（通用版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題二 數(shù)列教學(xué)案 理

專題二 數(shù)列研高考·明考點(diǎn)年份卷別小題考查大題考查2017卷T4·等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式T12·等差、等比數(shù)列在實(shí)際問題中的綜合應(yīng)用卷T3·數(shù)學(xué)文化，等比數(shù)列的概念、前n項(xiàng)和公式T15·等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，裂項(xiàng)相消法求和卷T9·等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等比中項(xiàng)T14·等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2016卷T3·等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)T15·等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、二次函數(shù)最值及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)卷T17·等差數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和，新定義運(yùn)算卷T17·等比數(shù)列的通項(xiàng)，an與Sn的關(guān)系卷T17·an與Sn的關(guān)系，裂項(xiàng)相消法求和2015卷T4·等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，整體代換思想T16·an與Sn的關(guān)系、等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式析考情·明重點(diǎn)小題考情分析大題考情分析?？键c(diǎn)1.等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算(3年6考) 2.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)(3年3考)?？键c(diǎn)高考對數(shù)列的考查若只出現(xiàn)在解答題中時，常以數(shù)列的相關(guān)項(xiàng)以及關(guān)系式，或an與Sn的關(guān)系入手，結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義展開考查，題型主要有：1.等差、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算2.數(shù)列求和問題3.等差、等比數(shù)列的判斷與證明偶考點(diǎn)1.數(shù)列的遞推關(guān)系式2.等差與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問題偶考點(diǎn)數(shù)列與其他知識的綜合問題第一講 小題考法等差數(shù)列與等比數(shù)列考點(diǎn)(一)主要考查方式有兩種：一是利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn；二是利用an與an1的關(guān)系求通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn.數(shù)列的遞推關(guān)系式典例感悟典例(1)(2017·云南調(diào)研)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足4(n1)(Sn1)(n2)2an(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an()A(n1)3 B(2n1)2C8n2 D(2n1)21(2)(2017·成都模擬)在數(shù)列an中，a11，a1an(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.解析(1)當(dāng)n1時，4×(11)×(a11)(12)2×a1，解得a18.當(dāng)n2時，4(Sn1)，則4(Sn11)，兩式相減得，4an，整理得，所以an····a1××××8(n1)3.檢驗(yàn)知，a18也符合，所以an(n1)3.(2)根據(jù)a1an，有a1an1，得，anan1，即n2an1(n21)an，所以，所以ana1××××1××××.答案(1)A(2)方法技巧由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式的注意事項(xiàng)(1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用，分n1和n2兩種情況討論，特別注意anSnSn1成立的前提是n2.(2)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時，a1也適合，則需統(tǒng)一表示(“合寫”)(3)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時，a1不適合，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫”)，即an演練沖關(guān)1(2018屆高三·廣東五校聯(lián)考)數(shù)列an滿足a11，且an1a1ann(nN*)，則()A. B.C. D.解析：選A由a11，an1a1ann可得an1ann1，利用累加法可得ana1，所以an，所以2，故22，故選A.2(2017·石家莊質(zhì)檢)數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項(xiàng)和為()A3 690 B3 660 C1 845 D1 830解析：選D不妨令a11，根據(jù)題意，得a22，a3a5a71，a46，a610，所以當(dāng)n為奇數(shù)時，an1，當(dāng)n為偶數(shù)時構(gòu)成以a22為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列所以an的前60項(xiàng)和為S60302×30×41 830.3設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S24，an12Sn1，nN*，則S5_.解析：an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn13，數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，3.又S24，S11，S5×34×34，S5121.答案：121考點(diǎn)(二)主要考查與等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式有關(guān)的五個基本量間的“知三求二”運(yùn)算.