（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 不等式選講學(xué)案 文

不等式選講第1課絕對(duì)值不等式 過雙基1絕對(duì)值三角不等式定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立2絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a0a<0|x|<a|x|>aR(2)|axb|c，|axb|c(c>0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解；利用零點(diǎn)分段法求解；構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解1不等式|x1|x2|1的解集是_解析：f(x)|x1|x2|當(dāng)1<x<2時(shí)，由2x11，解得1x<2.又當(dāng)x2時(shí)，f(x)3>1，所以不等式的解集為.答案：x|x12若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,43若不等式|kx4|2的解集為，則實(shí)數(shù)k_.解析：由|kx4|22kx6.不等式的解集為，k2.答案：24設(shè)不等式|x1|x2|>k的解集為R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_解析：|x1|x2|3，3|x1|x2|3，k(|x1|x2|)的最小值，即k3.答案：(，3)清易錯(cuò)1對(duì)形如|f(x)|>a或|f(x)|<a型的不等式求其解集時(shí)，易忽視a的符號(hào)直接等價(jià)轉(zhuǎn)化造成失誤2絕對(duì)值不等式|a|b|a±b|a|b|中易忽視等號(hào)成立的條件如|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)等號(hào)成立，其他類似推導(dǎo)1設(shè)a，b為滿足ab<0的實(shí)數(shù)，那么()A|ab|>|ab|B|ab|<|ab|C|ab|a|b| D|ab|<|a|b|解析：選Bab<0，|ab|a|b|>|ab|.2若|x1|1，|y2|1，則|x2y1|的最大值為_解析：|x2y1|(x1)2(y2)2|x1|2|y2|25.答案：5絕對(duì)值不等式的解法典例設(shè)函數(shù)f(x)|x1|x1|a(aR)(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)>0的解集；(2)若方程f(x)x只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)依題意，原不等式等價(jià)于：|x1|x1|1>0，當(dāng)x<1時(shí)，(x1)(x1)1>0，即1>0，此時(shí)解集為；當(dāng)1x1時(shí)，x1(x1)1>0，即x>，此時(shí)<x1；當(dāng)x>1時(shí)，x1(x1)1>0，即3>0，此時(shí)x>1.綜上所述，不等式f(x)>0的解集為.(2)依題意，方程f(x)x等價(jià)于a|x1|x1|x，令g(x)|x1|x1|x.g(x).畫出函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，要使原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，只需a>1或a<1.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1)(1，)方法技巧(1)求解絕對(duì)值不等式的兩個(gè)注意點(diǎn)：要求的不等式的解集是各類情形的并集，利用零點(diǎn)分段法的操作程序是：找零點(diǎn)、分區(qū)間、分段討論對(duì)于解較復(fù)雜絕對(duì)值不等式，要恰當(dāng)運(yùn)用條件，簡化分類討論，優(yōu)化解題過程(2)求解該類問題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，可以運(yùn)用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值，此外還常利用絕對(duì)值的幾何意義求解即時(shí)演練1解不等式|2x1|2x1|6.解：法一：當(dāng)x>時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為4x6<x；當(dāng)x時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為26x；當(dāng)x<時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為4x6x<.綜上知，原不等式的解集為.法二：原不等式可化為3，其幾何意義為數(shù)軸上到，兩點(diǎn)的距離之和不超過3的點(diǎn)的集合，數(shù)形結(jié)合知，當(dāng)x或x時(shí)，到，兩點(diǎn)的距離之和恰好為3，故當(dāng)x時(shí)，滿足題意，則原不等式的解集為.2解不等式|x1|x5|<2.解：當(dāng)x<1時(shí)，不等式可化為(x1)(5x)<2，即4<2，顯然成立，所以此時(shí)不等式的解集為(，1)；當(dāng)1x5時(shí)，不等式可化為x1(5x)<2，即2x6<2，解得x<4，所以此時(shí)不等式的解集為1,4)；當(dāng)x>5時(shí)，不等式可化為(x1)(x5)<2，即4<2，顯然不成立所以此時(shí)不等式無解綜上，不等式的解集為(，4)絕對(duì)值不等式的證明典例已知x，yR，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1.證明|x5y|3(xy)2(xy)|.