高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明 課時(shí)跟蹤檢測（四十九）直接證明與間接證明 文

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明 課時(shí)跟蹤檢測（四十九）直接證明與間接證明 文一保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1(xx·徐州模擬)若P，Q(a0)，則P，Q的大小關(guān)系是_解析：因?yàn)镻22a72·2a72，Q22a72·2a72，所以P2<Q2，所以P<Q.答案：P<Q2用反證法證明“若x210，則x1或x1”時(shí)，應(yīng)假設(shè)_解析：“x1或x1”的否定是“x1且x1”答案：x1且x13(xx·江陰調(diào)研)設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：ab2；a2b22.其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件的是_(填序號)解析：中，假設(shè)a1，b1，則ab2與已知條件ab>2矛盾，故假設(shè)不成立，所以a，b中至少有一個(gè)大于1，正確；中，若a2，b3，則a2b22成立，故不能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”答案：4設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若x1x2>0，則f(x1)f(x2)_0(填“>”“<”或“”)解析：由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1x2>0，可知x1>x2，f(x1)<f(x2)f(x2)，則f(x1)f(x2)<0.答案：<5(xx·呂四中學(xué)檢測)若0<a<1,0<b<1，且ab，則在ab,2，a2b2和2ab中最大的是_解析：因?yàn)?<a<1,0<b<1，且ab，所以ab>2，a2b2>2ab，ab(a2b2)a(1a)b(1b)>0，所以ab最大答案：ab6如果abab，則a，b應(yīng)滿足的條件是_解析：abab，即()2()0，需滿足a0，b0且ab.答案：a0，b0且ab7已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)yx圖象上的點(diǎn)，其中nN*，設(shè)cnanbn，則cn與cn1的大小關(guān)系為_解析：由條件得cnanbnn，所以cn隨n的增大而減小，所以cn1cn.答案：cn1cn8已知x，y，z是互不相等的正數(shù)，且xyz1，求證：>8.證明：因?yàn)閤，y，z是互不相等的正數(shù)，且xyz1，所以1>，1>，1>，又x，y，z為正數(shù)，由××，得>8.9已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a35，S864.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：>(n2，nN*)解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則解得a11，d2.故所求的通項(xiàng)公式為an2n1.(2)證明：由(1)可知Snn2，要證原不等式成立，只需證>，即證(n1)2(n1)2n2>2(n21)2，只需證(n21)n2>(n21)2，即證3n2>1.而3n2>1在n2時(shí)恒成立，從而不等式>(n2，nN*)恒成立10.如圖，在四棱錐P­ABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中點(diǎn)(1)求證：EC平面PAD；(2)求證：平面EAC平面PBC.證明：(1)作線段AB的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，CF(圖略)，則AFCD，AFCD，所以四邊形ADCF是平行四邊形，則CFAD.又EFAP，且CFEFF，所以平面CFE平面PAD.又EC平面CEF，所以EC平面PAD.(2)因?yàn)镻C底面ABCD，所以PCAC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是直角梯形，且AB2AD2CD2，所以AC，BC.所以AB2AC2BC2，所以ACBC，因?yàn)镻CBCC，所以AC平面PBC，因?yàn)锳C平面EAC，所以平面EAC平面PBC.二上臺階，自主選做志在沖刺名校1已知數(shù)列an滿足a1，且an1(nN*)(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)設(shè)bnanan1(nN*)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和記為Tn，證明：Tn.證明：(1)由已知可得，當(dāng)nN*時(shí)，an1，兩邊取倒數(shù)得，3，即3，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為2(n1)×33n1，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(2)由(1)知an，故bnanan1，故Tnb1b2bn×××·.因?yàn)?，所以Tn.2若無窮數(shù)列an滿足：只要apaq(p，qN*)，必有ap1aq1，則稱an具有性質(zhì)P.(1)若an具有性質(zhì)P，且a11，a22，a43，a52，a6a7a821，求a3；(2)若無窮數(shù)列bn是等差數(shù)列，無窮數(shù)列cn是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，b1c51，b5c181，anbncn，判斷an是否具有性質(zhì)P，并說明理由；(3)設(shè)bn是無窮數(shù)列，已知an1bnsin an(nN*)，求證：“對任意a1，an都具有性質(zhì)P”的充要條件為“bn是常數(shù)列”解：(1)因?yàn)閍5a2，所以a6a3，a7a43，a8a52，于是a6a7a8a332.又因?yàn)閍6a7a821，所以a316.(2)由題意，得數(shù)列bn的公差為20，cn的公比為，所以bn120(n1)20n19，cn81·n135n，anbncn20n1935n.a1a582，但a248，a6，a2a6，所以an不具有性質(zhì)P.(3)證明：充分性：當(dāng)bn為常數(shù)列時(shí)，an1b1sin an.對任意給定的a1，若apaq，則b1sin apb1sin aq，即ap1aq1，充分性得證必要性：假設(shè)bn不是常數(shù)列，則存在kN*，使得b1b2bkb，而bk1b.下面證明存在滿足an1bnsin an的數(shù)列an，使得a1a2ak1，但ak2ak1.設(shè)f(x)xsin xb，取mN*，使得m>|b|，則f(m)mb>0，f(m)mb<0，故存在c使得f(c)0.取a1c，因?yàn)閍n1bsin an(1nk)，所以a2bsin cca1，依此類推，得a1a2ak1c.但ak2bk1sin ak1bk1sin cbsin c，即ak2ak1.所以an不具有性質(zhì)P，矛盾必要性得證綜上，“對任意a1，an都具有性質(zhì)P”的充要條件為“bn是常數(shù)列”