（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 4 第4講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教學(xué)案

第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l：AxByC0(A2B20)，圓：(xa)2(yb)2r2(r>0)，d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d<r>0相切dr0相離d>r<02.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0)方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離d>r1r2無解外切dr1r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1r2|<d<r1r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0d<|r1r2|(r1r2)無解疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切()(2)若兩個(gè)圓的方程組成的方程組無解，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為外切()(3)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件()(4)聯(lián)立兩相交圓的方程，并消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程()答案：(1)(2)×(3)×(4)教材衍化1(必修2P128練習(xí)T4改編)若直線xy10與圓(xa)2y22有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意可得，圓的圓心為(a，0)，半徑為，所以，即|a1|2，解得3a1.答案：3，12(必修2P133A組T9)圓x2y240與圓x2y24x4y120的公共弦長為_解析：由得兩圓公共弦所在直線為xy20.又圓x2y24的圓心到直線xy20的距離為.由勾股定理得弦長的一半為，所以所求弦長為2.答案：2易錯(cuò)糾偏(1)忽視分兩圓內(nèi)切與外切兩種情形；(2)忽視切線斜率k不存在的情形；(3)求弦所在直線的方程時(shí)遺漏一解1若圓x2y21與圓(x4)2(ya)225相切，則常數(shù)a_解析：兩圓的圓心距d，由兩圓相切(外切或內(nèi)切)，得 51或51，解得a±2或a0.答案：±2或02已知圓C：x2y29，過點(diǎn)P(3，1)作圓C的切線，則切線方程為_解析：由題意知P在圓外，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為x3，滿足題意；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，所以切線方程為y1k(x3)，所以kxy13k0，所以3，所以k，所以切線方程為4x3y150.綜上，切線方程為x3或4x3y150.答案：x3或4x3y1503若直線過點(diǎn)P且被圓x2y225截得的弦長是8，則該直線的方程為_解析：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，該直線的方程為x3，代入圓的方程得y±4，故該直線被圓截得的弦長為8，滿足題意當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為yk(x3)，即kxy3k0，則圓心到直線的距離d，則28，解得k，所以直線方程為3x4y150.綜上所述，所求直線方程為x3或3x4y150.答案：x3或3x4y150直線與圓的位置關(guān)系 (1)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2y21外， 則直線axby1與圓O的位置關(guān)系是()A相切 B相交C相離 D不確定(2)圓x2y21與直線ykx2沒有公共點(diǎn)的充要條件是_【解析】(1)因?yàn)镸(a，b)在圓O：x2y21外，所以a2b21，從而圓心O到直線axby1的距離d1，所以直線與圓相交(2)法一：將直線方程代入圓方程，得(k21)x24kx30，直線與圓沒有公共點(diǎn)的充要條件是16k212(k21)<0，解得k(，)法二：圓心(0，0)到直線ykx2的距離d，直線與圓沒有公共點(diǎn)的充要條件是d>1，即>1，解得k(，)【答案】(1)B(2)k(，) (變條件)若將本例(1)的條件改為“點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2y21上”，則直線axby1與圓O的位置關(guān)系如何？解：由點(diǎn)M在圓上，得a2b21，所以圓心O到直線axby1的距離d1，則直線與圓O相切提醒上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題 (2020·衢州模擬)圓(x3)2(y3)29上到直線3x4y110的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選C.