由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|3×2×1.即|x5y|1.方法技巧絕對(duì)值不等式證明的3種主要方法(1)利用絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明(2)利用三角不等式|a|b|a±b|a|b|進(jìn)行證明(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明即時(shí)演練已知f(x)|x2|2x1|，M為不等式f(x)>0的解集(1)求M；(2)求證：當(dāng)x，yM時(shí)，|xyxy|<15.解：(1)f(x)當(dāng)x<2時(shí)，由x3>0，得x>3，舍去；當(dāng)2x時(shí)，由3x1>0，得x>，即<x；當(dāng)x>時(shí)，由x3>0，得x<3，即<x<3，綜上，M.(2)證明：x，yM，|x|<3，|y|<3，|xyxy|xy|xy|x|y|xy|x|y|x|·|y|<333×315.絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用典例(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范圍解(1)f(x)當(dāng)x1時(shí)，f(x)1無解；當(dāng)1x2時(shí)，由f(x)1，得2x11，解得1x2；當(dāng)x2時(shí)，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，且當(dāng)x時(shí)，|x1|x2|x2x.故m的取值范圍為.方法技巧(1)研究含有絕對(duì)值的函數(shù)問題時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的定義，分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決問題，這是常用的思想方法(2)f(x)a恒成立f(x)maxa.f(x)a恒成立f(x)mina.即時(shí)演練已知函數(shù)f(x)|xa|2x1|.(1)當(dāng)a2時(shí)，求f(x)30的解集；(2)當(dāng)x1,3時(shí)，f(x)3恒成立，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a2時(shí)，由f(x)30，可得|x2|2x1|3，或或解得4x<；解得x<2；解得x2.綜上所述，不等式的解集為x|4x2(2)當(dāng)x1,3時(shí)，f(x)3恒成立，即|xa|3|2x1|2x2.故2x2xa2x2，即3x2ax2，x2a3x2對(duì)x1,3恒成立a3,51(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，不等式f(x)g(x)等價(jià)于x2x|x1|x1|40.當(dāng)x1時(shí)，式化為x23x40，無解；當(dāng)1x1時(shí)，式化為x2x20，從而1x1；當(dāng)x1時(shí)，式化為x2x40，從而1x.所以f(x)g(x)的解集為.(2)當(dāng)x1,1時(shí)，g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等價(jià)于當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必為f(1)與f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范圍為1,12(2015·全國卷)已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)>1化為|x1|2|x1|1>0.當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x4>0，無解；當(dāng)1<x<1時(shí)，不等式化為3x2>0，解得<x<1；當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x2>0，解得1x<2.所以f(x)>1的解集為.(2)由題設(shè)可得f(x)所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面積為(a1)2.由題設(shè)得(a1)2>6，故a>2.所以a的取值范圍為(2，)3(2016·江蘇高考)設(shè)a0，|x1|，|y2|，求證：|2xy4|a.證明：因?yàn)閨x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|2×a.4(2013·全國卷)已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)設(shè)a1，且當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x)，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a2時(shí)，不等式f(x)g(x)可化為|2x1|2x2|x30.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則y其圖象如圖所示從圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x(0,2)時(shí)，y<0.所以原不等式的解集是x|0x2(2)當(dāng)x時(shí)，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化為1ax3.所以xa2對(duì)x都成立故a2，即a.