（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考部分 第2講 不等式選講學(xué)案 文 新人教A版

第2講不等式選講 做真題1(2019·高考全國(guó)卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|x1|x|x2|(x1)當(dāng)x<1時(shí)，f(x)2(x1)2<0；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0.所以，不等式f(x)<0的解集為(，1)(2)因?yàn)閒(a)0，所以a1.當(dāng)a1，x(，1)時(shí)，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)<0.所以，a的取值范圍是1，)2(2019·高考全國(guó)卷)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc1.證明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.證明：(1)因?yàn)閍2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)，等號(hào)成立所以a2b2c2.(2)因?yàn)閍，b，c為正數(shù)且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3×(2)×(2)×(2)24.當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)，等號(hào)成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.明考情1不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，考查的重點(diǎn)是不等式的證明、絕對(duì)值不等式的解法等，命題的熱點(diǎn)是絕對(duì)值不等式的求解，以及絕對(duì)值不等式與函數(shù)的綜合問題的求解2此部分命題形式單一、穩(wěn)定，難度中等，備考本部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用含絕對(duì)值不等式的解法(綜合型) 知識(shí)整合|axb|c，|axb|c型不等式的解法(1)若c0，則|axb|ccaxbc，|axb|caxbc或axbc，然后根據(jù)a，b的取值求解即可(2)若c0，則|axb|c的解集為，|axb|c的解集為R.典型例題 (2019·安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)已知f(x)|x|2|x1|.(1)解不等式f(x)4；(2)若不等式f(x)|2a1|有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解】(1)不等式f(x)4，即|x|2|x1|4，等價(jià)于或或x或無解或x2.故不等式的解集為2，)(2)f(x)|2a1|有解等價(jià)于f(x)min|2a1|.f(x)|x|2|x1|故f(x)的最小值為1，所以1|2a1|，得2a11或2a11，解得a1或a0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，10，)(1)用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟求零點(diǎn)；劃區(qū)間、去絕對(duì)值號(hào)；分別解去掉絕對(duì)值的不等式(組)；取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值(2)圖象法求解不等式用圖象法，數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對(duì)值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡(jiǎn)潔直觀，是一種較好的方法 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2019·長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(二)設(shè)函數(shù)f(x)|x2|.(1)求不等式f(x)f(x)6的解集；(2)若不等式f(x4)f(x1)>kxm的解集為(，)，求km的取值范圍解：(1)f(x)f(x)|x2|x2|當(dāng)x<2時(shí)，2x6，所以x3；當(dāng)2x2時(shí)，46不成立，所以無解；當(dāng)x>2時(shí)，2x6，所以x3.綜上，x(，33，)(2)令g(x)f(x4)f(x1)|x2|x3|作出g(x)的圖象，如圖由f(x4)f(x1)>kxm的解集為(，)，結(jié)合圖象可知k0，m<5，所以km<5，即km的取值范圍是(，5)2已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a>1.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值解：(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x4|當(dāng)x2時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當(dāng)2<x<4時(shí)，由f(x)4|x4|得無解；當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5，故不等式的解集為x|x1或x5(2)令h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x，又知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以解得a3.不等式的證明(綜合型) 知識(shí)整合證明不等式的基本方法(1)比較法：作差或作商比較(2)綜合法：根據(jù)已知條件、不等式的性質(zhì)、基本不等式，通過邏輯推理導(dǎo)出結(jié)論(3)分析法：執(zhí)果索因的證明方法(4)反證法：反設(shè)結(jié)論，導(dǎo)出矛盾(5)放縮法：通過把不等式中的部分值放大或縮小的證明方法典型例題 (1)已知a>0，b>0，a3b32.證明：(ab)(a5b5)4；ab2.(2)已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2b24，c2d216，證明：acbd8.【證明】(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.因?yàn)?ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.(2)由柯西不等式可得：(acbd)2(a2b2)(c2d2)因?yàn)閍2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.證明不等式的方法和技巧(1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或是否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法(2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問題的表述和證明尤其是對(duì)含絕對(duì)值不等式的解法或證明，其簡(jiǎn)化的基本思路是化去絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為常見的不等式(組)求解多以絕對(duì)值的幾何意義或“找零點(diǎn)、分區(qū)間、逐個(gè)解、并起來”為簡(jiǎn)化策略，而絕對(duì)值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù) 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(一題多解)(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))已知不等式|2x1|2x1|<4的解集為M.