2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 立體幾何 課后綜合提升練 1.3.2 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 文

2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 立體幾何 課后綜合提升練 1.3.2 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 文(40分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.給出下列命題:在空間中,垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行;設(shè)l,m是不同的直線,是一個(gè)平面,若l,lm,則m;過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直;a,b是兩條異面直線,P為空間中一點(diǎn),過點(diǎn)P總可以作一個(gè)平面與a,b之一垂直,與另一個(gè)平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3【解析】選C.對于,借助正方體模型可知錯(cuò)誤;對于,若l,lm,則m,顯然正確;對于,顯然過一點(diǎn)必存在一條直線與已知平面垂直,如果過一點(diǎn)能夠作兩條直線與已知平面垂直,則根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理可知,這兩條直線平行,但根據(jù)已知這兩條直線相交,所以正確;對于,當(dāng)異面直線a,b垂直時(shí)才可以作出滿足要求的平面,所以錯(cuò)誤.2.如圖,透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水,固定容器底面一邊BC于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面四個(gè)命題:沒有水的部分始終呈棱柱形;水面EFGH所在四邊形的面積為定值;棱A1D1始終與水面所在平面平行;當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí),BE·BF是定值.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.4【解析】選C.由題圖,顯然是正確的,是錯(cuò)誤的;對于,因?yàn)锳1D1BC,BCFG,所以A1D1FG且A1D1平面EFGH,所以A1D1平面EFGH(水面).所以是正確的;對于,因?yàn)樗嵌康?定體積V),所以SBEF·BC=V,即BE·BF·BC=V.所以BE·BF=(定值),即是正確的,故選C.3.將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖2),則在空間四面體ABCD中,AD與BC的位置關(guān)系是()A.相交且垂直B.相交但不垂直C.異面且垂直D.異面但不垂直【解析】選C.在題圖1中的等腰直角三角形ABC中,斜邊上的中線AD就是斜邊上的高,則ADBC,翻折后如題圖2,AD與BC變成異面直線,而原線段BC變成兩條線段BD,CD,這兩條線段與AD垂直,即ADBD,ADCD,且BDCD=D,故AD平面BCD,所以ADBC.4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1D1,A1C1的中點(diǎn),則異面直線AE和CF所成的角的余弦值為()A. B.C. D.【解析】選C.如圖,設(shè)正方體的棱長為a,取線段AB的中點(diǎn)M,連接CM,MF,EF.則MFAE,所以CFM即為所求角或所求角的補(bǔ)角.在CFM中,MF=CM=a,CF=a,根據(jù)余弦定理可得cos CFM=,所以可得異面直線AE與CF所成的角的余弦值為.5.如圖,已知一個(gè)八面體的各條棱長均為1,四邊形ABCD為正方形,則下列命題中的假命題是()A.不平行的兩條棱所在的直線所成的角是60°或90°B.四邊形AECF是正方形C.點(diǎn)A到平面BCE的距離為D.該八面體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上【解析】選C.因?yàn)榘嗣骟w的各條棱長均為1,四邊形ABCD為正方形,相鄰兩條棱所在的直線所成的角是60°,而AE與CE所成的角為90°,A正確;四邊形AECF各邊長均為1,AC=EF=,所以四邊形AECF是正方形,B正確;DB=,該八面體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,D正確;設(shè)A到平面BCE的距離為h,由VE-ABCD=2VA-BCE,得×1×1×=2××h,解得h=,C錯(cuò)誤.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知a,b,c為三條不同的直線,且a平面,b平面,=c.給出下列命題:若a與b是異面直線,則c至少與a,b中的一條相交;若a不垂直于c,則a與b一定不垂直;若ab,則必有ac;若ab,ac,則必有.正確的是_.(填序號) 【解析】中若c與a,b都不相交,則ca,cb,故ab,這與a與b是異面直線矛盾,正確;中若,bc,則b,ba,這與a與c是否垂直無關(guān),錯(cuò);中若ab,則a,又=c,所以ac,正確;中當(dāng)bc時(shí),與可能不垂直,錯(cuò).答案:7.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是ABC為直角的等腰直角三角形, AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AA1上,當(dāng)AF=_時(shí),CF平面B1DF. 【解析】因?yàn)锽1D平面A1ACC1,所以CFB1D,所以為了使CF平面B1DF,只要使CFDF(或CFB1F),設(shè)AF=x,則有CD2=DF2+FC2,所以x2-3ax+2a2=0,所以x=a或x=2a.