（新課標）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學案 理 新人教A版

第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列做真題題型一等差數(shù)列1(2019·高考全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和已知S40，a55，則()Aan2n5Ban3n10CSn2n28n DSnn22n解析：選A法一：設等差數(shù)列an的公差為d，因為所以解得所以ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故選A法二：設等差數(shù)列an的公差為d，因為所以解得選項A，a12×153；選項B，a13×1107，排除B；選項C，S1286，排除C；選項D，S12，排除D故選A2(2018·高考全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若3S3S2S4，a12，則a5()A12 B10C10 D12解析：選B設等差數(shù)列an的公差為d，因為3S3S2S4，所以3(3a1d)2a1d4a1d，解得da1，因為a12，所以d3，所以a5a14d24×(3)10.故選B3(2017·高考全國卷)等差數(shù)列an的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項的和為()A24 B3C3 D8解析：選A設等差數(shù)列an的公差為d，因為a2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2，又a11，所以d22d0，又d0，則d2，所以a6a15d9，所以an前6項的和S6×624，故選A4(2019·高考全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若a10，a23a1，則_解析：設等差數(shù)列an的公差為d，由a23a1，即a1d3a1，得d2a1，所以4.答案：4題型二等比數(shù)列1(2019·高考全國卷)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項和為15，且a53a34a1，則a3()A16B8C4 D2解析：選C設等比數(shù)列an的公比為q，由a53a34a1得q43q24，得q24，因為數(shù)列an的各項均為正數(shù)，所以q2，又a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1248)15，所以a11，所以a3a1q24.2(2017·高考全國卷)我國古代數(shù)學名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A1盞 B3盞C5盞 D9盞解析：選B每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構成等比數(shù)列，記為an，則前7項的和S7381，公比q2，依題意，得S7381，解得a13，故選B3(2019·高考全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和若a1，aa6，則S5_解析：通解：設等比數(shù)列an的公比為q，因為aa6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1，又a1，所以q3，所以S5.優(yōu)解：設等比數(shù)列an的公比為q，因為aa6，所以a2a6a6，所以a21，又a1，所以q3，所以S5.答案：4(2018·高考全國卷)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項公式；(2)記Sn為an的前n項和若Sm63，求m.解：(1)設an的公比為q，由題設得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.題型三等差、等比數(shù)列的判定與證明(2019·高考全國卷)已知數(shù)列an和bn滿足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)證明：anbn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項公式解：(1)證明：由題設得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因為a1b11，所以anbn是首項為1，公比為的等比數(shù)列由題設得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因為a1b11，所以anbn是首項為1，公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.明考情等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及其通項公式在考查基本運算、基本概念的同時，也注重對函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想的考查；對等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)考查主要是求解數(shù)列的等差中項、等比中項、通項公式和前n項和的最大、最小值等問題，主要是中低檔題等差、等比數(shù)列的基本運算典型例題 (1)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若a11，則數(shù)列an的公比q為()A4B2C D(2)(2019·開封模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項和為Tn，a11，b11，a2b23.若a3b37，求bn的通項公式；若T313，求Sn.【解】(1)選C因為2，所以q1.所以1q5，所以1q5，所以q.(2)設數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，則an1(n1)d，bnqn1.