等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算典例感悟典例(1)(2016·全國卷)已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27，a108，則a100()A100 B99 C98 D97(2)(2017·全國卷)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項(xiàng)的和為()A24 B3 C3 D8(3)(2017·江蘇高考)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3，S6，則a8_.解析(1)an是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199×198，故選C.(2)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2.又a11，所以d22d0.又d0，則d2，所以an前6項(xiàng)的和S66×1×(2)24.(3)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由S62S3，得q1，則解得則a8a1q7×2732.答案(1)C(2)A(3)32方法技巧等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路(1)設(shè)基本量：首項(xiàng)a1和公差d(公比q)(2)列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(或q)的方程(組)，然后求解，注意整體計(jì)算，以減少運(yùn)算量演練沖關(guān)1(2017·合肥質(zhì)檢)若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a2S34，a3S512，則a4S7的值是()A20 B36 C24 D72解析：選C由a2S34及a3S512得解得a4S78a124d24.故選C.2(2017·全國卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a21，a1a33，則a4_.解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a1a2a1(1q)1，a1a3a1(1q2)3，兩式相除，得，解得q2，a11，所以a4a1q38.答案：83(2018屆高三·河南十校聯(lián)考)已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)和，若S84S4，則a10_.解析：an是公差為1的等差數(shù)列，S88a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.答案：考點(diǎn)(三)主要考查利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解基本量及與前n項(xiàng)和有關(guān)的最值問題.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)典例感悟典例(1)(2017·云南調(diào)研)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1a2a34，a4a5a68，則S12()A40 B60 C32 D50(2)(2017·長沙模擬)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a31，a51，則a2a2a6a3a7()A4 B6 C8 D84(3)(2018屆高三·湖南名校聯(lián)考)若an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1>0，a2 016a2 017>0，a2 016·a2 017<0，則使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是()A2 016 B2 017 C4 032 D4 033解析(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8，S9S6，S12S9是等比數(shù)列，所以S9S616，S12S932，所以S12(S12S9)(S9S6)(S6S3)S332168460，故選B.(2)在等比數(shù)列an中，a3a7a，a2a6a3a5，所以a2a2a6a3a7a2a3a5a(a3a5)2(11)2(2)28，故選C.(3)因?yàn)閍1>0，a2 016a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，所以S4 032>0，S4 0334 033a2 017<0，所以使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是4 032，故選C.答案(1)B(2)C(3)C方法技巧等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略(1)解題關(guān)鍵：抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解(2)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題演練沖關(guān)1已知等差數(shù)列an中，a11，前10項(xiàng)和等于前5項(xiàng)和，若ama60，則m()A10 B9 C8 D2解析：選A記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，由題意S10S5，所以S10S5a6a7a8a9a100，又a6a10a7a92a8，于是a80，又ama60，所以m62×8，解得m10.2(2017·合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn.若對任意的nN*，都有bnb8成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(8，7) B8，7)C(8，7 D8，7解析：選A因?yàn)閍n是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，所以anna1，因?yàn)閎n1，又對任意的nN*都有bnb8成立，所以11，即對任意的nN*恒成立，因?yàn)閿?shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，所以an是單調(diào)遞增的數(shù)列，所以即解得8<a<7.3若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.解析：因?yàn)閍10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)·(a2a19)··(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.答案：50考點(diǎn)(四)主要考查等差、等比數(shù)列相結(jié)合的基本量的計(jì)算以及數(shù)列有關(guān)最值問題的求解.