因?yàn)閳A心到直線的距離為2，又因?yàn)閳A的半徑為3，所以直線與圓相交，由數(shù)形結(jié)合知，圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有3個(gè)圓的切線與弦長問題(高頻考點(diǎn))圓的切線與弦長問題，是近年來高考的一個(gè)熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，多為中、低檔題目主要命題角度有：(1)求圓的切線方程；(2)求弦長及切線長；(3)由弦長及切線問題求參數(shù)角度一求圓的切線方程 過點(diǎn)(3，1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為()A2xy50 B2xy70Cx2y50 Dx2y70【解析】因?yàn)檫^點(diǎn)(3，1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，所以點(diǎn)(3，1)在圓(x1)2y2r2上，因?yàn)閳A心與切點(diǎn)連線的斜率k，所以切線的斜率為2，則圓的切線方程為y12(x3)，即2xy70.故選B.【答案】B角度二求弦長及切線長 (1)若a，b，c是ABC三個(gè)內(nèi)角的對邊，且csin C3asin A3bsin B，則直線l：axbyc0被圓O：x2y212所截得的弦長為()A4 B2C6 D5(2)已知直線l：xay10(aR)是圓C：x2y24x2y10的對稱軸過點(diǎn)A(4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|_【解析】(1)因?yàn)椋视蒫sin C3asin A3bsin B可得c23(a2b2)圓O：x2y212的圓心為O(0，0)，半徑為r2，圓心O到直線l的距離d，所以直線l被圓O所截得的弦長為226，故選C.(2)由于直線xay10是圓C：x2y24x2y10的對稱軸，所以圓心C(2，1)在直線xay10上，所以2a10，所以a1，所以A(4，1)所以|AC|236440.又r2，所以|AB|240436.所以|AB|6.【答案】(1)C(2)6角度三由弦長及切線問題求參數(shù) (1)已知點(diǎn)P(x，y)是直線kxy40(k0)上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2y22y0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為()A3 B.C2 D2(2)(2019·高考浙江卷)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長是r.若直線2xy30與圓C相切于點(diǎn)A(2，1)，則m_，r_【解析】(1)如圖，把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式得x2(y1)21，所以圓心為(0，1)，半徑為r1，四邊形PACB的面積S2SPBC，所以若四邊形PACB的最小面積是2，則SPBC的最小值為1.而SPBCr·|PB|，即|PB|的最小值為2，此時(shí)|PC|最小，|PC|為圓心到直線kxy40的距離d，此時(shí)d，即k24，因?yàn)閗>0，所以k2.(2)法一：設(shè)過點(diǎn)A(2，1)且與直線2xy30垂直的直線方程為l：x2yt0，所以22t0，所以t4，所以l：x2y40.令x0，得m2，則r.法二：因?yàn)橹本€2xy30與以點(diǎn)(0，m)為圓心的圓相切，且切點(diǎn)為A(2，1)，所以×21，所以m2，r.【答案】(1)D(2)2(1)求直線被圓截得的弦長的常用方法幾何法：用圓的幾何性質(zhì)求解，運(yùn)用弦心距、半徑及弦的一半構(gòu)成的直角三角形，計(jì)算弦長|AB|2.代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程得方程組，消去一個(gè)未知數(shù)得一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長公式求解，其公式為|AB|x1x2|.(2)圓的切線方程的求法幾何法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令dr，進(jìn)而求出k.代數(shù)法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式0進(jìn)而求得k. 1直線ykx3與圓(x2)2(y3)24相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|2，則k的取值范圍是()A. B.C， D.解析：選B.如圖，設(shè)圓心C(2，3)到直線ykx3的距離為d，若|MN|2，則d2r2431，即1，解得k.2(2020·溫州中學(xué)高三期末)若經(jīng)過點(diǎn)P(3，0)的直線l與圓M：x2y24x2y30相切，則圓M的圓心坐標(biāo)是_；半徑為_；切線在y軸上的截距是_解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)22，則圓心坐標(biāo)為(2，1)，半徑R，設(shè)切線斜率為k，過P的切線方程為yk(x3)，即kxy3k0，則圓心到直線的距離d，平方得k22k1(k1)20，解得k1，此時(shí)切線方程為yx3，即在y軸上的截距為3.答案：(2，1)33(2020·杭州市學(xué)軍中學(xué)高三模擬)已知直線l：mxy1，若直線l與直線n：xm(m1)y2垂直，則m的值為_，動(dòng)直線l：mxy1被圓C：x22xy280截得的最短弦長為_解析：由題意得mm(m1)0m0或m2；動(dòng)直線l：mxy1過定點(diǎn)(0，1)，而動(dòng)直線l：mxy1被圓C：(x1)2y29截得的弦長最短時(shí)，弦中點(diǎn)恰為(0，1)，此時(shí)弦長為22.