由a2b23，得dq4，(*)由a3b37，得2dq28，(*)聯(lián)立(*)(*)，解得q2或q0(舍去)，因此數(shù)列bn的通項公式為bn2n1.因為T31qq2，所以1qq213，解得q3或q4，由a2b23，得d4q，所以d1或d8.由Snna1n(n1)d，得Snn2n或Sn4n25n.等差、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量，首項a1、公差d或公比q；(2)熟悉一些結(jié)構特征，如前n項和為Snan2bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項公式為anp·qn1(p，q0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列；(3)由于等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常采用兩式相除(即比值的方式)進行相關計算 對點訓練1(一題多題)(2019·沈陽市質(zhì)量監(jiān)測(一)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn.若a112，S590，則等差數(shù)列an的公差d()A2 BC3 D4解析：選C法一：依題意，5×12d90，解得d3，故選C法二：因為等差數(shù)列an中，S590，所以5a390，即a318，因為a112，所以2da3a118126，所以d3，故選C2(一題多題)(2019·福州市質(zhì)量檢測)等比數(shù)列an的各項均為正實數(shù)，其前n項和為Sn.若a34，a2a664，則S5()A32 B31C64 D63解析：選B通解：設首項為a1，公比為q，因為an>0，所以q>0，由條件得，解得，所以S531，故選B優(yōu)解：設首項為a1，公比為q，因為an>0，所以q>0，由a2a6a64，a34，得q2，a11，所以S531，故選B3(2019·武昌區(qū)調(diào)研考試)設an是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，已知S1，S2，S4成等比數(shù)列，且a35，則數(shù)列an的通項公式為_解析：設數(shù)列an的公差為d(d0)，因為an是等差數(shù)列，S1，S2，S4成等比數(shù)列，所以(a1a2)2a1(a1a2a3a4)，因為a35，所以(52d5d)2(52d)(52d15)，解得d2或d0(舍去)，所以5a1(31)×2，即a11，所以an2n1.答案：an2n1等差(比)數(shù)列的性質(zhì)典型例題 (1)(2019·貴州省適應性考試)等差數(shù)列an中，a2與a4是方程x24x30的兩個根，則a1a2a3a4a5()A6B8C10 D12(2)在等比數(shù)列an中，a3，a15是方程x26x20的根，則的值為()A BC D或(3)(2019·長春質(zhì)量檢測)設Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若S40，且S83S4，S12S8，則()A BC2 D3【解析】(1)根據(jù)題意有a2a44，在等差數(shù)列an中，a2a4a1a52a34a32，所以a1a2a3a4a55a310.故選C(2)設等比數(shù)列an的公比為q，因為a3，a15是方程x26x20的根，所以a3·a15a2，a3a156，所以a3<0，a15<0，則a9，所以a9，故選B(3)因為Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若S40，且S83S4，S12S8，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)得：S4，S8S4，S12S8成等差數(shù)列，所以2(S8S4)S4(S12S8)，所以2(3S4S4)S4(·3S43S4)，解得2.【答案】(1)C(2)B(3)C等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略抓關系抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系，從這些特點入手選擇恰當?shù)男再|(zhì)進行求解用性質(zhì)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題對點訓練1(一題多解)(2019·福建省質(zhì)量檢查)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a8a59，S8S566，則a33()A82 B97C100 D115解析：選C通解：設等差數(shù)列an的公差為d，則由得解得所以a33a132d432×3100，故選C優(yōu)解：設等差數(shù)列an的公差為d，由a8a59，得3d9，即d3.由S8S566，得a6a7a866，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)知3a766，即a722，所以a33a7(337)×d2226×3100，故選C2(一題多解)(2019·廣東省七校聯(lián)考)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a6a86，S9S63，則Sn取得最大值時n的值為()A5 B6C7 D8解析：選D法一：設an的公差為d，則由題意得，解得所以an2n17，由于a8>0，a9<0，所以Sn取得最大值時n的值是8，故選D法二：設an的公差為d，則由題意得，解得則Sn15n×(2)(n8)264，所以當n8時，Sn取得最大值，故選D3(一題多解)已知數(shù)列an滿足an若對于任意的nN*都有an>an1，則實數(shù)的取值范圍是_解析：法一：因為an>an1，所以數(shù)列an是遞減數(shù)列，所以解得<<.所以實數(shù)的取值范圍是.法二：因為an>an1恒成立，所以0<<1.