等差、等比數(shù)列的綜合問題典例感悟典例(1)(2018屆高三·西安八校聯(lián)考)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，若a1·a6·a113，b1b6b117，則tan的值為()AB1C D(2)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，記數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn.若a5b5，a6b6，且S7S54(T6T4)，則_.解析(1)依題意得，a()3，a6，3b67，b6，所以，故tan tan tan tan .(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.由a5b5，a6b6，且S7S54(T6T4)，得解得故.答案(1)A(2)方法技巧等差、等比數(shù)列綜合問題的求解策略(1)對于等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，要從兩個數(shù)列的特征入手，理清它們的關(guān)系，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運(yùn)用等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)等性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便(2)數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列的有關(guān)最值問題演練沖關(guān)1(2017·云南調(diào)研)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若a11，a33，a55依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q()A2 B1 C1 D2解析：選C依題意，得2a3a1a5,2a36a1a56，即2(a33)(a11)(a55)，所以a11，a33，a55成等差數(shù)列又a11，a33，a55依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，因此有a11a33a55，q1.2(2017·望江調(diào)研)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ，已知S100，S1525，則nSn 的最小值為()A47 B48 C49 D50解析：選C由已知得解得那么nSnn2a1d.由于函數(shù)f(x)在x處取得極小值，又6<<7，從而檢驗(yàn)n6時，6S648，n7時，7S749.所以nSn 的最小值為49.3(2017·太原模擬)設(shè)等比數(shù)列an的前6項(xiàng)和S66，且1為a1，a3的等差中項(xiàng)，則a7a8a9_.解析：依題意得a1a32a2，即S3a1a2a32，由等比數(shù)列的性質(zhì)，知數(shù)列S3，S6S3，S9S6成等比數(shù)列，即數(shù)列2,4，S9S6成等比數(shù)列，于是有S9S68，即a7a8a98.答案：8必備知能·自主補(bǔ)缺 (一) 主干知識要記牢1等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1(q0)前n項(xiàng)和公式Snna1d(1)q1，Sn；(2)q1，Snna12判斷等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：an1and(常數(shù))(nN*)an是等差數(shù)列(2)通項(xiàng)公式法：anpnq(p，q為常數(shù)，nN*)an是等差數(shù)列(3)中項(xiàng)公式法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn(A，B為常數(shù)，nN*)an是等差數(shù)列3判斷等比數(shù)列的常用方法(1)定義法：q(q是不為0的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列(2)通項(xiàng)公式法：ancqn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列(3)中項(xiàng)公式法：aan·an2(an·an1·an20，nN*)an是等比數(shù)列(二) 二級結(jié)論要用好1等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論(1)ana1(n1)dam(nm)d；pqmnapaqaman.(2)apq，aqp(pq)apq0；SmnSmSnmnd.(3)連續(xù)k項(xiàng)的和(如Sk，S2kSk，S3kS2k，)構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列(4)若等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m，公差為d，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2mm(amam1)，S偶S奇md，.(5)若等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m1，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m1(2m1)am，S奇mam，S偶(m1)am，S奇S偶am，.針對練1一個等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為3227，則該數(shù)列的公差d_.解析：設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d.由已知條件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.答案：52等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論(1)ana1qn1amqnm；pqmnap·aqam·an.(2)an，bn成等比數(shù)列anbn成等比數(shù)列(3)連續(xù)m項(xiàng)的和(如Sm，S2mSm，S3mS2m，)構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列(注意：這連續(xù)m項(xiàng)的和必須非零才能成立)(4)若等比數(shù)列有2n項(xiàng)，公比為q，奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則q.(5)對于等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn，有：SmnSmqmSn；(q±1)(三) 易錯易混要明了已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求an，易忽視n1的情形，直接用SnSn1表示事實(shí)上，當(dāng)n1時，a1S1；當(dāng)n2時，anSnSn1.針對練2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為_解析：當(dāng)n1時，a1S12.