（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第11章 算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明 第3講 合情推理與演繹推理學案

第3講合情推理與演繹推理板塊一知識梳理·自主學習 必備知識考點1合情推理考點2演繹推理1定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理2特點：演繹推理是由一般到特殊的推理3模式：“三段論”是演繹推理的一般模式：必會結(jié)論1合情推理的結(jié)論是猜想，不一定正確；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時，得到的結(jié)論一定正確2合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理；演繹推理是證明結(jié)論的推理考點自測1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確()(2)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適()(3)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確()(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的()答案(1)×(2)×(3)×(4)答案A3課本改編下面圖形由小正方形組成，請觀察圖1至圖4的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第n個圖形中小正方形的個數(shù)是_答案解析由題圖知第1個圖形的小正方形個數(shù)為1，第2個圖形的小正方形個數(shù)為12，第3個圖形的小正方形個數(shù)為123，第4個圖形的小正方形個數(shù)為1234，則第n個圖形的小正方形個數(shù)為123n.4課本改編在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為12，則它們的面積比為14.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為12，則它們的體積比為_答案18解析因為兩個正三角形是相似的三角形，所以它們的面積之比是相似比的平方同理，兩個正四面體是兩個相似幾何體，體積之比為相似比的立方所以它們的體積比為18.52015·陜西高考觀察下列等式111據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為_答案1解析觀察所給等式的左右可以歸納出1.62018·東北三省模擬在某次數(shù)學考試中，甲、乙、丙三名同學中只有一個人得了優(yōu)秀當他們被問到誰得到了優(yōu)秀時，丙說：“甲沒有得優(yōu)秀”；乙說：“我得了優(yōu)秀”；甲說：“丙說的是真話”事實證明：在這三名同學中，只有一人說的是假話，那么得優(yōu)秀的同學是_答案丙解析分析題意只有一人說假話可知，甲與丙必定說的都是真話，故說假話的只有乙，即乙沒有得優(yōu)秀，甲也沒有得優(yōu)秀，得優(yōu)秀的是丙板塊二典例探究·考向突破考向歸納推理命題角度1數(shù)字的歸納例12018·浙江模擬“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年如圖是楊輝三角數(shù)陣，記an為圖中第n行各個數(shù)之和，則a5a11的值為()A528 B1020 C1038 D1040答案D解析第一行數(shù)字之和為a11211，第二行數(shù)字之和為a22221，第三行數(shù)字之和為a34231，第四行數(shù)字之和為a48241，第n行數(shù)字之和為an2n1，a5an242101040.故選D.命題角度2式子的歸納例2設(shè)函數(shù)f(x)(x>0)，觀察：f1(x)f(x)，f2(x)ff1(x)，f3(x)ff2(x)，f4(x)ff3(x)，根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當nN*且n2時，fn(x)ffn1(x)_.答案解析根據(jù)題意知，各式中分子都是x，分母中的常數(shù)項依次是2,4,8,16，可知fn(x)的分母中常數(shù)項為2n，分母中x的系數(shù)為2n1，故fn(x)ffn1(x).命題角度3圖形的歸納例3如圖，在平面直角坐標系的格點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)處：點(1,0)處標b1，點(1，1)處標b2，點(0，1)處標b3，點(1，1)處標b4，點(1,0)處標b5，點(1,1)處標b6，點(0,1)處標b7，以此類推，則b963處的格點的坐標為_答案(16,13)解析觀察已知點(1,0)處標b1，即b1×1，點(2,1)處標b9，即b3×3，點(3,2)處標b25，即b5×5，由此推斷點(n，n1)處標b(2n1)×(2n1)，因為96131×31時，n16，故b961處的格點的坐標為(16,15)，從而b963處的格點的坐標為(16,13)觸類旁通歸納推理問題的常見類型及解題策略(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解(2)與式子有關(guān)的歸納推理與不等式有關(guān)的推理觀察每個不等式的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解與數(shù)列有關(guān)的推理通常是先求出幾個特殊現(xiàn)象，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項與項數(shù)的關(guān)系，列出即可(3)與圖形變化有關(guān)的推理合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡浴咀兪接柧?】2018·泉州模擬已知如下等式：246；810121416；18202224262830；以此類推，則2020會出現(xiàn)在第_個等式中()A30 B31 C32 D33答案B解析246；810121416；18202224262830，其規(guī)律為：各等式首項分別為2×1,2(13)，2(135)，所以第n個等式的首項為213(2n1)2×2n2，當n31時，等式的首項為2×3121922，當n32時，等式的首項為2×3222048，所以2020在第31個等式中故選B.考向類比推理例42018·撫順模擬若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列bn也為等差數(shù)列類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列cn是等比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達式應(yīng)為()Adn BdnCdn Ddn答案D解析若an是等差數(shù)列，則a1a2anna1d，所以bna1dna1，即bn為等差數(shù)列；若cn是等比數(shù)列，則c1·c2··cnc·q12(n1)c·q，所以dnc1·q，即dn為等比數(shù)列故選D.