答案：0或22圓與圓的位置關(guān)系 (1)已知圓M：x2y22ay0(a>0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A內(nèi)切 B相交C外切 D相離(2)已知圓C1：(xa)2(y2)24與圓C2：(xb)2(y2)21相外切，則ab的最大值為()A. B.C. D2【解析】(1)由得兩交點(diǎn)為(0，0)，(a，a)因?yàn)閳AM截直線所得線段長度為2，所以2.又a>0，所以a2.所以圓M的方程為x2y24y0，即x2(y2)24，圓心M(0，2)，半徑r12.又圓N：(x1)2(y1)21，圓心N(1，1)，半徑r21，所以|MN|.因?yàn)閞1r21，r1r23，1<|MN|<3，所以兩圓相交(2)由圓C1與圓C2相外切，可得213，即(ab)2a22abb29，根據(jù)基本不等式可知9a22abb22ab2ab4ab，即ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立故選C.【答案】(1)B(2)C (變條件)若本例(2)條件中“外切”變?yōu)椤皟?nèi)切”，求ab的最大值解：由C1與C2內(nèi)切，得 1.即(ab)21, 又ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，故ab的最大值為.(1)幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系的步驟確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑；利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d，并求r1r2，|r1r2|；比較d，r1r2，|r1r2|的大小，然后寫出結(jié)論(2)兩圓公共弦長的求法兩圓公共弦長，先求出公共弦所在直線的方程，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長，半徑r所在線段構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解 1圓C1：(xm)2(y2)29與圓C2：(x1)2(ym)24外切，則m的值為()A2 B5C2或5 D不確定解析：選C.由C1(m，2)，r13；C2(1，m)，r22；則兩圓心之間的距離為|C1C2|235，解得m2或5.故選C.2(2020·嘉興模擬)若O：x2y25與O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是_解析：O1與O在A處的切線互相垂直，如圖，可知兩切線分別過另一圓的圓心，所以O(shè)1AOA.又因?yàn)閨OA|，|O1A|2，所以|OO1|5.又A，B關(guān)于OO1所在直線對稱，所以AB長為RtOAO1斜邊上的高的2倍所以|AB|2 ×4.答案：4核心素養(yǎng)系列19直觀想象解決直線與圓的綜合問題直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B(5，0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若·0，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為_【解析】法一：如圖由題意易得BAD45°.設(shè)直線DB的傾斜角為，則tan ，所以tanABOtan(45°)3，所以kABtanABO3.所以AB的方程為y3(x5)，由得xA3.法二：設(shè)A(a，2a)，a>0，則C，所以圓C的方程為(ya)2a2，由得所以·(5a，2a)·2a24a0，所以a3或a1，又a>0，所以a3，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.法三：因?yàn)?#183;0，所以ABCD，又點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，所以BAD45°.設(shè)直線l的傾斜角為，直線AB的斜率為k，則tan 2，ktan3.又B(5，0)，所以直線AB的方程為y3(x5)，又A為直線l：y2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立直線AB與直線l的方程，得解得，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.【答案】3本題法一，把·0的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為CDAB，進(jìn)而推出BAD45°，結(jié)合圖形得出直線AB的斜率，體現(xiàn)核心素養(yǎng)中的直觀想象 基礎(chǔ)題組練1已知集合A(x，y)|x，y為實(shí)數(shù)，且x2y21，B(x，y)|x，y為實(shí)數(shù)，且xy1，則AB的元素個(gè)數(shù)為()A4B3C2 D1解析：選C.(直接法)集合A表示圓，集合B表示一條直線，又圓心(0，0)到直線xy1的距離d<1r，所以直線與圓相交2直線l：xym0與圓C：x2y24x2y10恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()A，B2，2C1，1D21，21解析：選D.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24，圓心為(2，1)，半徑為2，圓心到直線的距離d，若直線l與圓C恒有公共點(diǎn)，則2，解得21m21，故選D.3若圓x2y2a2與圓x2y2ay60的公共弦長為2，則a的值為()A±2 B2C2 D無解解析：選A.圓x2y2a2的圓心為原點(diǎn)O，半徑r|a|.將x2y2a2與x2y2ay60左右分別相減，可得a2ay60，即得兩圓的公共弦所在直線的方程為a2ay60.原點(diǎn)O到直線a2ay60的距離d，根據(jù)勾股定理可得a2()2，所以a24，所以a±2.