（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量與解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形學(xué)案

§5.3正弦、余弦定理及解三角形考綱解讀考點(diǎn)考綱內(nèi)容要求浙江省五年高考統(tǒng)計(jì)201320142015201620171.正弦、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.掌握16,4分18(1)(文),7分17,4分20(2),7分16(1),7分16(文),14分14,3分2.解三角形及其綜合應(yīng)用能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.掌握7,5分18(2)(文),7分18(2),7分18(文),6分16,14分16(2)(文),7分16(2),7分11,4分14,3分分析解讀1.主要考查正弦定理和余弦定理,以及利用正弦、余弦定理和三角形面積公式解三角形.2.高考命題仍會(huì)以三角形為載體,以正弦定理和余弦定理為框架綜合考查三角知識(shí).3.預(yù)計(jì)2019年高考中,仍會(huì)對(duì)解三角形進(jìn)行重點(diǎn)考查,復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起高度重視.五年高考考點(diǎn)一正弦、余弦定理 1.(2017課標(biāo)全國(guó)文,11,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,則C=()A.B.C.D.答案B2.(2017山東理,9,5分)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若ABC為銳角三角形,且滿足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,則下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A3.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120°,則AC=() A.1B.2C.3D.4答案A4.(2013浙江,16,4分)在ABC中,C=90°,M是BC的中點(diǎn).若sinBAM=,則sinBAC=. 答案5.(2017課標(biāo)全國(guó)文,16,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=. 答案60°6.(2016課標(biāo)全國(guó),13,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=. 答案7.(2015天津,13,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為3,b-c=2,cos A=-,則a的值為. 答案88.(2014課標(biāo),16,5分)已知a,b,c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,則ABC面積的最大值為. 答案9.(2017山東文,17,12分)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b=3,·=-6,SABC=3,求A和a.解析本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及解三角形.因?yàn)?#183;=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0<A<,所以A=.又b=3,所以c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2×3×2×=29,所以a=.10.(2016四川,17,12分)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且+=.(1)證明:sin Asin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.解析(1)證明:根據(jù)正弦定理,可設(shè)=k(k>0).則a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入+=中,有+=,變形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理,有cos A=.所以sin A=.由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B=4.教師用書(shū)專用(1127)11.(2013湖南,3,5分)在銳角ABC中,角A,B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b.若2asin B=b,則角A等于() A.B.C.D.答案D12.(2013陜西,7,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則ABC的形狀為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定答案B13.(2013遼寧,6,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,則B=()A.B.C.D.答案A14.(2013天津,6,5分)在ABC中,ABC=,AB=,BC=3,則sinBAC=()A.B.C.D.答案C15.(2015福建,12,4分)若銳角ABC的面積為10,且AB=5,AC=8,則BC等于. 答案716.(2014江蘇,14,5分)若ABC的內(nèi)角滿足sin A+sin B=2sin C,則cos C的最小值是. 答案17.(2015重慶,13,5分)在ABC中,B=120°,AB=,A的角平分線AD=,則AC=. 答案18.(2015廣東,11,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=,sin B=,C=,則b=. 答案119.(2014天津,12,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,則cos A的值為. 答案-20.(2014廣東,12,5分)在ABC中,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,則=. 答案221.(2014福建,12,4分)在ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,則ABC的面積等于. 答案222.(2013安徽,12,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,則角C=. 答案23.(2016江蘇,15,14分)在ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的長(zhǎng);(2)求cos的值.解析(1)因?yàn)閏os B=,0<B<,所以sin B=.由正弦定理知=,所以AB=5.(2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos +sin B·sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-.因?yàn)?<A<,所以sin A=.因此,cos=cos Acos+sin Asin=-×+×=.24.(2015課標(biāo),17,12分)ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,ABD面積是ADC面積的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的長(zhǎng).解析(1)SABD=AB·ADsinBAD,SADC=AC·ADsinCAD.因?yàn)镾ABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得=.(2)因?yàn)镾ABDSADC=BDDC,所以BD=.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.25.(2013山東,17,12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.解析(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在ABC中,sin B=,由正弦定理得sin A=.