當(dāng)n2時，anSnSn1(n21)(n1)21n2(n1)22n1，又當(dāng)n1時，2×1112.an答案：an課時跟蹤檢測 A組124提速練一、選擇題1(2017·成都模擬)在等比數(shù)列an中，已知a36，a3a5a778，則a5()A12 B18 C24 D30解析：選Ba3a5a7a3(1q2q4)6(1q2q4)78，解得q23，a5a3q26×318.故選B.2(2017·蘭州模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a12，a8a1028，則S9()A36 B72 C144 D288解析：選Ba8a102a928，a914，S972.3(2017·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524，S648，則an的公差為()A1 B2 C4 D8解析：選C設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由得即解得d4.4設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S1a2，S2a3，則公比q()A1 B4 C4或0 D8解析：選BS1a2，S2a3，解得或(舍去)，故所求的公比q4.5已知Sn是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，則的值為()A4 B6 C8 D10解析：選C設(shè)數(shù)列的公差為d，則S1a1，S22a1d，S44a16d，故(2a1d)2a1(4a16d)，整理得d2a1，所以8.6(2018屆高三·湖南十校聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn1Snan3，a4a523，則S8()A72 B88 C92 D98解析：選C由Sn1Snan3，得an1an3，所以數(shù)列an是公差為3的等差數(shù)列，S892.7已知數(shù)列滿足an1若a1，則a2 018()A. B. C. D.解析：選A因?yàn)閍1，根據(jù)題意得a2，a3，a4，a5，所以數(shù)列以4為周期，又2 018504×42，所以a2 018a2，故選A.8若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前4項(xiàng)的和為9，積為，則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為()A. B. C1 D2解析：選D設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，則第2,3,4項(xiàng)分別為a1q，a1q2，a1q3，依題意得a1a1qa1q2a1q39，a1·a1q·a1q2·a1q3，化簡得aq3，則2.9(2017·廣州模擬)已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，且a3，a5，a4成等差數(shù)列，則的值是()A. B.C. D.解析：選A設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a3，a5，a4成等差數(shù)列可得a5a3a4，即a3q2a3a3q，故q2q10，解得q或q(舍去)，所以，故選A.10(2017·張掖模擬)等差數(shù)列an中，是一個與n無關(guān)的常數(shù)，則該常數(shù)的可能值的集合為()A1 B.C. D.解析：選B，若a1d0，則；若a10，d0，則1.a1dnd0，0，該常數(shù)的可能值的集合為.11(2018屆高三·湖南十校聯(lián)考)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1<0，若存在自然數(shù)m3，使得amSm，則當(dāng)n>m時，Sn與an的大小關(guān)系是()ASn<an BSnanCSn>an D大小不能確定解析：選C若a1<0，存在自然數(shù)m3，使得amSm，則d>0，否則若d0，數(shù)列是遞減數(shù)列或常數(shù)列，則恒有Sm<am，不存在amSm.由于a1<0，d>0，當(dāng)m3時，有amSm，因此am>0，Sm>0，又SnSmam1an，顯然Sn>an.故選C.12(2017·洛陽模擬)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為，公比為，前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)nN*時，Sn的最大值與最小值之和為()AB C. D.解析：選C依題意得，Sn1n.當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn1隨著n的增大而減小，1<Sn1S1，Sn隨著Sn的增大而增大，0<Sn；當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn1隨著n的增大而增大，S2Sn1<1，Sn隨著Sn的增大而增大，Sn<0.因此Sn的最大值與最小值分別為，其最大值與最小值之和為.二、填空題13(2017·合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列an中，a12，且4(an1an)(nN*)，則其前9項(xiàng)和S9_.解析：由已知，得a4anan14a，即a4anan14a(an12an)20，所以an12an，又因?yàn)閍12，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故S921021 022.答案：1 02214(2017·蘭州模擬)已知數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且當(dāng)n2時，有1成立，則S2 017_.解析：當(dāng)n2時，由1，得2(SnSn1)(SnSn1)SnSSnSn1，1，又2，是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，n1，故Sn，則S2 017.答案：15(2016·全國卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)23n·23n2n.記t(n27n)2，結(jié)合nN*可知n3或4時，t有最大值6.又y2t為增函數(shù)，從而a1a2an的最大值為2664.答案：6416(2017·廣州模擬)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a12，對任意p，qN*，都有apqapaq，則f(n)(nN*)的最小值為_解析：a12，對任意p，qN*，都有apqapaq，令p1，qn，則有an1ana1an2.故an是等差數(shù)列，所以an2n，Sn2×n2n，f(n)n11.當(dāng)n18，即n7時，f(7)81；當(dāng)n17，即n6時，f(6)71，因?yàn)?lt;，則f(n)(nN*)的最小值為.