2022年高考數(shù)學(xué) 雙曲線練習(xí)

2022年高考數(shù)學(xué) 雙曲線練習(xí)1、已知m,n為兩個不相等的非零實數(shù)，則方程mxy+n=0與nx2+my2=mn所表示的曲線可能是（ ）     A                B                C               D2、已知橢圓E：（ab0）與雙曲線G：x共焦點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，P是橢圓E與雙曲線G的一個交點，O為坐標(biāo)原點，PF1F2的周長為4（1）求橢圓E的方程；（2）已知動直線l與橢圓E恒有兩個不同交點A，B，且，求OAB面積的取值范圍3、點為雙曲線的右焦點，點P為雙曲線左支上一點，線段PF與圓相切于點Q，且，則雙曲線的離心率等于 （    ）    A        B         C         D2 4、過雙曲線的左焦點F作圓x2y2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若E為PF的中點，則雙曲線的離心率為_ 5、已知雙曲線=1（bN*）的兩個焦點F1，F(xiàn)2，點P是雙曲線上一點，|OP|5，|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率為（） A 2 B 3 C D 6、過雙曲線 的左焦點 ，作圓 的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若 ，則雙曲線的離心率為  A.          B          C.           D 7、如圖，、是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于點、.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為(       ) 4             8、過曲線的左焦點作曲線的切線，設(shè)切點為M，延長交曲線于點N，其中有一個共同的焦點，若，則曲線的離心率為 （ ）A.        B.       C.      D.9、已知雙曲線的左，右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，且點的橫坐標(biāo)為，則的周長為  A     B       C     D 10、已知雙曲線上一點，過雙曲線中心的直線交雙曲線于A、B兩點，記直線AC、BC的斜率分別為，當(dāng)最小時，雙曲線離心率為           11、已知拋物線y=x2與雙曲線x2=1（a0）有共同的焦點F，O為坐標(biāo)原點，P在x軸上方且在雙曲線上，則的最小值為（） A 23 B 32 C D 12、已知雙曲線C：=1（a0，b0），F(xiàn)1、F2分別是它的左、右焦點，A（1，0）是其左頂點，且雙曲線的離心率為e=2設(shè)過右焦點F2的直線l與雙曲線C的右支交于P、Q兩點，其中點P位于第一象限內(nèi)（1）求雙曲線的方程；（2）若直線AP、AQ分別與直線x=交于M、N兩點，求證：MF2NF2；（3）是否存在常數(shù)，使得PF2A=PAF2恒成立？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由13、無論為任何實數(shù)，直線與雙曲線恒有公共點。  （1）求雙曲線的離心率的取值范圍；  （2）若直線經(jīng)過雙曲線的右焦點與雙曲線交于兩點，并且滿足,求雙曲線的方程。14、如圖，雙曲線C：=1（a0，b0）的左、右焦點F1（c，0）、F2（c，0），A為雙曲線C右支上一點，且|AF1|=2c，AF1與y軸交于點B，若F2B是AF2F1的角平分線，則雙曲線C的離心率是（） A B 1+ C D 15、設(shè)雙曲線(a0，b0）的右焦點為F，過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A、B兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為P，設(shè)O為坐標(biāo)原點，若，則該雙曲線的離心率為（ ）    A       B        C       D16、已知橢圓的離心率為，雙曲線與橢圓有相同的焦點，M是兩曲線的一個公共點，若，則雙曲線的漸近線方程為（   ）A      B      C      D  17、雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，若的一個焦點與拋物線：的焦點重合，且拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線所得的弦長為4，則雙曲線的實軸長為（    ）A6    B2    C    D18、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，兩焦點分別為雙曲線的頂點，直線與橢圓交于，兩點，且點的坐標(biāo)為，點是橢圓上異于點,的任意一點，點滿足，且，三點不共線.