觸類旁通類比推理的分類類比推理的應(yīng)用一般為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法(1)類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時，可以借助原定義來求解；(2)類比性質(zhì)：從一個特殊式子的性質(zhì)、一個特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時要認真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵；(3)類比方法：有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識的遷移【變式訓練2】如圖所示，在平面上，用一條直線截正方形的一個角，截下的是一個直角三角形，有勾股定理c2a2b2.空間中的正方體，用一平面去截正方體的一角，截下的是一個三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，若這三個兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，截面面積為S，類比平面的結(jié)論有_答案S2SSS解析三角形類比空間中的三棱錐，線段的長度類比圖形的面積，于是作出猜想：S2SSS.考向演繹推理例52018·山東調(diào)研數(shù)列an的前n項和記為Sn，已知a11，an1Sn(nN*)證明：(1)數(shù)列是等比數(shù)列；(2)Sn14an.證明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2·，(小前提)故是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列(結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)(2)由(1)可知4·(n2)，Sn14(n1)·4··Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)對于任意正整數(shù)n，都有Sn14an.(結(jié)論)(第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件)觸類旁通演繹推理的結(jié)構(gòu)特點(1)演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成的三段論推理中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況這兩個判斷聯(lián)合起來，提示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個判斷：結(jié)論(2)演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系，解題時要找準正確的大前提一般地，若大前提不明確時，一般可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提【變式訓練3】某市為了緩解交通壓力，實行機動車輛限行政策，每輛機動車每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行某公司有A，B，C，D，E五輛車，保證每天至少有四輛車可以上路行駛已知E車周四限行，B車昨天限行，從今天算起，A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，E車明天可以上路，由此可知下列推測一定正確的是()A今天是周六 B今天是周四CA車周三限行 DC車周五限行答案B解析因為每天至少有四輛車可以上路行駛，E車明天可以上路，E車周四限行，所以今天不是周三；因為B車昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因為A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，選B.核心規(guī)律1.合情推理的過程概括為2.演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論數(shù)學問題的證明主要通過演繹推理來進行滿分策略1.合情推理是從已知的結(jié)論推測未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進一步嚴格證明2.演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學問題，注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規(guī)范性3.合情推理中運用猜想不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù).板塊三啟智培優(yōu)·破譯高考創(chuàng)新交匯系列9演繹推理中的創(chuàng)新問題2015·福建高考一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2xn(nN*)，其中xk(k1,2，n)稱為第k位碼元二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?)已知某種二元碼x1x2x7的碼元滿足如下校驗方程組：其中運算定義為：000,011,101,110.現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定k等于_解題視點求解此類問題的關(guān)鍵是讀懂新定義，在領(lǐng)會新定義的基礎(chǔ)上，明晰新定義的內(nèi)涵和外延，將其轉(zhuǎn)化并運用到新情境中，進而判斷參數(shù)k的值解析因為x4x5x6x711010010110，所以二元碼1101101的前3位碼元都是對的；因為x2x3x6x71001101110，所以二元碼1101101的第6、7位碼元也是對的；因為x1x3x5x710111110110，所以二元碼1101101的第5位碼元是錯誤的，所以k5.答案5答題啟示與演繹推理有關(guān)的新定義問題是高考命制創(chuàng)新型試題的一個熱點，解決此類問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義及符號語言，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目的要求進行恰當?shù)霓D(zhuǎn)化，注意推理過程的嚴密性.跟蹤訓練在平面直角坐標系中，若點P(x，y)的坐標x，y均為整數(shù)，則稱點P為格點若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖中的ABC是格點三角形，對應(yīng)的S1，N0，L4.(1)圖中格點四邊形DEFG對應(yīng)的S，N，L分別是_；(2)已知格點多邊形的面積可表示為SaN bLc，其中a，b，c為常數(shù)，若某格點多邊形對應(yīng)的N71，L18，則S_(用數(shù)值作答)答案(1)3,1,6(2)79解析(1)由定義知，四邊形DEFG由一個等腰直角三角形和一個平行四邊形構(gòu)成，其內(nèi)部格點有1個，邊界上格點有6個，四邊形DEFG的面積為3，所以S3，N1，L6.(2)由待定系數(shù)法可得當N71，L18時，S1×71×18179.