答案：B組能力小題保分練1若a，b是函數(shù)f(x)x2pxq(p0，q0)的兩個不同的零點(diǎn)，且a，b，2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則pq的值為()A6 B7 C8 D9解析：選D不妨設(shè)ab，由題意得a0，b0，則a，2，b成等比數(shù)列，a，b，2成等差數(shù)列，p5，q4，pq9.2(2017·鄭州質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足a1a2a3an2n2(nN*)，且對任意nN*都有<t，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()A. B.C. D.解析：選D依題意得，當(dāng)n2時，an2n2(n1)222n1，又a12122×11，因此an22n1，×n1，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和等于<，因此實(shí)數(shù)t的取值范圍是.3(2017·全國卷)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a33，S410，則_.解析：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，依題意有解得所以Sn，2，因此2.答案：4(2017·蘭州模擬)已知數(shù)列an，bn，若b10，an，當(dāng)n2時，有bnbn1an1，則b2 018_.解析：由bnbn1an1，得bnbn1an1，b2b1a1，b3b2a2，bnbn1an1，b2b1b3b2bnbn1a1a2an1，即bnb1a1a2an11，b10，bn，b2 018.答案：5(2017·石家莊質(zhì)檢)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列an為，若Sk14，則ak_.解析：因?yàn)?，所以?shù)列，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以該數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn1.令Tn14，解得n7(n8舍去)，所以ak.答案：6在數(shù)列an和bn中，an1anbn，bn1anbn，a11，b11.設(shè)cn，則數(shù)列cn的前2 018項(xiàng)和為_解析：由已知an1anbn，bn1anbn得an1bn12(anbn)，又a1b12，所以數(shù)列anbn是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即anbn2n，將an1anbn，bn1anbn相乘并化簡，得an1bn12anbn，即2.所以數(shù)列anbn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以anbn2n1，因?yàn)閏n，所以cn2，數(shù)列cn的前2 018項(xiàng)和為2×2 0184 036.答案：4 036第二講 大題考法數(shù)列題型(一)主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求解，且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式命題.等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算典例感悟典例1(2017·沈陽模擬)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，滿足a12，a48，數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足b24，b532.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得d2，所以ana1(n1)·d2(n1)×22n.設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，由題意得q38，解得q2.因?yàn)閎12，所以bnb1·qn12×2n12n.(2)因?yàn)閍n2n，bn2n，所以anbn2n2n，所以Snn2n2n12.備課札記 方法技巧等差、等比數(shù)列的基本量的求解策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo)，確定為最終解決問題需要先求解的中間問題如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，即確定解題的邏輯次序(2)注意細(xì)節(jié)例如：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，若等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能；在數(shù)列的通項(xiàng)問題中，第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個公式表示等演練沖關(guān)1(2017·洛陽模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，an0，a11，且2anan14Sn3(nN*)(1)求a2的值并證明：an2an2；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：(1)令n1得2a1a24a13，又a11，a2.由題可得，2anan14Sn3，2an1an24Sn13.得，2an1(an2an)4an1.an0，an2an2.(2)由(1)可知：數(shù)列a1，a3，a5，a2k1，為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為1，a2k112(k1)2k1，即n為奇數(shù)時，ann.數(shù)列a2，a4，a6，a2k，為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為，a2k2(k1)2k，即n為偶數(shù)時，ann.綜上所述，an題型(二)主要考查錯位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和以及分組求和，且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式、周期等命題.數(shù) 列 求 和 問 題典例感悟典例2等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn設(shè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，求T2n.