（1）求橢圓的方程；（2）求點的軌跡方程；（3）求面積的最大值及此時點的坐標(biāo).19、設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點若在雙曲線右支上存在點，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為（   ）A     B      C    D20、已知，橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為（ ）A.    B.      C     D 答 案1、C2、（I）由雙曲線G：知F1（2，0），F(xiàn)2（2，0），可得在橢圓E：中有c=2，又PF1F2的周長為4+4，可得|PF1|+|PF2|=4=2a，b2=a2c2，解出即可（II）當(dāng)直線l的斜率存在時，其方程可設(shè)為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，則0，可得（8k2m2+4）0，要使，需使x1x2+y1y2=0，可得3m28k28=0，而原點到直線l的距離d=，又|AB|=，對k分類討論即可得出取值范圍，利用SOAB=，即可得出解：（I）由雙曲線G：知F1（2，0），F(xiàn)2（2，0），在橢圓E：中有c=2，又PF1F2的周長為4+4，|PF1|+|PF2|=4=2a，a=2，b2=a2c2=4，橢圓E的方程為，（II）當(dāng)直線l的斜率存在時，其方程可設(shè)為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），解方程組，得（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，則=16k2m24（1+2k2）（2m28）=8（8k2m2+4）0，即（8k2m2+4）0，x1+x2=，要使，需使x1x2+y1y2=0，即+=0，3m28k28=0，8k2m2+40對于kR恒成立，而原點到直線l的距離d=，d2=，d=，同時有=，|AB|=，當(dāng)k0時，|AB|=，12，|AB|2，當(dāng)且僅當(dāng)k=時取”=”當(dāng)k=0時，|AB|=當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線為x=與橢圓=1的兩個交點為或滿足，此時|AB|=，綜上，|AB|的取值范圍為，SOAB=|AB|因此SOAE3、C4、5、通過等比數(shù)列的性質(zhì)和雙曲線的定義，余弦定理推出：|OP|2=20+3b2利用|OP|5，bN，求出b的值，求出c，再由離心率公式計算即可得到解：由題意，|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比數(shù)列，可知，|F1F2|2=|PF1|PF2|，即4c2=|PF1|PF2|，由雙曲線的定義可知|PF1|PF2|=4，即|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|=16，可得|PF1|2+|PF2|28c2=16設(shè)POF1=，則POF2=，由余弦定理可得：|PF2|2=c2+|OP|22|OF2|OP|cos（），|PF1|2=c2+|OP|22|OF1|OP|cos，|PF2|2+PF1|2=2c2+2|OP|2，由化簡得：|OP|2=8+3c2=20+3b2因為|OP|5，bN，所以20+3b225所以b=1c=，即有e=故選：D6、C7、B8、  解析：設(shè)雙曲線的右焦點為F2，則F2的坐標(biāo)為（c，0）因為曲線C1與C3有一個共同的焦點，所以y2=4cx ，因為O為F1F2的中點，M為F1N的中點，所以O(shè)M為NF1F2的中位線，所以O(shè)MPF2，因為|OM|=a，所以|NF2|=2a又NF2NF1，|FF2|=2c 所以|NF1|=2b 設(shè)N（x，y），則由拋物線的定義可得x+c=2a，x=2a-c ，過點F作x軸的垂線，點N到該垂線的距離為2a ，由勾股定理 y2+4a2=4b2，即4c（2a-c）+4a2=4（c2-a2），得e2-e-1=0，e=故選：D9、根據(jù)題意得PQx軸，則，解得，,則的周長為，故選D.【思路點撥】根據(jù)題意得，是以PQ為底邊的等腰三角形，由勾股定理及雙曲線的定義求得，進而求得的周長. 10、解析：設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），由題意知點A，B為過原點的直線與雙曲線的交點，由雙曲線的對稱性得A，B關(guān)于原點對稱，B（x1，y1），k1k2=，點A，C都在雙曲線上，=1，=1，兩式相減，可得：k1k2=0，對于=+ln|k1k2|，函數(shù)y=+lnx（x0），由y=+=0，得x=0（舍）或x=2，x2時，y0，0x2時，y0，當(dāng)x=2時，函數(shù)y=+lnx（x0）取得最小值，當(dāng)+ln（k1k2）最小時，k1k2=2，e=故答案為：11、解：拋物線y=x2的焦點F為（0，2）， 則雙曲線x2=1的c=2，則a2=3， 即雙曲線方程為=1， 設(shè)P（m，n），（n），則n23m2=3， 則=（m，n）（m，n2）=m2+n22n=1+n22n =2n1=（n）2， 12、（1）由題可知：a=1由于，可得c=2再利用b2=c2a2即可（2）設(shè)直線l的方程為：x=ty+2，另設(shè)：P（x1，y1）、Q（x2，y2）聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系又直線AP的方程為，解得M同理解得N只要證明=0即可（3）當(dāng)直線l的方程為x=2時，解得P（2，3）易知此時AF2P為等腰直角三角形，可得：=2當(dāng)AF2P=2PAF2對直線l存在斜率的情形也成立利用正切的倍角公式、斜率計算公式、雙曲線的方程、正切函數(shù)的單調(diào)性即可證明（1）解：由題可知：a=1，c=2b2=c2a2=3，雙曲線C的方程為：（2）證明：設(shè)直線l的方程為：x=ty+2，另設(shè)：P（x1，y1），Q（x2，y2）聯(lián)立，化為（3t21）y2+12ty+9=0又直線AP的方程為，代入x=，解得M同理，直線AQ的方程為，代入x=，解得N=+=+=MF2NF2（3）解：當(dāng)直線l的方程為x=2時，解得P（2，3）易知此時AF2P為等腰直角三角形，其中，也即：=2下證：AF2P=2PAF2對直線l存在斜率的情形也成立tan2PAF2=1，結(jié)合正切函數(shù)在上的圖象可知，AF2P=2PAF213、  14、解：由F2B是AF2F1的角平分線，O為F1F2的中點，則|BF1|=|BF2|，BF1F2=BF2F1=BF2A，設(shè)為又|AF1|=2c，則A=2，則A+AF1F2+AF2F1=5=180°，即有=36°，ABF2=2=72°=A，即有|BF2|=|AF2|，由雙曲線的定義可得|AF1|AF2|=2a，則|AF2|=2c2a，|AB|=2c（2c2a）=2a，由F2B是AF2F1的角平分線，可得=，即有=，即有ac=（ca）2，即c23ac+a2=0，由e=，可得e23e+1=0，解得e=或，由于e1，則e=故選：D15、A16、A17、D18、（1）；（2），除去四個點，；（3），點的坐標(biāo)為或.試題分析：（1）由雙曲線的頂點得橢圓的焦點，由橢圓的定義得的值，利用即可得橢圓的方程；（2）設(shè)點，先寫出，的坐標(biāo)，再根據(jù)已知條件可得，代入，化簡，即可得點的軌跡方程；（3）先計算的面積，利用基本不等式即可得的面積的最大值.試題解析：（1）解法1： 雙曲線的頂點為, 1分 橢圓兩焦點分別為,. 設(shè)橢圓方程為， 橢圓過點， ，得.                     2分 .                               3分 橢圓的方程為 .                      4分解法2: 雙曲線的頂點為,  1分 橢圓兩焦點分別為,. 設(shè)橢圓方程為， 橢圓過點， .                                    2分 ,                                    3分由解得, . 橢圓的方程為 .                      4分（2）解法1：設(shè)點，點，由及橢圓關(guān)于原點對稱可得，.由 , 得 ， 5分即 .      同理, 由, 得 .    6分得 .            7分由于點在橢圓上, 則，得,代入式得 .  當(dāng)時，有，                       當(dāng)，則點或,此時點對應(yīng)的坐標(biāo)分別為或 ，其坐標(biāo)也滿足方程.            8分當(dāng)點與點重合時，即點，由得 ，解方程組 得點的坐標(biāo)為或.同理, 當(dāng)點與點重合時，可得點的坐標(biāo)為或.點的軌跡方程為 , 除去四個點, ,. 9分解法2：設(shè)點，點，由及橢圓關(guān)于原點對稱可得，.，                  5分.                    6分               得 .  (*)                     7分 點在橢圓上,   ，得,代入(*)式得，即,      化簡得 .                                 若點或, 此時點對應(yīng)的坐標(biāo)分別為或 ，其坐標(biāo)也滿足方程.            8分當(dāng)點與點重合時，即點，由得 ，解方程組 得點的坐標(biāo)為或.同理, 當(dāng)點與點重合時，可得點的坐標(biāo)為或.點的軌跡方程為 , 除去四個點, ,.9分(3) 解法：點到直線的距離為.的面積為10分                 .    11分而（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）. 12分當(dāng)且僅當(dāng)時, 等號成立.由解得或           13分的面積最大值為, 此時,點的坐標(biāo)為或.14分解法：由于，故當(dāng)點到直線的距離最大時，的面積最大 10分設(shè)與直線平行的直線為，由消去，得， 由，解得11分若，則，；若，則， 12分故當(dāng)點的坐標(biāo)為或時，的面積最大，其值為14分19、B20、B