板塊四模擬演練·提能增分A級基礎(chǔ)達標1(1)已知a是三角形一邊的長，h是該邊上的高，則三角形的面積是ah，如果把扇形的弧長l，半徑r分別看成三角形的底邊長和高，可得到扇形的面積為lr；(2)由112,1322,13532，可得到135(2n1)n2，則(1)(2)兩個推理過程分別屬于()A類比推理、歸納推理 B類比推理、演繹推理C歸納推理、類比推理 D歸納推理、演繹推理答案A解析(1)由三角形的性質(zhì)得到扇形的性質(zhì)有相似之處，此種推理為類比推理；(2)由特殊到一般，此種推理為歸納推理故選A.2把1,3,6,10,15,21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形(如下圖)，試求第七個三角形數(shù)是()A27 B28 C29 D30答案B解析觀察歸納可知第n個三角形數(shù)為1234n，第七個三角形數(shù)為28.32018·太原模擬觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10()A121 B123 C231 D211答案B解析令ananbn，則a11，a23，a34，a47，得an2anan1，從而a618，a729，a847，a976，a10123.42018·臨沂期末已知n2且nN*，對n2進行“分拆”：22(1,3)，32(1,3,5)，42(1,3,5,7)，那么289的“分拆”所得的中位數(shù)是()A29 B21 C19 D17答案D解析自然數(shù)n2的分裂數(shù)中最大的數(shù)是2n1.289分裂的數(shù)中最大的數(shù)是2×17133，289的“分拆”所得的數(shù)的中位數(shù)是17.故選D.52018·南昌模擬已知13232,1323332,132333432，若13233343n33025，則n()A8 B9 C10 D11答案C解析132322，13233322，1323334322，132333n32，13233343n33025，3025，n2(n1)2(2×55)2，n(n1)110，解得n10.6若等差數(shù)列an的公差為d，前n項的和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，公差為.類似，若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的公比為q，前n項的積為Tn，則等比數(shù)列的公比為()A. Bq2 C. D.答案C解析由題設(shè)有，Tnb1·b2·b3··bnb1·b1q·b1q2··b1qn1bq12(n1)bq. b1q，等比數(shù)列的公比為，故選C.72018·南通模擬將自然數(shù)0,1,2，按照如下形式進行擺列：根據(jù)以上規(guī)律判定，從2016到2018的箭頭方向是()答案A解析從所給的圖形中觀察得到規(guī)律：每隔四個單位，箭頭的走向是一樣的，比如說，01，箭頭垂直指下，45，箭頭也是垂直指下，89也是如此，而20164×504，所以20162017也是箭頭垂直指下，之后20172018的箭頭是水平向右故選A.8中國有個名句“運籌帷幄之中，決勝千里之外”其中的“籌”原意是指孫子算經(jīng)中記載的算籌，古代是用算籌來進行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算，算籌的擺放有縱橫兩種形式，如下表：表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示，以此類推，例如6613用算籌表示就是，則5288用算籌可表示為_答案解析根據(jù)題意知，5288用算籌表示，從左到右依次是橫式的5，縱式的2，橫式的8，縱式的8，即.92018·常州模擬36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為3622×32，所以36的所有正約數(shù)之和為(1332)(22×32×32)(2222×322×32)(1222)(1332)91，參照上述方法，可求得200的所有正約數(shù)之和為_答案465解析類比求36的所有正約數(shù)之和的方法，200的所有正約數(shù)之和可按如下方法求得：因為20023×52，所以200的所有正約數(shù)之和為(122223)(1552)465.10如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，xn，都有f.若ysinx在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，那么在ABC中，sinAsinBsinC的最大值是_答案解析由題意知，凸函數(shù)滿足f，又ysinx在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，則sinAsinBsinC3sin3sin.B級知能提升12018·徐州模擬觀察下列事實：|x|y|1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|y|2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|y|3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，則|x|y|20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為()A76 B80 C86 D92答案B解析由|x|y|1的不同整數(shù)解的個數(shù)為4，|x|y|2的不同整數(shù)解的個數(shù)為8，|x|y|3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12，歸納推理得|x|y|n的不同整數(shù)解的個數(shù)為4n，故|x|y|20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80.故選B.22018·中山模擬古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)比如：他們研究過圖1中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A289 B1024 C1225 D1378答案C解析觀察三角形數(shù)：1,3,6,10，記該數(shù)列為an，則a11，a2a12，a3a23，anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)，an123n，觀察正方形數(shù)：1,4,9,16，記該數(shù)列為bn，則bnn2.把四個選項的數(shù)字，分別代入上述兩個通項公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1225.32018·洛陽期末設(shè)x>0，由不等式x2，x3，x4，推廣到xn1，則a()A2n B2n Cn2 Dnn答案D解析設(shè)x>0，由不等式x2，x3，x4，推廣到xn1，所以ann，故選D.4在銳角三角形ABC中，求證：sinAsinBsinC>cosAcosBcosC.證明ABC為銳角三角形，AB>，A>B，ysinx在上是增函數(shù)，sinA>sincosB，同理可得sinB>cosC，sinC>cosA，sinAsinBsinC>cosAcosBcosC.5在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求證：，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由解如圖，由射影定理得AD2BD·DC，AB2BD·BC，AC2DC·BC，故.在四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AH底面BCD，垂足為H.則.證明：連接BH并延長交CD于E，連接AE.AB，AC，AD兩兩垂直，AB平面ACD，又AE平面ACD，ABAE，在RtABE中，又易證CDAE，故在RtACD中，把式代入式，得.16