解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，則由得解得所以an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由a13，an2n1得Snn(n2)，則cn即cn所以T2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)備課札記 方法技巧1分組求和中分組的策略(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組(2)根據(jù)正號、負(fù)號分組2裂項(xiàng)相消的規(guī)律(1)裂項(xiàng)系數(shù)取決于前后兩項(xiàng)分母的差(2)裂項(xiàng)相消后前、后保留的項(xiàng)數(shù)一樣多3錯位相減法的關(guān)注點(diǎn)(1)適用題型：等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn對應(yīng)項(xiàng)相乘(an·bn)型數(shù)列求和(2)步驟：求和時先乘以數(shù)列bn的公比；將兩個和式錯位相減；整理結(jié)果形式演練沖關(guān)2(2017·合肥質(zhì)檢)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S424，S763.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn2anan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)an為等差數(shù)列，解得an2n1.(2)bn2anan22n1(2n1)2×4n(2n1)，Tn2×(4424n)(352n1)2×(4n1)n22n.3(2017·天津高考)已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和(nN*)解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因?yàn)閝0，解得q2.所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4，可得a15d16.由，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n.(2)設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為Tn，由a2n6n2，b2n12×4n1，得a2nb2n1(3n1)×4n，故Tn2×45×428×43(3n1)×4n，4Tn2×425×438×44(3n4)×4n(3n1)×4n1，上述兩式相減，得3Tn2×43×423×433×4n(3n1)×4n14(3n1)×4n1(3n2)×4n18.故Tn×4n1.所以數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為×4n1.題型(三)主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)，且常與數(shù)列的遞推公式相結(jié)合命題.等差、等比數(shù)列的判定與證明典例感悟典例3(2017·成都模擬)已知數(shù)列an滿足a12，an12an4.(1)證明數(shù)列an4是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Sn.解(1)證明：an12an4，an142an82(an4)，2，a12，a142.an4是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)，可知an42n，an2n4.當(dāng)n1時，a12<0，S1|a1|2；當(dāng)n2時，an0.Sna1a2an2(224)(2n4)2222n4(n1)4(n1)2n14n2.又當(dāng)n1時，也滿足上式數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Sn2n14n2.備課札記 方法技巧判定和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法(1)定義法：對于n1的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an1an為與正整數(shù)n無關(guān)的某一常數(shù)(2)中項(xiàng)公式法：若2anan1an1(nN*，n2)，則an為等差數(shù)列；若aan1·an10(nN*，n2)，則an為等比數(shù)列演練沖關(guān)4(2018屆高三·東北三校聯(lián)考)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1>0，an1(nN*)，且a1.(1)求證：是等比數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)證明：記bn1，則，又b111，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列所以1×n1，即an.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(2)由(1)知，×n11.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和Tnnn.5(2017·全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S22，S36.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并判斷Sn1，Sn，Sn2是否成等差數(shù)列解：(1)設(shè)an的公比為q.由題設(shè)可得解得故an的通項(xiàng)公式為an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列解題通法點(diǎn)撥 數(shù)列問題重在“歸”化歸、歸納 循流程思維入題快等差數(shù)列與等比數(shù)列是我們最熟悉的兩個基本數(shù)列，在高中階段它們是一切數(shù)列問題的出發(fā)點(diǎn)與落腳點(diǎn)首項(xiàng)與公差(比)稱為等差(比)數(shù)列的基本量，大凡涉及這兩個數(shù)列的問題，我們總希望把已知條件化歸為等差或等比數(shù)列的基本量間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的這種化歸為基本量處理的方法，是解決等差或等比數(shù)列問題特有的方法，對于不是等差或等比的數(shù)列，可從簡單的個別的特殊的情景出發(fā)，從中歸納出一般性的規(guī)律、性質(zhì)，這種歸納思想便形成了解決一般性數(shù)列問題的重要方法：觀察、歸納、猜想、證明由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，也可根據(jù)題目特點(diǎn)，將數(shù)列問題化歸為函數(shù)問題來解決按流程解題快又準(zhǔn)典例(2015·全國卷)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知an>0，a2an4Sn3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解題示范(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.，得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an>0，得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則Tnb1b2bn.