因?yàn)閍=c,所以A為銳角,所以cos A=.因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.26.(2014湖南,18,12分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的長(zhǎng).解析(1)在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=.(2)設(shè)BAC=,則=BAD-CAD.因?yàn)閏osCAD=,cosBAD=-,所以sinCAD=,sinBAD=.于是sin =sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=×-×=.在ABC中,由正弦定理,得=,故BC=3.27.(2013北京,15,13分)在ABC中,a=3,b=2,B=2A.(1)求cos A的值;(2)求c的值.解析(1)因?yàn)閍=3,b=2,B=2A,所以在ABC中,由正弦定理得=.所以=.故cos A=.(2)由(1)知cos A=,所以sin A=.又因?yàn)锽=2A,所以cos B=2cos2A-1=.所以sin B=.在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.所以c=5.考點(diǎn)二解三角形及其綜合應(yīng)用1.(2014課標(biāo),4,5分)鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC=()A.5B.C.2D.1答案B2.(2017浙江,11,4分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率,理論上能把的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”,將的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位,其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6,S6=. 答案 3.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則BDC的面積是,cosBDC=. 答案;4.(2017課標(biāo)全國(guó)文,15,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,則A=. 答案75°5.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,則=. 答案16.(2016浙江,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)證明:A=2B;(2)若ABC的面積S=,求角A的大小.解析(1)證明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0<A-B<,所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,因sin B0,得sin C=cos B.又B,C(0,),所以C=±B.當(dāng)B+C=時(shí),A=;當(dāng)C-B=時(shí),A=.綜上,A=或A=.7.(2015浙江,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面積為3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C(0,)得sin C=,cos C=.又因?yàn)閟in B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因?yàn)锳=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.8.(2014浙江,18,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知ab,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求ABC的面積.解析(1)由題意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin A=,=,得a=,由a<c,得A<C.從而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以,ABC的面積為S=acsin B=.9.(2013浙江文,18,14分)在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2asin B=b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面積.解析(1)由2asin B=b及=,得sin A=.因?yàn)锳是銳角,所以A=.(2)由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=.由S=bcsin A,得ABC的面積為.10.(2017課標(biāo)全國(guó)理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周長(zhǎng).解析本題考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面積公式及其綜合應(yīng)用.(1)由題設(shè)得acsin B=,即csin B=.由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由題設(shè)得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故ABC的周長(zhǎng)為3+.11.(2017課標(biāo)全國(guó)理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面積為2,求b.解析本題考查了三角公式的運(yùn)用和余弦定理的應(yīng)用.(1)由題設(shè)及A+B+C=得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac.又SABC=2,則ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.所以b=2.12.(2017課標(biāo)全國(guó)理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且ADAC,求ABD的面積.解析本題考查解三角形.(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),或c=4.(2)由題設(shè)可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面積與ACD面積的比值為=1.又ABC的面積為×4×2sinBAC=2,所以ABD的面積為.13.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面積.解析本題考查正、余弦定理的應(yīng)用,考查三角形的面積公式.(1)在ABC中,因?yàn)锳=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C=×=.(2)因?yàn)閍=7,所以c=×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面積S=bcsin A=×8×3×=6.14.(2016課標(biāo)全國(guó),17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC的面積為,求ABC的周長(zhǎng).解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.(10分)所以ABC的周長(zhǎng)為5+.(12分)15.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及題設(shè)得cos B=.又因?yàn)?<B<,所以B=.(6分)(2)由(1)知A+C=.cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos.(11分)因?yàn)?<A<,所以當(dāng)A=時(shí),cos A+cos C取得最大值1.(13分)16.(2014陜西,16,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.