從而a的取值范圍是.1(2018·唐山模擬)已知函數(shù)f(x)|2xa|x1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，解不等式f(x)<3；(2)若f(x)的最小值為1，求a的值解：(1)因?yàn)閒(x)|2x1|x1|且f(1)f(1)3，所以f(x)<3的解集為x|1<x<1(2)|2xa|x1|x1|0，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)0且x0時(shí)，取等號(hào)所以1，解得a4或0.2已知函數(shù)f(x)|2x1|，g(x)|x1|a.(1)當(dāng)a0時(shí)，解不等式f(x)g(x)；(2)若對(duì)任意xR，f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a0時(shí)，由f(x)g(x)，得|2x1|x1|，兩邊平方整理得x22x0，解得x0或x2.所以原不等式的解集為(，20，)(2)由f(x)g(x)，得a|2x1|x1|.令h(x)|2x1|x1|，則h(x)故h(x)minh.故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為.3已知函數(shù)f(x)|2xa|2x1|，aR.(1)當(dāng)a3時(shí)，求關(guān)于x的不等式f(x)6的解集；(2)當(dāng)xR時(shí)，f(x)a2a13，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a3時(shí)，不等式f(x)6可化為|2x3|2x1|6.當(dāng)x<時(shí)，不等式可化為(2x3)(2x1)4x46，解得x<；當(dāng)x時(shí)，不等式可化為(2x3)(2x1)26，解得x；當(dāng)x>時(shí)，不等式可化為(2x3)(2x1)4x46，解得<x.綜上所述，關(guān)于x的不等式f(x)6的解集為.(2)當(dāng)xR時(shí)，f(x)|2xa|2x1|2xa12x|1a|，所以當(dāng)xR時(shí)，f(x)a2a13等價(jià)于|1a|a2a13.當(dāng)a1時(shí)，等價(jià)于1aa2a13，解得a1；當(dāng)a>1時(shí)，等價(jià)于a1a2a13，解得1<a1，所以a的取值范圍為，14已知函數(shù)f(x)|xa|2x1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，解不等式f(x)3；(2)若f(x)2ax在a，)上有解，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)3化為|x1|2x1|3，則或或解得1x<或x1或.所以原不等式解集為x|1x1(2)因?yàn)閤a，)，所以f(x)|xa|2x1|xa|2x1|2ax，即|2x1|3a有解，所以a0，所以不等式化為2x13a有解，即2a13a，解得a1，所以a的取值范圍為1，)5設(shè)函數(shù)f(x)|2xa|2a.(1)若不等式f(x)6的解集為x|6x4，求實(shí)數(shù)a的值；(2)在(1)的條件下，若不等式f(x)(k21)x5的解集非空，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：(1)|2xa|2a6，|2xa|62a,2a62xa62a，a3x3.而f(x)6的解集為x|6x4，故有解得a2.(2)由(1)得f(x)|2x2|4，不等式|2x2|4(k21)x5，化簡得|2x2|1(k21)x，令g(x)|2x2|1畫出函數(shù)yg(x)的圖象如圖所示要使不等f(x)(k21)x5的解集非空，只需k21>2或k211，解得k>或k<或k0，實(shí)數(shù)k的取值范圍為(，)0(，)6設(shè)函數(shù)f(x)|ax1|.(1)若f(x)2的解集為6,2，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)a2時(shí)，若存在xR，使得不等式f(2x1)f(x1)73m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)顯然a0，當(dāng)a0時(shí)，解集為，則6，2，無解；當(dāng)a0時(shí)，解集為，則2，6，得a.綜上所述，a.(2)當(dāng)a2時(shí)，令h(x)f(2x1)f(x1)|4x1|2x3|由此可知，h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)x時(shí)，h(x)取到最小值，由題意知，73m，解得m，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.7(2018·九江模擬)已知函數(shù)f(x)|x3|xa|.(1)當(dāng)a2時(shí)，解不等式f(x)；(2)若存在實(shí)數(shù)a，使得不等式f(x)a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)a2，f(x)|x3|x2|f(x)等價(jià)于或或解得x3或x3，不等式的解集為.(2)由不等式性質(zhì)可知f(x)|x3|xa|(x3)(xa)|a3|，若存在實(shí)數(shù)x，使得不等式f(x)a成立，則|a3|a，解得a，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.8已知函數(shù)f(x)|2x1|x|a，(1)若a1，求不等式f(x)0的解集；(2)若方程f(x)2x有三個(gè)不同的解，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，不等式f(x)0可化為|2x1|x|10，或或解得x2或x0，不等式的解集為(，20，)(2)由f(x)2x，得a2x|x|2x1|，令g(x)2x|x|2x1|，則g(x)作出函數(shù)yg(x)的圖象如圖所示，易知A，B(0，1)，結(jié)合圖象知：當(dāng)1<a<時(shí)，函數(shù)ya與yg(x)的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，即方程f(x)2x有三個(gè)不同的解，a的取值范圍為.