思維升華對于數(shù)列的備考：一是準(zhǔn)確掌握數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系，這是解決數(shù)列問題的基礎(chǔ)；二是重視等差與等比數(shù)列的復(fù)習(xí)，熟悉其基本概念、公式和性質(zhì)，這是解決數(shù)列問題的根本；三是注意數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合問題，掌握解決此類問題的通法；四是在知識的復(fù)習(xí)和解題過程中體會其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想等應(yīng)用體驗(yàn)(2017·濟(jì)南模擬)已知數(shù)列an滿足a1511,4anan13(n2)(1)求證：數(shù)列an1為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn|log2(an1)|，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)證明：當(dāng)n2時，由4anan13得an1(an11)，所以數(shù)列an1是以512為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以an1512×n12112n，an2112n1.(2)bn|112n|，設(shè)數(shù)列112n的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn10nn2.當(dāng)n5時，SnTn10nn2；當(dāng)n6時，Sn2S5Tnn210n50.所以Sn課時跟蹤檢測 1(2018屆高三·廣西三市聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2n1(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog4an1，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)當(dāng)n2時，anSnSn12n1，當(dāng)n1時，a1211，滿足an2n1，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1(nN*)(2)由(1)得，bnlog4an1，則bn1bn，又b1log4a111，數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公差d的等差數(shù)列，Tnnb1d.2(2017·福州質(zhì)檢)已知等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其公差為2，a2a44a31.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求a1a3a9a3n.解：(1)依題意知，ana12(n1)，an>0.因?yàn)閍2a44a31，所以(a12)(a16)4(a14)1，所以a4a150，解得a11或a15(舍去)，所以an2n1.(2)a1a3a9a3n(2×11)(2×31)(2×321)(2×3n1)2×(13323n)(n1)2×(n1)3n1n2.3(2018屆高三·廣東五校聯(lián)考)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)Sn2ana1，當(dāng)n2時，Sn12an1a1；得，an2an2an1，即an2an1.由a1，a21，a3成等差數(shù)列，得2(a21)a1a3，2(2a11)a14a1，解得a12.數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列an2n.(2)an2n，Sn2ana12n12，Sn12n22.bn.數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an3Sn4，bnlog2an1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式與數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn，其中nN*，若數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解：(1)由a13a14，得a11，由an3Sn4，知an13Sn14，兩式相減并化簡得an1an，ann1，bnlog2an1log2n2n.(2)由題意知，cn.令Hn，則Hn，得，Hn1.Hn2.又TnHn11，TnHn(TnHn)2.5已知數(shù)列an滿足a11，an12ann1.(1)是否存在實(shí)數(shù)p，q，使anpnq成等比數(shù)列？若存在，求出p，q的值；若不存在，請說明理由；(2)令bnan2，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù)p，q，使數(shù)列anpnq為等比數(shù)列，且其公比為A，則由題意得，an1p(n1)qA(anpnq)，即an1Aan(App)nAqqp，又an12ann1，即an1(n1)22(ann2)，當(dāng)n1時，a1124，存在實(shí)數(shù)p1，q2，使數(shù)列anpnq是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)可知ann24·2n12n1，an2n1n2，nN*.bnan22n1n，Tn(22232n1)(12n)2n242n2.第三講 創(chuàng)新考法與思想方法常見創(chuàng)新考法 創(chuàng)新點(diǎn)(一)創(chuàng)新命題情景考應(yīng)用能力典例1如果一個數(shù)列的每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且a13，公和為4，那么數(shù)列an的前25項(xiàng)和S25的值為_解析由題意知，anan14，且a13，所以a1a24，得a21，a33，a41，a241，a253，即數(shù)列an是周期為2的數(shù)列，所以S25(31)(31)(31)312×4351.答案51點(diǎn)評本題通過新定義“等和數(shù)列”考查了學(xué)生利用歸納推理解決新問題的能力本題的實(shí)質(zhì)是考查與周期有關(guān)的數(shù)列求和問題演練沖關(guān)1根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的n個月內(nèi)累積的需求量Sn(萬件)近似地滿足關(guān)系式Sn(21nn25)(n1,2，12)，按此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是()A5,6月 B6,7月C7,8月 D8,9月解析：選C當(dāng)n1時，a1S1不滿足題意；當(dāng)n2時，第n個月的需求量anSnSn1(n215n9)，解不等式(n215n9)>1.5，得6<n<9，故選C.2(2017·全國卷)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20