(1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比數(shù)列,求cos B的最小值.解析(1)證明:a,b,c成等差數(shù)列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)a,b,c成等比數(shù)列,b2=ac.由余弦定理得cos B=,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立.cos B的最小值為.17.(2013課標(biāo)全國(guó),17,12分)如圖,在ABC中,ABC=90°,AB=,BC=1,P為ABC內(nèi)一點(diǎn),BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若APB=150°,求tanPBA.解析(1)由已知得,PBC=60°,所以PBA=30°.在PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2××cos 30°=.故PA=.(2)設(shè)PBA=,由已知得PB=sin .在PBA中,由正弦定理得=,化簡(jiǎn)得cos =4sin .所以tan =,即tanPBA=.教師用書(shū)專用(1835)18.(2014江西,4,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,則ABC的面積是()A.3B.C.D.3答案C19.(2014重慶,10,5分)已知ABC的內(nèi)角A,B,C滿足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面積S滿足1S2,記a,b,c分別為A,B,C所對(duì)的邊,則下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6abc12D.12abc24答案A20.(2015課標(biāo),16,5分)在平面四邊形ABCD中,A=B=C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是. 答案(-,+)21.(2014山東,12,5分)在ABC中,已知·=tan A,當(dāng)A=時(shí),ABC的面積為. 答案22.(2013福建,13,4分)如圖,在ABC中,已知點(diǎn)D在BC邊上,ADAC,sinBAC=,AB=3,AD=3,則BD的長(zhǎng)為. 答案23.(2015浙江文,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求ABC的面積.解析(1)由tan=2,得tan A=,所以=.(2)由tan A=,A(0,),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=.設(shè)ABC的面積為S,則S=absin C=9.24.(2017江蘇,18,16分)如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺(tái)形玻璃容器的高均為32 cm,容器的底面對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10 cm,容器的兩底面對(duì)角線EG,E1G1的長(zhǎng)分別為14 cm和62 cm.分別在容器和容器中注入水,水深均為12 cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長(zhǎng)度為40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì))(1)將l放在容器中,l的一端置于點(diǎn)A處,另一端置于側(cè)棱CC1上,求l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度;(2)將l放在容器中,l的一端置于點(diǎn)E處,另一端置于側(cè)棱GG1上,求l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度.解析本小題主要考查正棱柱、正棱臺(tái)的概念,考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.(1)由正棱柱的定義,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC.記玻璃棒的另一端落在CC1上點(diǎn)M處.因?yàn)锳C=10,AM=40,所以MC=30,從而sinMAC=.記AM與水面的交點(diǎn)為P1,過(guò)P1作P1Q1AC,Q1為垂足,則P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,從而AP1=16.答:玻璃棒l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為16 cm.(如果將“沒(méi)入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為24 cm)(2)如圖,O,O1是正棱臺(tái)的兩底面中心.由正棱臺(tái)的定義,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG.同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1.記玻璃棒的另一端落在GG1上點(diǎn)N處.過(guò)G作GKE1G1,K為垂足,則GK=OO1=32.因?yàn)镋G=14,E1G1=62,所以KG1=24,從而GG1=40.設(shè)EGG1=,ENG=,則sin =sin=cosKGG1=.因?yàn)?lt;<,所以cos =-.在ENG中,由正弦定理可得=,解得sin =.因?yàn)?<<,所以cos =.于是sinNEG=sin(-)=sin(+)=sin cos +cos sin =×+×=.記EN與水面的交點(diǎn)為P2,過(guò)P2作P2Q2EG,Q2為垂足,則P2Q2平面EFGH,故P2Q2=12,從而EP2=20.答:玻璃棒l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為20 cm.(如果將“沒(méi)入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為20 cm)25.(2015湖南,17,12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=btan A,且B為鈍角.(1)證明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范圍.解析(1)證明:由a=btan A及正弦定理,得=,所以sin B=cos A,即sin B=sin.又B為鈍角,因此+A,故B=+A,即B-A=.(2)由(1)知,C=-(A+B)=-=-2A>0,所以A.于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+.因?yàn)?<A<,所以0<sin A<,因此<-2+.由此可知sin A+sin C的取值范圍是.26.(2015陜西,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.向量m=(a,b)與n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面積.解析(1)因?yàn)閙n,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B0,從而tan A=,由于0<A<,所以A=.(2)解法一:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因?yàn)閏>0,所以c=3.故ABC的面積為bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,從而sin B=,又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以ABC的面積為absin C=.27.(2015四川,19,12分)如圖,A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角.(1)證明:tan=;(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.解析(1)證明:tan=.(2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.