若0<，則當n<6時，數(shù)列an為遞增數(shù)列或常數(shù)列，不滿足對任意的nN*都有an>an1；若<<1，則當n<6時，數(shù)列an為遞減數(shù)列，當n6時，數(shù)列an為遞減數(shù)列，又對任意的nN*都有an>an1，所以a6<a5，即<×51，解得<，所以<<.綜上，實數(shù)的取值范圍為.答案：等差(比)數(shù)列的判定與證明典型例題 (2019·廣州市調(diào)研測試)設Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a37，an2an1a22(n2)(1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式，并判斷n，an，Sn是否成等差數(shù)列？【解】(1)證明：因為a37，a33a22，所以a23，所以an2an11，所以a11，2(n2)，所以數(shù)列an1是首項為a112，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知，an12n，所以an2n1，所以Snn2n1n2，所以nSn2ann(2n1n2)2(2n1)0，所以nSn2an，即n，an，Sn成等差數(shù)列判斷(證明)等差(比)數(shù)列應注意的問題(1)判斷或者證明數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列最基本的方法是用定義判斷或證明，其他方法最后都會回到定義，如證明等差數(shù)列可以證明通項公式是n的一次函數(shù)，但最后還得使用定義才能說明其為等差數(shù)列(2)證明數(shù)列an為等比數(shù)列時，不能僅僅證明an1qan，還要說明a10，才能遞推得出數(shù)列中的各項均不為零，最后判定數(shù)列an為等比數(shù)列 對點訓練1(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足an13an3n(nN*)且a11.(1)設bn，證明數(shù)列bn為等差數(shù)列；(2)設cn，求數(shù)列cn的前n項和Sn.解：(1)證明：由已知得an13an3n，得bn11bn1，所以bn1bn1，又a11，所以b11，所以數(shù)列bn是首項為1，公差為1的等差數(shù)列(2)由(1)知，bnn，所以ann·3n1，cn，所以Sn.2設Sn為數(shù)列an的前n項和，對任意的nN*，都有Sn2an，數(shù)列bn滿足b12a1，bn(n2，nN*)(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列，并求an的通項公式；(2)判斷數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項公式解：(1)當n1時，a1S12a1，解得a11；當n2時，anSnSn1an1an，即(n2，nN*)所以數(shù)列an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故數(shù)列an的通項公式為an.(2)因為a11，所以b12a12.因為bn，所以1，即1(n2)所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列所以(n1)·1，故數(shù)列bn的通項公式為bn.數(shù)列與新定義相交匯問題典型例題 對任一實數(shù)序列A(a1，a2，a3，)，定義新序列A(a2a1，a3a2，a4a3，)，它的第n項為an1an.假定序列(A)的所有項都是1，且a12a220，則a2_【解析】令bnan1an，依題意知數(shù)列bn為等差數(shù)列，且公差為1，所以bnb1(n1)×1，a1a1，a2a1b1，a3a2b2，anan1bn1，累加得ana1b1bn1a1(n1)b1(n1)a2(n2)a1，分別令n12，n22，得解得a1，a2100.【答案】100數(shù)列新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路(1)閱讀審清“新定義”(2)結(jié)合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關知識，化歸、轉(zhuǎn)化到“新定義”的相關知識(3)利用“新定義”及常規(guī)的數(shù)列知識，求解證明相關結(jié)論 對點訓練1對于數(shù)列an，定義數(shù)列an1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若a12，數(shù)列an的“差數(shù)列”的通項公式為an1an2n，則數(shù)列an的前n項和Sn()A2B2nC2n12 D2n12解析：選C因為an1an2n，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n，所以Sn2n12.2(2019·福建五校第二次聯(lián)考)在數(shù)列an中，a1，nN，且bn.記Pnb1×b2××bn，Snb1b2bn，則3n1PnSn_解析：因為，所以bn，所以Snb1b2bn.因為，所以bn，所以Pnb1×b2××bn×××.又a1，故3n1PnSn3.答案：3一、選擇題1(2019·福州市質(zhì)量檢測)已知數(shù)列an中，a32，a71.若數(shù)列為等差數(shù)列，則a9()ABC D解析：選C因為數(shù)列為等差數(shù)列，a32，a71，所以數(shù)列的公差d，所以(97)×，所以a9，故選C2(一題多解)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S22，S36，則S5()A18 B10C14 D22解析：選D法一：設等比數(shù)列an的公比為q，由題意，得，解得，所以S522，故選D法二：設等比數(shù)列an的公比為q，易知q1，令A，則SnAqnA，解得，所以Sn(2)n1，所以S5×(2)5122，故選D3已知數(shù)列an是等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，若a1·a6·a113，b1b6b117，則tan 的值是()A B1C