第2課不等式證明過雙基1基本不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b0，那么，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均定理3：如果a，b，cR，那么，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立2比較法(1)比差法：依據(jù)是ab0ab；步驟是“作差變形判斷差的符號(hào)”變形是手段，變形的目的是判斷差的符號(hào)(2)比商法：若B0，欲證AB，只需證1.3綜合法與分析法(1)綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立(2)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義，公理或已證明的定理，性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立4柯西不等式(1)設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)等號(hào)成立(2)若ai，bi(iN*)為實(shí)數(shù)，則2，當(dāng)且僅當(dāng)(當(dāng)ai0時(shí)，約定bi0，i1,2，n)時(shí)等號(hào)成立(3)柯西不等式的向量形式：設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，則|·|，當(dāng)且僅當(dāng)，共線時(shí)等號(hào)成立1若ma2b，nab21，則m與n的大小關(guān)系為_解析：nmab21a2bb22b1(b1)20，nm.答案：nm2若a0，b0，ab2，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a，b恒成立的是_(填序號(hào))ab1； ；a2b22；a3b33；2.解析：令ab1，排除；由2ab2ab1，命題正確；a2b2(ab)22ab42ab2，命題正確；2，命題正確答案：3已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abc1，則的最小值為_解析：把a(bǔ)bc1代入得332229，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立答案：9清易錯(cuò)1在使用作商比較法時(shí)易忽視說明分母的符號(hào)2在用綜合法證明不等式時(shí)，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，易忽視性質(zhì)成立的前提條件1已知a>0，b>0，則aabb_(ab)(填大小關(guān)系)解析：，當(dāng)ab時(shí)，1，當(dāng)a>b>0時(shí)，>1，>0，>1，當(dāng)b>a>0時(shí)，0<<1，<0，則>1，aabb(ab).答案：2設(shè)x>y>z>0，求證：xz6.證明：xz(xy)(yz)36.當(dāng)且僅當(dāng)xyyz時(shí)取等號(hào)，所以xz6.比較法證明不等式典例(2018·莆田模擬)設(shè)a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)求證：a2b2(ab)證明(a2b2)(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab)(ab)(ab)因?yàn)閍0，b0，所以不論ab0，還是0ab，都有ab與ab同號(hào)，所以(ab)(ab)0，所以a2b2(ab)方法技巧比較法證明不等式的方法和步驟(1)求差比較法：由a>bab>0，a<bab<0，因此要證明a>b只要證明ab>0即可，這種方法稱為求差比較法(2)求商比較法：由a>b>0>1且a>0，b>0，因此當(dāng)a>0，b>0時(shí)，要證明a>b，只要證明>1即可，這種方法稱為求商比較法(3)用比較法證明不等式的一般步驟是：作差(商)變形判斷結(jié)論，而變形的方法一般有配方、通分和因式分解即時(shí)演練求證：當(dāng)xR時(shí)，12x42x3x2.證明：法一：(12x4)(2x3x2)2x3(x1)(x1)(x1)(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)(x1)2x(x21)(x1)(x1)2(2x22x1)(x1)20，所以12x42x3x2.法二：(12x4)(2x3x2)x42x3x2x42x21(x1)2·x2(x21)20，所以12x42x3x2.綜合法證明不等式典例已知a，b均為正數(shù)，且ab1，求證：(1)(axby)2ax2by2；(2)22.證明(1)(axby)2(ax2by2)a(a1)x2b(b1)y22abxy，因?yàn)閍b1，所以a1b，b1a，又a，b均為正數(shù)，所以a(a1)x2b(b1)y22abxyab(x2y22xy)ab(xy)20，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立所以(axby)2ax2by2.(2)224a2b24a2b24a2b2114(a2b2)2642，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，所以22.方法技巧1綜合法證明不等式的方法綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵2綜合法證明時(shí)常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2b22ab，它的變形形式有：a2b22|ab|；a2b22ab；(ab)24ab；a2b2(ab)2；2.