由(1),有tan+tan+tan+tan=+=+.連接BD.在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A,在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C,所以AB2+AD2-2AB·ADcos A=BC2+CD2+2BC·CDcos A.則cos A=.于是sin A=.連接AC.同理可得cos B=,于是sin B=.所以,tan+tan+tan+tan=+=+=.28.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,點(diǎn)D在BC邊上,AD=BD,求AD的長(zhǎng).解析設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B=,由題設(shè)知0<B<,所以cos B=.在ABD中,由正弦定理得AD=.29.(2014北京,15,13分)如圖,在ABC中,B=,AB=8,點(diǎn)D在BC邊上,且CD=2,cosADC=.(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的長(zhǎng).解析(1)在ADC中,因?yàn)閏osADC=,所以sinADC=.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcos B-cosADCsin B=×-×=.(2)在ABD中,由正弦定理得BD=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=82+52-2×8×5×=49.所以AC=7.30.(2014安徽,16,12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因?yàn)锳=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b·.因?yàn)閎=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-.由于0<A<,所以sin A=.故sin=sin Acos+cos Asin=×+×=.31.(2014大綱全國(guó),17,10分)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.解析由題設(shè)和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因?yàn)閠an A=,所以cos C=2sin C,tan C=.(6分)所以tan B=tan180°-(A+C)=-tan(A+C)=(8分)=-1,即B=135°.(10分)32.(2013江蘇,18,16分)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min,山路AC長(zhǎng)為1 260 m,經(jīng)測(cè)量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的長(zhǎng);(2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?解析(1)在ABC中,因?yàn)閏os A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.從而sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.由=,得AB=×sin C=×=1 040(m).所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m.(2)設(shè)乙出發(fā)t分鐘后,甲、乙兩游客距離為d m,此時(shí),甲行走了(100+50t)m,乙距離A處130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),因0t,即0t8,故當(dāng)t=(min)時(shí),甲、乙兩游客距離最短.(3)由=,得BC=×sin A=×=500(m).乙從B出發(fā)時(shí),甲已走了50×(2+8+1)=550(m),還需走710 m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為v m/min,由題意得-3-3,解得v,所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在(單位:m/min)范圍內(nèi).33.(2013江西,16,12分)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范圍.解析(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0,即有sin Asin B-sin Acos B=0,因?yàn)閟in A0,所以sin B-cos B=0,又cos B0,所以tan B=,又0<B<,所以B=.(2)因?yàn)閍+c=1,cos B=,有b2=3+.又0<a<1,于是有b2<1,即有b<1.34.(2013湖北,17,12分)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面積S=5,b=5,求sin Bsin C的值.解析(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去).因?yàn)?<A<,所以A=.(2)由S=bcsin A=bc·=bc=5,得bc=20.又b=5,知c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故a=.又由正弦定理得sin Bsin C=sin A·sin A=sin2A=×=.35.(2013課標(biāo)全國(guó),17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面積的最大值.解析(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin C·sin B.又A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由,和C(0,)得sin B=cos B.又B(0,),所以B=.(2)ABC的面積S=acsin B=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.又a2+c22ac,故ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號(hào)成立.因此ABC面積的最大值為+1.三年模擬A組20162018年模擬·基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一正弦、余弦定理 1.(2017浙江臺(tái)州4月調(diào)研(一模),6)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=1,2b-c=2acos C,sin C=,則ABC的面積為()A. B.C.或 D.或答案C2.(2017浙江模擬訓(xùn)練沖刺卷五,4)在ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,若a,b,c成等差數(shù)列,B=30°,ABC 的面積為,則b=()A.B.1+C.D.2+答案B3.(2018浙江高考模擬卷,16)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,BC邊上的高為,則的最大值為. 答案+14.(2017浙江稽陽(yáng)聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考4月,13)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知csin A=acos C,則C=;若c=,ABC的面積為,則a+b=. 答案;75.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,18)已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且ctan C=(acos B+bcos A).(1)求角C;(2)若c=2,求ABC面積的最大值.解析(1)ctan C=(acos B+bcos A),sin Ctan C=(sin Acos B+sin Bcos A),(2分)sin Ctan C=sin(A+B)=sin C.