D解析：選A依題意得，a()3，3b67，所以a6，b6，所以，故tantantantan，故選A4(一題多解)(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測)已知正項等差數(shù)列an的前n項和為Sn(nN*)，a5a7a0，則S11的值為()A11 B12C20 D22解析：選D通解：設等差數(shù)列an的公差為d(d>0)，則由(a14d)(a16d)(a15d)20，得(a15d)(a15d2)0，所以a15d0或a15d2，又a1>0，所以a15d>0，則a15d2，則S1111a1d11(a15d)11×222，故選D優(yōu)解：因為an為正項等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)，并結(jié)合a5a7a0，得2a6a0，a62，則S1111a622，故選D5(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預測)已知數(shù)列an為等比數(shù)列，首項a14，數(shù)列bn滿足bnlog2an，且b1b2b312，則a4()A4 B32C108 D256解析：選D設等比數(shù)列an的公比為q，由題意知q>0，又首項a14，所以數(shù)列an的通項公式為an4·qn1，又bnlog2an，所以bnlog2(4·qn1)2(n1)log2q，所以bn為等差數(shù)列，則b1b2b33b212，所以b24，由b22(21)log2q4，解得q4，所以a44×44144256.故選D6等差數(shù)列an中，已知|a6|a11|，且公差d>0，則其前n項和取最小值時n的值為()A6 B7C8 D9解析：選C由d>0可得等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，又|a6|a11|，所以a6a11，即a15da110d，所以a1，則a8<0，a9>0，所以前8項和為前n項和的最小值，故選C二、填空題7(2019·貴陽市第一學期監(jiān)測)已知數(shù)列an中，a13，a27.當nN*時，an2是乘積an·an1的個位數(shù)，則a2 019_解析：a13，a27，a1a221，a31，a2a37，a47，a3a47，a57，a4a549，a69，a5a663，a73，a6a727，a87，a7a821，a91，a8a97，所以數(shù)列an是周期為6的數(shù)列，又2 0196×3363，所以a2 019a31.答案：18在數(shù)列an中，nN*，若k(k為常數(shù))，則稱an為“等差比數(shù)列”，下列是對“等差比數(shù)列”的判斷：k不可能為0；等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項為0.其中所有正確判斷的序號是_解析：由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以正確，當?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以錯誤；當an是等比數(shù)列，且公比q1時，an不是等差比數(shù)列，所以錯誤；數(shù)列0，1，0，1，是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個0，所以正確答案：9(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)，g(x)f(x1)1，angggg(nN*)，則數(shù)列an的通項公式為_解析：因為f(x)，所以f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)因為g(x)f(x1)1，所以g(x)的圖象關于點(1，1)對稱，若x1x22，則有g(x1)g(x2)2，所以angggg2(n1)g(1)2n2f(0)12n1，即an2n1，故數(shù)列an的通項公式為an2n1.答案：an2n1三、解答題10(2019·昆明市診斷測試)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，公比q<1，若a22，a1a2a37.(1)求an的通項公式；(2)設bnlog2an，求數(shù)列bn的前n項和解：(1)由已知得，則或(舍去)所以an4×23n.(2)因為bnlog2anlog223n3n，所以數(shù)列bn是首項為2，公差為1的等差數(shù)列設數(shù)列bn的前n項和為Tn，則Tn.11(2019·武漢調(diào)研)已知等差數(shù)列an前三項的和為9，前三項的積為15.(1)求等差數(shù)列an的通項公式；(2)若an為遞增數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項和Sn.解：(1)設等差數(shù)列an的公差為d，則依題意得a23，則a13d，a33d，所以(3d)(3)(3d)15，得d24，d±2，所以an2n1或an2n7.(2)由題意得an2n7，所以|an|，n3時，Sn(a1a2an)n6nn2；n4時，Sna1a2a3a4an2(a1a2a3)(a1a2an)186nn2.綜上，數(shù)列|an|的前n項和Sn.12(2019·長沙市統(tǒng)一模擬考試)已知數(shù)列an的首項a13，a37，且對任意的nN*，都有an2an1an20，數(shù)列bn滿足bna2n1，nN*.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)求使b1b2bn>2 018成立的最小正整數(shù)n的值解：(1)令n1得，a12a2a30，解得a25.又由an2an1an20知，an2an1an1ana2a12，故數(shù)列an是首項a13，公差d2的等差數(shù)列，于是an2n1，bna2n12n1.(2)由(1)知，bn2n1.于是b1b2bn(21222n)nn2n1n2.令f(n)2n1n2，易知f(n)是關于n的單調(diào)遞增函數(shù)，又f(9)210921 031，f(10)2111022 056，故使b1b2bn>2 018成立的最小正整數(shù)n的值是10.- 16 -