(4)，它的變形形式有：a2(a>0)；2(ab>0)；2(ab<0)即時(shí)演練設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，求證：(1)abbcac；(2)1.證明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.分析法證明不等式典例設(shè)a，b，c0，且abbcca1.求證：(1)abc.(2) ()證明(1)要證abc，由于a，b，c0，因此只需證明(abc)23.即證a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需證明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即證a2b2c2abbcca.而這可以由abbccaa2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)證得所以原不等式成立(2) .在(1)中已證abc.因此要證原不等式成立，只需證明 ，即證abc1，即證abcabbcca.而a，b，c.所以abcabbcca當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立所以原不等式成立方法技巧1用分析法證“若A則B”這個(gè)命題的模式為了證明命題B為真，只需證明命題B1為真，從而有只需證明命題B2為真，從而有只需證明命題A為真，而已知A為真，故B必真2分析法的應(yīng)用當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆即時(shí)演練已知a>0，b>0,2c>ab，求證：c<a<c.證明：要證c<a<c，即證<ac<，即證|ac|<，即證(ac)2<c2ab，即證a22ac<ab.因?yàn)閍>0，所以只要證a2c<b，即證ab<2c.由已知條件知，上式顯然成立，所以原不等式成立1(2017·全國卷)已知a>0，b>0，a3b32.證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因?yàn)?ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.2(2016·全國卷)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)<2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時(shí)，|ab|<|1ab|.解：(1)f(x)當(dāng)x時(shí)，由f(x)<2得2x<2，解得x>1；當(dāng)<x<時(shí)，f(x)<2恒成立；當(dāng)x時(shí)，由f(x)<2得2x<2，解得x<1.所以f(x)<2的解集Mx|1<x<1(2)證明：由(1)知，當(dāng)a，bM時(shí)，1<a<1，1<b<1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)<0.因此|ab|<|1ab|.3(2015·全國卷)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，證明：(1)若ab>cd，則>；(2)>是|ab|<|cd|的充要條件證明：(1)因?yàn)?)2ab2，()2cd2，由題設(shè)abcd，ab>cd，得()2>()2.因此>.(2)必要性：若|ab|<|cd|，則(ab)2<(cd)2，即(ab)24ab<(cd)24cd.因?yàn)閍bcd，所以ab>cd.由(1)，得>.充分性：若>，則()2>()2，即ab2>cd2.因?yàn)閍bcd，所以ab>cd.于是(ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2.因此|ab|<|cd|.綜上，>是|ab|cd|的充要條件4(2014·全國卷)若a>0，b>0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并說明理由解：(1)由，得ab2，且當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立故a3b324，且當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立所以a3b3的最小值為4.(2)由(1)知，2a3b24.由于4>6，從而不存在a，b，使得2a3b6.1已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且ab2，求證：1.證明：a0，b0，ab2，1.ab22，ab1.0.1.2已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足pqra，求證：p2q2r23.解：(1)因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)1x2時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)證明：由(1)知pqr3，又因?yàn)閜，q，r是正實(shí)數(shù)，所以(p2q2r2)(121212)(p×1q×1r×1)2(pqr)29，即p2q2r23.3(2018·云南統(tǒng)一檢測(cè))已知a是常數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式|x1|2x|a|x1|2x|都成立(1)求a的值；(2)設(shè)mn0，求證：2m2na.解：(1)設(shè)f(x)|x1|2x|，則f(x)f(x)的最大值為3.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，|x1|2x|a都成立，即f(x)a，a3.