(4分)0<C<,sin C0,(5分)tan C=,C=60°.(7分)(2)c=2,C=60°,c2=a2+b2-2abcos C,12=a2+b2-ab2ab-ab,(10分)ab12,SABC=absin C3,(12分)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí),ABC的面積取到最大值3.(14分)考點(diǎn)二解三角形及其綜合應(yīng)用6.(2018浙江蕭山九中12月月考,16)設(shè)a,b,c分別為ABC三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,面積S=c2,若ab=,則a2+b2+c2的最大值為. 答案47.(2018浙江重點(diǎn)中學(xué)12月聯(lián)考,18)ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知2bcos C=2a-c.(1)求B的大小;(2)若+=2,且|=1,求ABC面積的最大值.解析(1)2bcos C=2a-c,2sin Bcos C=2sin A-sin C,(1分)2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C,(2分)2sin Ccos B=sin C,(4分)cos B=,(5分)0<B<,B=.(6分)(2)在BCM中,由余弦定理可得=cos ,(8分)所以BM2+BC2=1+BM·BC2BM·BC,(10分)因此BM·BC2+.(11分)+=2,M為AB的中點(diǎn).SABC=BC·BAsin=BC·BM,(12分)SABC的最大值是1+.(14分)8.(2016浙江名校(杭州二中)交流卷三,16)在ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,asin Bcos C+csin Bcos A=b.(1)若b=2,且b2+c2-bc=a2,求ABC的面積;(2)若點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),求tanMAC的最大值.解析由asin Bcos C+csin Bcos A=b及正弦定理,可得sin B=1,則B=90°.(1)由b2+c2-bc=a2,可得cos A=,則A=60°.所以C=30°,又因?yàn)閎=2,故c=1,所以SABC=bcsin A=×2×1×=.(7分)(2)令tanMAB=t(t>0),則tanBAC=2t,所以tanMAC=,當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)取等號(hào),所以tanMAC的最大值為.(14分)B組20162018年模擬·提升題組一、選擇題 1.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,10)若ABC沿著三條中位線折起后能夠拼接成一個(gè)三棱錐,則稱這樣的ABC為“和諧三角形”,設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,則由下列條件不能夠確定ABC為“和諧三角形”的是()A.ABC=72025B.sin Asin Bsin C=72025C.cos Acos Bcos C=72025D.tan Atan Btan C=72025答案B2.(2016浙江寧波二模,7)已知ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,且a=4,b+c=5,tan A+tan B+=tan A·tan B,則ABC的面積為() A.B.3C.D.3答案C二、填空題3.(2018浙江重點(diǎn)中學(xué)12月聯(lián)考,14)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S為ABC的面積,若c=2acos B,S=a2-c2,則ABC的形狀為,C的大小為. 答案等腰三角形;45°4.(2018浙江杭州地區(qū)重點(diǎn)中學(xué)第一學(xué)期期中,15)等腰三角形ABC中,AB=AC,D為AC的中點(diǎn),BD=1,則ABC面積的最大值為. 答案5.(2017浙江紹興質(zhì)量調(diào)測(cè)(3月),14)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知A=,b=,ABC的面積為,則c=,B=. 答案1+;6.(2017浙江杭州二模(4月),16)設(shè)a,b,c分別為ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且SABC=c2.若ab=,則a2+b2+c2的最大值是. 答案4三、解答題7.(2018浙江杭州二中期中,18)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知tan C=.(1)求角C的大小;(2)若ABC的外接圓直徑為1,求a2+b2的取值范圍.解析(1)tan C=,即=,sin Ccos A+sin Ccos B=sin Acos C+sin Bcos C,即sin Ccos A-sin Acos C=sin Bcos C-sin Ccos B,即sin(C-A)=sin(B-C),C-A=B-C或C-A=-(B-C)(舍去),2C=A+B,C=.(2)由(1)知C=,故設(shè)A=+,B=-+,其中-<<,a=2Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B.故a2+b2=sin2A+sin2B=(1-cos 2A)+(1-cos 2B)=1+cos 2.-<<,-<2<,-<cos 21,<a2+b2.8.(2017浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四,18)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知(a-c)(sin A+sin C)+(b-a)sin B=0.(1)求ABC的內(nèi)角C的值;(2)若c=2,2sin 2A+sin(2B+C)=sin C,求ABC的面積.解析(1)由(a-c)(sin A+sin C)+(b-a)sin B=0,可得(a-c)(a+c)+(b-a)b=0,整理得a2-c2+b2=ab.由余弦定理可得,cos C=.又C(0,),所以C=.(2)由2sin 2A+sin(2B+C)=sin C可得,4sin Acos A+sin(B+-A)=sin(B+A).整理得,4sin Acos A=sin(B+A)+sin(B-A)=2sin Bcos A.當(dāng)cos A=0,即A=時(shí),b=,所以ABC的面積為bc=.當(dāng)cos A0時(shí),sin B=2sin A.由正弦定理可得b=2a,又a2+b2-ab=4,解得a=,b=,所以SABC=absin C=.綜上所述,ABC的面積為.C組20162018年模擬·方法題組方法1利用正、余弦定理解三角形 1.(2017浙江衢州質(zhì)量檢測(cè)(1月),17)已知ABC的面積為1,A的平分線交對(duì)邊BC于D,AB=2AC,且AD=kAC,kR,則當(dāng)k=時(shí),邊BC的長(zhǎng)度最短. 答案方法2利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題2.如圖,一棟建筑物AB的高為(30-10)m,在該建筑物的正東方向有一個(gè)通信塔CD.在它們之間的地面點(diǎn)M(B,M,D三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂A,塔頂C的仰角分別是15°和60°,在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°,則通信塔CD的高為m. 答案603.某觀察站C在A城的南偏西20°方向上,由A城出發(fā)有一條公路,走向是南偏東40°,距C處31千米的公路上的B處有一人正沿公路向A城走去,走了20千米后到達(dá)D處,此時(shí)C、D的距離為21千米,問(wèn)此人還需走多少千米才能到達(dá)A城?解析設(shè)AD=x千米,AC=y千米,BAC=20°+40°=60°,在ACD中,由余弦定理得x2+y2-2xycos 60°=212,即x2+y2-xy=441.而在ABC中,由余弦定理得(x+20)2+y2-2(x+20)ycos 60°=312,即x2+y2-xy+40x-20y=561.-得y=2x-6,代入得x2-6x-135=0,解得x=15或x=-9(舍去),故此人還需走15千米才能到達(dá)A城.29