故選A.4(2020·臺(tái)州中學(xué)高三月考)若直線ykx42k與曲線y有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是()A1，) B.C. D(，1解析：選B.曲線y 即x2y24(y0)，表示一個(gè)以(0，0)為圓心，以2為半徑的位于x軸上方的半圓，如圖所示直線ykx42k即yk(x2)4，表示恒過點(diǎn)(2，4)，斜率為k的直線，結(jié)合圖形可得kAB1，因?yàn)?，解得k，即kAT，所以要使直線與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，k的取值范圍是.5圓C：x2y2DxEy30(D<0，E為整數(shù))的圓心C到直線4x3y30的距離為1，且圓C被截x軸所得的弦長|MN|4，則E的值為()A4 B4C8 D8解析：選C.圓心C.由題意得1，即|4D3E6|10，在圓C：x2y2DxEy30中，令y0得x2Dx30.設(shè)M(x1，0)，N(x2，0)，則x1x2D，x1x23.由|MN|4得|x1x2|4，即(x1x2)24x1x216，(D)24×(3)16.因?yàn)镈<0，所以D2.將D2代入得|3E14|10，所以E8或E(舍去)6已知圓C：(x)2(y1)21和兩點(diǎn)A(t，0)，B(t，0)，(t>0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得APB90°，則當(dāng)t取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A. B.C. D.解析：選D.設(shè)P(a，b)為圓上一點(diǎn)，由題意知，·0，即(at)(at)b20，a2t2b20，所以t2a2b2|OP|2，|OP|max213，即t的最大值為3，此時(shí)kOP，OP所在直線的傾斜角為30°，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為3×，即P.7(2020·浙江高中學(xué)科基礎(chǔ)測試)由直線3x4y50上的一動(dòng)點(diǎn)P向圓x2y24x2y40引切線，則切線長的最小值為_解析：當(dāng)直線上的點(diǎn)到圓心(2，1)的距離最短時(shí)，切線長最小此時(shí)，圓心到直線的距離d3，r1，所以切線長為2.答案：28(2020·杭州七校聯(lián)考)已知圓C：(x3)2(y5)25，直線l過圓心且交圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，若2 ，則直線l的斜率k_解析：依題意得，點(diǎn)A是線段PB的中點(diǎn)，|PC|PA|AC|3，過圓心C(3，5)作y軸的垂線，垂足為C1，則|CC1|3，|PC1|6.記直線l的傾斜角為，則有|tan |2，即k±2.答案：±29已知圓C：(x1)2(y2)22，若等邊PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則|PC|的最大值為_解析：已知圓C：(x1)2(y2)22，所以圓心為C(1，2)，半徑r，若等邊PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則PCAB.在PAC中，APC30°，由正弦定理得，所以|PC|2sinPAC2，故|PC|的最大值為2.答案：210(2020·紹興柯橋區(qū)高三下學(xué)期考試)已知圓O1和圓O2都經(jīng)過點(diǎn)(0，1)，若兩圓與直線4x3y50及y10均相切，則|O1O2|_解析：如圖，因?yàn)樵c(diǎn)O到直線4x3y50的距離d1，到直線y1的距離為1，且到(0，1)的距離為1，所以圓O1和圓O2的一個(gè)圓心為原點(diǎn)O，不妨看作是圓O1，設(shè)O2(a，b)，則由題意：，解得.所以|O1O2|.答案：11(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)已知圓C：(x1)2y29內(nèi)有一點(diǎn)P(2，2)，過點(diǎn)P作直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)(1)當(dāng)l經(jīng)過圓心C時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，求弦AB的長解：(1)已知圓C：(x1)2y29的圓心為C(1，0)，因?yàn)橹本€過點(diǎn)P，C，所以kPC2，直線l的方程為y2(x1)，即2xy20.(2)當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，斜率為1，直線l的方程為y2x2，即xy0，圓心C到直線l的距離為，又因?yàn)閳A的半徑為3，所以弦AB的長為.12圓O1的方程為x2(y1)24，圓O2的圓心坐標(biāo)為(2，1)(1)若圓O1與圓O2外切，求圓O2的方程；(2)若圓O1與圓O2相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|2，求圓O2的方程解：(1)因?yàn)閳AO1的方程為x2(y1)24，所以圓心O1(0，1)，半徑r12.設(shè)圓O2的半徑為r2，由兩圓外切知|O1O2|r1r2.又|O1O2|2，所以r2|O1O2|r122.所以圓O2的方程為(x2)2(y1)2128.(2)設(shè)圓O2的方程為(x2)2(y1)2r，又圓O1的方程為x2(y1)24，相減得AB所在的直線方程為4x4yr80.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為H，因?yàn)閞12，所以|O1H|.又|O1H|，所以，解得r4或r20.