設(shè)h(x)|x1|2x|，則h(x)則h(x)的最小值為3.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，|x1|2x|a都成立，即h(x)a，a3.a3.(2)證明：由(1)知a3.2m2n(mn)(mn)，且mn0，(mn)(mn)33.2m2na.4已知x，y，z是正實(shí)數(shù)，且滿足x2y3z1.(1)求的最小值；(2)求證：x2y2z2.解：(1)x，y，z是正實(shí)數(shù)，且滿足x2y3z1，(x2y3z)6 6222，當(dāng)且僅當(dāng)且且時(shí)取等號(hào)(2)由柯西不等式可得1(x2y3z)2(x2y2z2)(122232)14(x2y2z2)，x2y2z2，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x，y，z時(shí)取等號(hào)故x2y2z2.5(2018·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)|x|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值M；(2)在(1)成立的條件下，正實(shí)數(shù)a，b滿足a2b2M，證明：ab2ab.解：(1)由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)知f(x)|x|x1|xx1|1，f(x)min1，只需|m1|1，即1m11，0m2，實(shí)數(shù)m的最大值M2.(2)證明：a2b22ab，且a2b22，ab1，1，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)又，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)由得，ab2ab.6(2018·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)|xa|.(1)當(dāng)a2時(shí)，解不等式f(x)4|x1|；(2)若f(x)1的解集為0,2，a(m>0，n>0)，求證：m2n4.解：(1)當(dāng)a2時(shí)，不等式為|x2|x1|4.當(dāng)x2時(shí)，不等式可化為x2x14，解得x；當(dāng)1x2時(shí)，不等式可化為2xx14，不等式的解集為；當(dāng)x1時(shí)，不等式可化為2x1x4，解得x.綜上可得，不等式的解集為.(2)證明：f(x)1，即|xa|1，解得a1xa1，而f(x)1的解集是0,2，解得a1，所以1(m>0，n>0)，所以m2n(m2n)222 4，當(dāng)且僅當(dāng)m2，n1時(shí)取等號(hào)7已知a，b，c，d均為正數(shù)，且adbc.(1)證明：若ad>bc，則|ad|>|bc|；(2)若t··，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解：(1)證明：由ad>bc，且a，b，c，d均為正數(shù)，得(ad)2>(bc)2，又adbc，所以(ad)2>(bc)2，即|ad|>|bc|.(2)因?yàn)?a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2(acbd)2，所以t··t(acbd)由于 ac, bd，又已知t·· ，則t(acbd) (acbd)，故t ，當(dāng)且僅當(dāng)ac，bd時(shí)取等號(hào)所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為，)8已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)解不等式f(2x)f(x4)8；(2)若|a|<1，|b|<1，a0，求證：>f.解：(1)f(2x)f(x4)|2x1|x3|當(dāng)x<3時(shí)，由3x28，解得x；當(dāng)3x<時(shí)，x48無解；當(dāng)x時(shí)，由3x28，解得x2.所以不等式f(2x)f(x4)8的解集為2，)(2)證明：>f等價(jià)于f(ab)>|a|f，即|ab1|>|ab|.因?yàn)閨a|<1，|b|<1，所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)>0，所以|ab1|>|ab|.故所證不等式成立.階段滾動(dòng)檢測(cè)(六)全程仿真驗(yàn)收(時(shí)間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1若集合A1,2,3，B(x，y)|xy40，x，yA，則集合B中的元素個(gè)數(shù)為()A9B6C4 D3解析：選D集合A1,2,3，B(x，y)|xy40，x，yA(2,3)，(3,2)，(3,3)，則集合B中的元素個(gè)數(shù)為3.2若復(fù)數(shù)(aR)是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)2a2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選B，由題意可知2a20且22a0，所以a1，則復(fù)數(shù)2a2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(2,2)在第二象限3已知命題p：x0(，0)，2x03x0；命題q：x0，cos x1，則下列命題為真命題的是()Apq Bp(綈q)C(綈p)q Dp(綈q)解析：選C因?yàn)閤(，0)時(shí)，x1，所以2x3x，故命題p是假命題；命題q：x，cos x1，是真命題，則綈p是真命題，綈q是假命題，故(綈p)q是真命題4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A12B1C1 