(1)求集合M；(2)設(shè)實(shí)數(shù)aM，bM，證明：|ab|1|a|b|.解：(1)法一：當(dāng)x<時(shí)，不等式化為：2x112x<4，即x>1，所以1<x<；當(dāng)x時(shí)，不等式化為：2x12x1<4，即2<4，所以x；當(dāng)x>時(shí)，不等式化為：2x12x1<4，即x<1，所以<x<1.綜上可知，Mx|1<x<1法二：設(shè)f(x)|2x1|2x1|，則f(x)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，若f(x)<4，由上圖可得，1<x<1.所以Mx|1<x<1(2)證明：法一：因?yàn)閍M，bM，所以|a|<1，|b|1.而|ab|1(|a|b|)|ab|1|a|b|(|a|1)(|b|1)0，所以|ab|1|a|b|.法二：要證|ab|1|a|b|，只需證|a|b|1|a|b|0，只需證(|a|1)(|b|1)0，因?yàn)閍M，bM，所以|a|<1，|b|1，所以(|a|1)(|b|1)0成立所以|ab|1|a|b|成立含絕對(duì)值不等式的成立問題(綜合型) 知識(shí)整合 f(x)a恒成立f(x)mina；f(x)a恒成立f(x)maxa；f(x)a有解f(x)maxa；f(x)a有解f(x)mina；f(x)a無解f(x)maxa；f(x)a無解f(x)mina. 定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立典型例題 (2019·蘭州市診斷考試)已知a>0，b>0，ab4，mR.(1)求的最小值；(2)若|xm|x2|對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求m的取值范圍【解】(1)因?yàn)閍>0，b>0，ab4，所以(ab)1(當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)“”成立)，所以的最小值為1.(2)若|xm|x2|對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則|xm|x2|對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，即|xm|x2|1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，因?yàn)閨xm|x2|(xm)(x2)|m2|，所以|m2|1，所以3m1，即m的取值范圍為3，1(1)求含絕對(duì)值號(hào)函數(shù)的最值的兩種方法利用|a|b|a±b|a|b|求解將函數(shù)化為分段函數(shù)，數(shù)形結(jié)合求解(2)恒成立(存在)問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化f(x)Mf(x)M任意x恒成立f(x)minMf(x)maxM存在x成立f(x)maxMf(x)minM 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2019·洛陽(yáng)市統(tǒng)考)已知f(x)|x1|，g(x)2|x|a.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若存在x0R，使得f(x0)g(x0)成立，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，原不等式可化為|x1|2|x|1，設(shè)(x)|x1|2|x|，則(x)則或或即x2.所以原不等式的解集為.(2)存在x0R使得f(x0)g(x0)成立，等價(jià)于|x1|2|x|a有解，即(x)a有解，即a(x)max.由(1)可知，(x)在(，0)上單調(diào)遞增，在0，)上單調(diào)遞減所以(x)max(0)1，所以a1.1(2019·安徽省考試試題)已知f(x)|x2|.(1)解不等式f(x)1>f(2x)；(2)若f(m)1，f(2n)2，求|m2n1|的最大值，并求此時(shí)實(shí)數(shù)m，n的取值解：(1)原不等式等價(jià)于|x2|1>2|x1|，所以或或所以1<x<1或1x<或，所以原不等式的解集為.(2)由題意得f(m)|m2|1，f(2n)|2n2|2，所以|n1|1，所以|m2n1|(m2)2(n1)1|m2|2|n1|14，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，|m2n1|取得最大值4.2已知不等式|x|x3|<x6的解集為(m，n)(1)求m，n的值；(2)若x>0，y>0，nxym0，求證：xy16xy.解：(1)由|x|x3|<x6，得或或解得1<x<9，所以m1，n9.(2)證明：由(1)知9xy1，又x>0，y>0，所以(9xy)1010216，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時(shí)取等號(hào)，所以16，即xy16xy.3(2019·昆明市診斷測(cè)試)已知函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)求不等式f(x)>1的解集；(2)若不等式f(x)<x2xm的解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)原不等式等價(jià)于|2x1|x1|>1，等價(jià)于或或解得x<3或<x<1或x1.所以原不等式的解集為.(2)由f(x)<x2xm得m>x2x|2x1|x1|.令g(x)x2x|2x1|x1|，則由題意知m>g(x)max.g(x)作出其圖象如圖所示，由圖象知g(x)max1.所以m>1，即m的取值范圍為(1，)4(2019·高考全國(guó)卷)設(shè)x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，證明：a3或a1.解：(1)因?yàn)?x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z時(shí)等號(hào)成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值為.(2)證明：因?yàn)?x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，故由已知得(x2)2(y1)2(za)2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z時(shí)等號(hào)成立因此(x2)2(y1)2(za)2的最小值為.由題設(shè)知，解得a3或a1.5設(shè)函數(shù)f(x)a(x1)(1)當(dāng)a1時(shí)，解不等式|f(x)|f(x)|3x.(2)設(shè)|a|1，當(dāng)|x|1時(shí)，求證：|f(x2)x|.解：(1)當(dāng)a1時(shí)，不等式 |f(x)|f(x)|3x，即|x1|x1|3x，當(dāng)x1時(shí)，得1xx13xx0，所以x1，當(dāng)1<x<1時(shí)，得1xx13xx，所以1<x，當(dāng)x1時(shí)，得x1x13xx0，與x1矛盾，綜上，原不等式的解集為x|x1.(2)證明：|f(x2)x|a(x21)x|a(x21)|x|，因?yàn)閨a|1，|x|1，所以|f(x2)x|a|(1x2)|x|1x2|x|x|2|x|1.6(2019·四省八校雙教研聯(lián)考)已知f(x)|2x1|x2|，g(x)|xa|xa1|.(1)解不等式f(x)>4；(2)若x1R，x2R，使得f(x2)g(x1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)>4，即|2x1|x2|>4，當(dāng)x<2時(shí)，(2x1)(x2)>4，得x<2；當(dāng)2x時(shí)，(2x1)(x2)>4，得2x<；當(dāng)x>時(shí)，2x1(x2)>4，得x>7.綜上，不等式f(x)>4的解集為.(2)因?yàn)閤1R，x2R，使得f(x2)g(x1)，所以g(x)的值域是f(x)的值域的子集，f(x)|2x1|x2|所以f(x)的值域?yàn)?，g(x)|xa|xa1|的值域?yàn)閨2a1|，|2a1|，所以|2a1|，即|2a1|，則2a1，a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.- 13 -