)間(-8,10中的根.方程的根為 -6,-4,-2,0,2,4,6,8,10 共 9 個根16 設(shè)函數(shù)f (x) 在 () 上滿足 f(2 x) f(2 x) ， f(7 x) f (7 x) ，且在閉區(qū)間 0，7上，只有f(1) f (3) 0 (I )試判斷函數(shù)y f(x)的奇偶性；(n )試求方程f (x) =0在閉區(qū)間-2005【 考點分析 】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性解析：由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù) y2005上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論f (x) 的對稱軸為 x 2和 x 7 ,從而知函數(shù) yf(2由f(7f (x)又 f(3)x)x)f(xf (0)f (x) 不是奇函數(shù),f(2 x)f(x)f(7 x)f(x)10) ,從而知函數(shù)yf(4f(14x)f(4 x) f (14 x) x)f(2(II)由f(7f (x)(II) 又 f(3)x) x) f(x0,而f (7) f (2 x) f (7 x) 10)0 ,故函數(shù) f(x) f(x)f (x) 的周期為 T 10y f(x)是非奇非偶函數(shù)；f (4 x)f (14 x)f(4x) f(14 x)f (0) 0, f (11)f (13)故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個解f ( 7) f (, 從而可知函數(shù)9)y0f (x) 在 0,2005 上有 402 個解 ,在-2005.0上有400個解所以函數(shù)y f (x)在-2005,2005上有802個解.17. f x定義域為R,對于任意x 都有 f 1 xf4 xf 4 x 問 f x 是否是周期函數(shù)？如是則周期是多少？解：如圖可知M (1, 0), N (4, 0)是對稱中心，設(shè) x0為f x的任意一點，它的關(guān)于M的對稱點是x1則：1 x0 x1 1,設(shè)*2與x1關(guān)于N點對稱則4 x1 = x2 -4,x2x06f x0f x1f x1f x2f x2f x0即對于任意x R 都有 f 6 x f xf x 是周期函數(shù)，周期為 6.結(jié)論：若函數(shù) f x (x R) 的圖象為對稱中心在X 軸上的中心對稱圖形，則 f x 為周期函 數(shù)，周期為兩對稱中心距離的 2 倍。