D1解析：選D由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)組合體，上面是一個(gè)半徑為的球，下面是一個(gè)棱長為1的正方體，所以該幾何體的體積V·311.5函數(shù)y的圖象可能是()解析：選C因?yàn)閒(x)f(x)，即函數(shù)y是奇函數(shù)，故排除B、D；當(dāng)x>0，且x時(shí)，y0，故排除A，因此選C.6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的m，n分別為1 848,936，則輸出的m的值為()A168B72C36 D24解析：選D根據(jù)題意，運(yùn)行程序：m1 848，n936；r912，m936，n912；r24，m912，n24；r0，m24，n0，此時(shí)滿足條件，循環(huán)結(jié)束，輸出m24，故選D.7.如圖，RtABC中，ABAC，BC4，O為BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，1為半徑的半圓與BC交于點(diǎn)D，P為半圓上任意一點(diǎn)，則·的最小值為()A2 B.C2 D2解析：選D建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(2,0)，A(0,2)，D(1,0)，設(shè)P(x，y)，故(x2，y)，(1，2)，所以·x2y2.令x2y2t，根據(jù)直線的幾何意義可知，當(dāng)直線x2y2t與半圓相切時(shí)，t取得最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式可得1，t2，即·的最小值是2.8將函數(shù)f(x)cos x(0)的圖象向右平移個(gè)單位，若所得圖象與原圖象重合，則f不可能等于()A0 B1C. D.解析：選D將函數(shù)f(x)cos x(0)的圖象向右平移個(gè)單位，得函數(shù)ycos，由題意可得2k，kZ，因?yàn)?，所以6k0，kZ，則fcoscos，kZ，顯然，f不可能等于，故選D.9(2017·鄭州二模)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則z2|x2|y|的最小值是()A6 B5C4 D3解析：選C作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，其中A(2,4)，B(1,5)，C(1，3)，x1,2，y3,5z2|x2|y|2xy4，當(dāng)直線y2x4z過點(diǎn)A(2,4)時(shí)，直線在y軸上的截距最小，此時(shí)z有最小值，zmin2×2444，故選C.10在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A，b2a2c2，則tan C()A2 B2C. D解析：選A因?yàn)閎2a2c2且b2c2a22bccos Abc，所以b，a，由余弦定理可得cos C，則角C是銳角，sin C，則tan C2.11已知點(diǎn)P在雙曲線C：1(a0，b0)的右支上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若| |2| |212a2，則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A3，) B(2,4C(2,3 D(1,3解析：選D根據(jù)題意，因?yàn)閨2|212a2，且|PF1|PF2|2a，所以|PF1|PF2|6a|F1F2|2c，所以e3.又因?yàn)閑>1，所以該雙曲線的離心率的取值范圍是(1,312已知f(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f(x)x2f(0)xf(1)ex1，若g(x)f(x)x2x，則方程gx0有且僅有一個(gè)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，0)1 B(，1C(0,1 D1，)解析：選A由函數(shù)的解析式可得f(0)f(1)e1，f(x)xf(0)f(1)ex1，f(1)1f(0)f(1)，所以f(1)e，f(0)1，所以f(x)x2xex，g(x)f(x)x2xex，則exx0有且僅有一個(gè)根，即xln x有且僅有一個(gè)根，分別作出y和yxln x的圖象，由圖象知a<0或a1.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上)13(mx)(1x)3的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為16，則xmdx_.解析：(mx)(1x)3(mx)(Cx3Cx2CxC)，所以x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為mCmCCC16，解得m3，所以xmdxx3dxx40.答案：014在ABC中，ABAC，AB，ACt，P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則PBC面積的最小值為_解析：由于ABAC，故以AB，AC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則B，C(0，t)，因?yàn)?，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(4,1)，直線BC的方程為t2xyt0，所以點(diǎn)P到直線BC的距離為d，BC，所以PBC的面積為××，當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)取等號(hào)答案：15若m(0,3)，則直線(m2)x(3m)y30與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于的概率為_解析：令x0，得y；令y0，得x.