所以圓O2的方程為(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.綜合題組練1兩圓x2y22axa240和x2y24by14b20恰有三條公切線，若aR且ab0，則的最小值為()A1 B3C. D.解析：選A.由題意知兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2y24和x2(y2b)21，圓心分別為(a，0)和(0，2b)，半徑分別為2和1，因?yàn)閮蓤A恰有三條公切線，所以兩圓外切，故有3，即a24b29，所以×(144)1.當(dāng)且僅當(dāng)，即|a|b|時(shí)取等號(hào)，故選A.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，直線l：y2x4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上若圓C上存在點(diǎn)M，使MA2MO，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是()A. B0，1C. D.解析：選A.因?yàn)閳A心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A2MO，所以2，化簡得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點(diǎn)M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|21|CD21，即13.由1得5a212a80，解得aR；由3得5a212a0，解得0a.所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.故選A.3(2020·浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)高三模擬)已知點(diǎn)P(a，b)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為P(b1，a1)，則圓C：x2y26x2y0關(guān)于直線l對稱的圓C的方程為_；圓C與圓C的公共弦的長度為_解析：由題設(shè)將圓C：x2y26x2y0中的x，y換為y1，x1可得圓C的方程為(y1)2(x1)26(y1)2(x1)0，即x2y24x4y20，也即(x2)2(y2)210；將兩圓的方程兩邊相減可得公共弦的直線方程為xy10，圓心C(2，2)到該直線的距離d，半徑r，故弦長L2.答案：(x2)2(y2)2104已知拋物線C：y22x，過點(diǎn)(2，0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4，2)，求直線l與圓M的方程解：(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2.由可得y22my40，則y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率與OB的斜率之積為·1，所以O(shè)AOB.故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24.故圓心M的坐標(biāo)為(m22，m)，圓M的半徑r.由于圓M過點(diǎn)P(4，2)，因此·0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可得y1y24，x1x24.所以2m2m10，解得m1或m.當(dāng)m1時(shí)，直線l的方程為xy20，圓心M的坐標(biāo)為(3，1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x3)2(y1)210.當(dāng)m時(shí)，直線l的方程為2xy40，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為，圓M的方程為.5(2020·富陽市場口中學(xué)高三質(zhì)檢)已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是正整數(shù)，且與直線4x3y290相切(1)求圓的方程；(2)設(shè)直線axy50(a0)與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)在(2)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)a，使得弦AB的垂直平分線l過點(diǎn)P(2，4)，若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由解：(1)設(shè)圓心為M(m，0)(mN*)由于圓與直線4x3y290相切，且半徑為5，所以5，即|4m29|25.因?yàn)閙為正整數(shù)，故m1.故所求圓的方程為(x1)2y225.(2)把直線axy50，即yax5代入圓的方程，消去y，整理得(a21)x22(5a1)x10，由于直線axy50交圓于A，B兩點(diǎn)，故4(5a1)24(a21)0，即12a25a0，由于a0，解得a，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(3)設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，則直線l的斜率為，l的方程為y(x2)4，即xay24a0.由于l垂直平分弦AB，故圓心M(1，0)必在l上，所以1024a0，解得a.由于，故存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P(2，4)的直線l垂直平分弦AB.17