答案:a或2a8.如圖所示,在直角梯形ABCD中,BCDC,AEDC,M,N分別是AD,BE的中點(diǎn),將三角形ADE沿AE折起,下列說法正確的是_(填上所有正確的序號). 不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))都有MN平面DEC;不論D折至何位置都有MNAE;不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))都有MNAB.【解析】取AE的中點(diǎn)F,連接MF,NF,則MFDE,NFABCE,從而平面MFN平面DEC,故MN平面DEC,正確;又AEMF,AENF,所以AE平面MFN,從而AEMN,正確;又MN與AB是異面直線,則錯(cuò)誤.答案:三、解答題(每小題10分,共30分)9.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,BAD=60°,E是AD的中點(diǎn),點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上.(1)求證:AD平面PBE.(2)若Q是PC的中點(diǎn),求證:PA平面BDQ.【解析】(1)由E是AD的中點(diǎn),PA=PD可得ADPE.又底面ABCD是菱形,BAD=60°,所以AB=BD,又E是AD的中點(diǎn),所以ADBE,又PEBE=E,所以AD平面PBE.(2)連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接OQ.因?yàn)镺是AC的中點(diǎn),Q是PC的中點(diǎn),所以O(shè)QPA,又PA平面BDQ,OQ平面BDQ,所以PA平面BDQ.10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為的正方形,PABD.(1)求證:PB=PD.(2)若E,F分別為PC,AB的中點(diǎn),EF平面PCD,求三棱錐D-ACE的體積.【解析】(1)因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,所以ACBD且O為BD的中點(diǎn).又PABD,PAAC=A,所以BD平面PAC,由于PO平面PAC,故BDPO.又BO=DO,所以PB=PD.(2)如圖,設(shè)PD的中點(diǎn)為Q,連接AQ,EQ,EO,因?yàn)镋Q=CD=AF,所以AFEQ為平行四邊形,所以EFAQ,因?yàn)镋F平面PCD,所以AQ平面PCD,所以AQPD,又PD的中點(diǎn)為Q,所以AP=AD=.由AQ平面PCD,可得AQCD,又ADCD,AQAD=A,所以CD平面PAD,所以CDPA,又BDPA,BDCD=D,所以PA平面ABCD.故VD-ACE=VE-ACD=×PA×SACD=×××××=,故三棱錐D-ACE的體積為.11.如圖,四邊形ABCD為正方形,EA平面ABCD,EFAB,AB=4,AE=2,EF=1.(1)求證:BCAF.(2)若點(diǎn)M在線段AC上,且滿足CM=CA,求證:EM平面FBC.【解析】(1)因?yàn)镋FAB,所以EF與AB確定平面EABF,因?yàn)镋A平面ABCD,所以EABC.由已知得ABBC且EAAB=A,所以BC平面EABF.又AF平面EABF,所以BCAF.(2)如圖,過點(diǎn)M作MNBC,垂足為點(diǎn)N,連接FN,則MNAB.因?yàn)镃M=AC,所以MN=AB.又EFAB且EF=AB,所以EFMN,所以四邊形EFNM為平行四邊形,所以EMFN.又FN平面FBC,EM平面FBC,所以EM平面FBC.(20分鐘20分)1.(10分)已知長方形ABCD中,AB=3,AD=4.現(xiàn)將長方形沿對角線BD折起,使AC=a,得到一個(gè)四面體A-BCD,如圖所示.(1)試問:在折疊的過程中,直線AB與CD能否垂直?若能,求出相應(yīng)a的值;若不能,請說明理由.(2)求四面體A-BCD體積的最大值.【解析】(1)直線AB與CD能夠垂直.因?yàn)锳BAD,若ABCD,ADCD=D,則有AB平面ACD,從而ABAC.此時(shí),a=,即當(dāng)a=時(shí),有ABCD.(2)由于BCD面積為定值,所以當(dāng)點(diǎn)A到平面BCD的距離最大,即當(dāng)平面ABD平面BCD時(shí),該四面體的體積最大,此時(shí),過點(diǎn)A在平面ABD內(nèi)作AHBD,垂足為H,則有AH平面BCD,AH就是該四面體的高.在ABD中,AH=,SBCD=×3×4=6,此時(shí)VA-BCD=SBCD·AH=,即為該四面體體積的最大值.2.(10分)如圖1,在高為2的梯形ABCD中,ABCD,AB=2,CD=5,過A,B分別作AECD,BFCD,垂足分別為E,F.已知DE=1,將梯形ABCD沿AE,BF同側(cè)折起,得空間幾何體ADE-BCF,如圖2.(1)若AFBD,證明:BDE為直角三角形.(2)在(1)的條件下,若DECF,求三棱錐B-ACD的體積.【解析】(1)由已知得四邊形ABEF是正方形,且邊長為2,如圖,取BE與AF的交點(diǎn)為O,則AFBE,由已知得AFBD,BEBD=B,所以AF平面BDE,又DE平面BDE,所以AFDE,又AEDE,AEAF=A,所以DE平面ABFE,又BE平面ABFE,所以DEBE,所以BDE為直角三角形.(2)如圖,取AC中點(diǎn)G,連接OG,DG,則OGCF,由已知得DECF,所以O(shè)GDE,則四邊形DEOG為平行四邊形,所以O(shè)EGD,即BEGD,又BE平面ACD,GD平面ACD,所以BE平面ACD,故三棱錐B-ACD的體積VB-ACD=VE-ACD,因?yàn)锳EDE,AEEF,DEEF=E,所以AE平面CDEF,即AE平面CDE,所以AE為三棱錐A-CDE的高,所以VE-ACD=VA-CDE=×SCDE×AE=×SDEF×AE,由SDEF=×DE×EF=×1×2=1,得VA-CDE=×1×2=,所以三棱錐B-ACD的體積為.