所以·|x|·|y|··，因?yàn)閙(0,3)，所以解得0<m<2，由幾何概型概率公式可得，所求事件的概率為.答案：16已知M(x0，y0)是橢圓E：1(a>b>0)上一點(diǎn)，A，B是其左、右頂點(diǎn)，若2·xa2，則離心率e_.解析：由題意知A(a,0)，B(a,0)，(x0a，y0)，(x0a，y0)，2·xa2，2(xa2y)xa2，xa22y.又1，1，0，a22b2，11，e.答案：三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a12，且滿足an1Sn2n1(nN*)(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求S1S2Sn.解：(1)證明：由條件可知，Sn1SnSn2n1，即Sn12Sn2n1，整理得1，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)可知，1n1n，即Snn·2n，令TnS1S2Sn，則Tn1×22×22n×2n2Tn1×222×23n×2n1，得Tn2222nn·2n1n·2n1(1n)·2n12，所以Tn2(n1)·2n1.18(本小題滿分12分)如圖所示的是某母嬰用品專賣店根據(jù)以往銷售奶粉的銷售記錄繪制的日銷售量的頻率分布直方圖將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立(1)估計(jì)日銷售量的平均值；(2)求未來連續(xù)三天里，有兩天日銷售量不低于100袋且另一天銷售量低于50袋的概率；(3)記X為未來三天里日銷售量不低于150袋的天數(shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)解：(1)估計(jì)日銷售量的平均值為25×0.003×5075×0.005×50125×0.006×50175×0.004×50225×0.002×50117.5.(2)不低于100袋的概率為0.6，低于50袋的概率為0.15，設(shè)事件A表示有兩天日銷售量不低于100袋且另一天銷售量低于50袋，則P(A)C(0.6)2×0.150.162.(3)不低于150袋的概率為0.3，由題意知，XB(3,0.3)，P(X0)C(0.7)30.343，P(X1)C(0.7)2×0.30.441，P(X2)C×0.7×0.320.189，P(X3)C×0.330.027.所以X的分布列為X0123P0.3430.4410.1890.027則X的均值為E(X)3×0.30.9.19(本小題滿分12分)如圖，等腰直角三角形ABC的底邊AB4，點(diǎn)D在線段AC上，DEAB于E，現(xiàn)將ADE沿DE折起到PDE的位置(如圖)(1)求證：PBDE；(2)若PEBE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE長解：(1)證明：DEAB，DEPE，DEEB.又PEBEE，DE平面PEB.PB平面PEB，PBDE.(2)由(1)知DEPE，DEEB，且PEBE，所以DE，BE，PE兩兩垂直分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)PEa，則B(0,4a,0)，D(a,0,0)，C(2,2a,0)，P(0,0，a)，可得(0,4a，a)，(2，2,0)設(shè)平面PBC的法向量為n(x，y，z)，則即令x1，得y1，z，n.直線PD與平面PBC所成的角為30°，且(a,0，a)，sin 30°|cos，n|.解得a或a4(舍去)所以PE的長為.20(本小題滿分12分)(2018·甘肅張掖一診)已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|2，點(diǎn)P為橢圓短軸的端點(diǎn)，且PF1F2的面積為2.(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，A(4，6)，求|QA|QF1|的最小值；(3)點(diǎn)B是橢圓上的一定點(diǎn)，B1，B2是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，且直線BB1，BB2關(guān)于直線x1對(duì)稱，試證明直線B1B2的斜率為定值解：(1)由題意可知c，SPF1F2|F1F2|×b2，所以b2，求得a3，故橢圓的方程為1.(2)由(1)得|QF1|QF2|6，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)那么|QA|QF1|QA|(6|QF2|)|QA|QF2|6，而|QA|QF2|AF2|9，所以|QA|QF1|的最小值為3.(3)設(shè)直線BB1的斜率為k，因?yàn)橹本€BB1與直線BB2關(guān)于直線x1對(duì)稱，所以直線BB2的斜率為k，所以直線BB1的方程為yk(x1)，設(shè)B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，由可得(49k2)x26k(43k)x9k224k40，因?yàn)樵摲匠逃幸粋€(gè)根為x1，所以x1，同理得x2，所以kB1B2，故直線B1B2的斜率為定值.21(本小題滿分12分)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)·e2x2x22f(0)x，g(x)fx2(1a)xa.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若x，y，m滿足|xm|ym|，則稱x比y更接近m.當(dāng)a2且x1時(shí)，試比較和ex1a哪個(gè)更接近ln x，并說明理由解：(1)f(x)f(1)e2x22x2f(0)，f(1)f(1)22f(0)，即f(0)1.又f(0)·e2，f(1)2e2，f(x)e2xx22x.