（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第10講 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算學(xué)案

第10講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算板塊一知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) 必備知識(shí)考點(diǎn)1函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)1定義稱(chēng)函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率 為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y| xx0，即f(x0) .2幾何意義函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線(xiàn)yf(x)上點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線(xiàn)的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))相應(yīng)地，切線(xiàn)方程為yf(x0)f(x0)(xx0)考點(diǎn)2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式考點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 若yf(x)，yg(x)的導(dǎo)數(shù)存在，則(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)必會(huì)結(jié)論1f(x0)與x0的值有關(guān)，不同的x0，其導(dǎo)數(shù)值一般也不同2f(x0)不一定為0，但f(x0)一定為0.3奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)4函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線(xiàn)在這點(diǎn)處的切線(xiàn)越“陡”考點(diǎn)自測(cè)1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)f(x0)與f(x0)表示的意義相同()(2)f(x0)是導(dǎo)函數(shù)f(x)在xx0處的函數(shù)值()(3)cos.()(4)若(ln x)，則ln x()答案(1)×(2)(3)×(4)×2課本改編f(x)ax33x22，若f(1)4，則a的值等于()A. B. C. D.答案D解析因?yàn)閒(x)3ax26x，所以f(1)3a64，解得a.故選D.32018·九江模擬已知曲線(xiàn)y3ln x的一條切線(xiàn)的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A3 B2 C1 D.答案B解析因?yàn)閥3ln x，所以y.再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，令，解得x2或x3(舍去)故選B.4課本改編若曲線(xiàn)yexaxb在點(diǎn)(0,2)處的切線(xiàn)l與直線(xiàn)x3y10垂直，則ab()A3 B1 C1 D3答案A解析因?yàn)橹本€(xiàn)x3y10的斜率為，所以切線(xiàn)l的斜率為3，即y|x0e0a1a3，所以a2；又曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0,2)，所以e0b2，解得b1.故選A.52018·秦皇島模擬函數(shù)f(x)exln x在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)方程是()Ay2e(x1) Byex1Cye(x1) Dyxe答案C解析f(1)0，f(x)ex，f(1)e，切線(xiàn)方程是ye(x1)故選C.62018·煙臺(tái)診斷已知曲線(xiàn)yasinxcosx在x0處的切線(xiàn)方程為xy10，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案1解析因?yàn)閥acosxsinx，y|x0a，根據(jù)題意知a1.板塊二典例探究·考向突破考向?qū)?shù)的基本運(yùn)算例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y； (2)yx；(3)yxsincos； (4)yln x.解(1)y.(2)因?yàn)閥x31，所以y3x2.(3)因?yàn)閥xsinx，所以y1cosx.(4)y(ln x).觸類(lèi)旁通導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算方法(1)連乘積形式：先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)；(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；(3)對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；(4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)在x1處的導(dǎo)數(shù)為，則f(x)的解析式可能為()Af(x)x2ln xBf(x)xexCf(x)(3x24x)(2x1)Df(x)答案D解析A中f(x)x，B中f(x)(xex)exxex，C中f(x)6x35x24x，所以f(x)18x210x4，D中f(x).分別將x1代入檢驗(yàn)，知D符合考向?qū)?shù)幾何意義的應(yīng)用 命題角度1求切線(xiàn)的方程例22017·全國(guó)卷曲線(xiàn)yx2在點(diǎn)(1,2)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)答案xy10解析y2x，y|x11，即曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,2)處的切線(xiàn)的斜率k1，切線(xiàn)方程為y2x1，即xy10.命題角度2求切點(diǎn)的坐標(biāo)例32018·江西模擬若曲線(xiàn)yxln x上點(diǎn)P處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)2xy10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_答案(e，e)解析設(shè)P(x0，y0)，yxln x，yln xx·1ln xk1ln x0.又k2，1ln x02，x0e，y0eln ee.點(diǎn)P的坐標(biāo)是(e，e)命題角度3求參數(shù)的值例4已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直線(xiàn)l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1，f(1)，則m的值為()A1 B3 C4 D2答案D解析f(x)，直線(xiàn)l的斜率為kf(1)1，又f(1)0，切線(xiàn)l的方程為yx1.g(x)xm，設(shè)直線(xiàn)l與g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，于是解得m2.故選D.觸類(lèi)旁通求解曲線(xiàn)切線(xiàn)方程應(yīng)注意的問(wèn)題(1)對(duì)于曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程的求解，對(duì)曲線(xiàn)的求導(dǎo)是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，因此求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算原則要熟練掌握(2)對(duì)于已知的點(diǎn)，首先確定其是否為曲線(xiàn)的切點(diǎn)，進(jìn)而選擇相應(yīng)的方法求解核心規(guī)律1.f(x0)代表函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)值；f(x0)是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個(gè)常量，其導(dǎo)數(shù)一定為0，即f(x0)0.2.對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)的基本原則求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤滿(mǎn)分策略1.利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意不要將冪函數(shù)的求導(dǎo)公式(xn)nxn1與指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式(ax)axln a混淆2.直線(xiàn)與曲線(xiàn)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線(xiàn)的本質(zhì)特征，直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，不能說(shuō)明直線(xiàn)就是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，反之，直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，也不能說(shuō)明直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn).板塊三啟智培優(yōu)·破譯高考易錯(cuò)警示系列3求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程考慮不全面致錯(cuò) 2018·浙江杭州質(zhì)檢若存在過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)yx3和yax2x9都相切，則a等于()A1或 B1或C或 D或7錯(cuò)因分析(1)審題不仔細(xì)，未對(duì)(1,0)的位置進(jìn)行判斷，誤認(rèn)為(1,0)是切點(diǎn)；(2)當(dāng)所給點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，不知所措，無(wú)法與導(dǎo)數(shù)的幾何意義聯(lián)系解析yx3，y3x2.設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線(xiàn)與yx3相切于點(diǎn)(x0，x)，則在該點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為k3x，所以切線(xiàn)方程為：yx3x(xx0)，即y3xx2x.又點(diǎn)(1,0)在切線(xiàn)上，則x00或x0.當(dāng)x00時(shí)，由y0與yax2x9相切可得a；當(dāng)x0時(shí)，由yx與yax2x9相切，得a1.綜上，a1或a.故選A.答案A答題啟示(1)求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，首先確定已知點(diǎn)是否為切點(diǎn)是求解的關(guān)鍵，分清“過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)”與“在點(diǎn)P處的切線(xiàn)”的差異.(2)求解切線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，無(wú)論是已知切線(xiàn)的斜率還是切線(xiàn)經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，切點(diǎn)坐標(biāo)都是化解難點(diǎn)的關(guān)鍵所在.跟蹤訓(xùn)練2018·山西師大附中質(zhì)檢已知曲線(xiàn)yx3.(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)方程；(2)求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線(xiàn)方程解(1)根據(jù)已知得點(diǎn)P(2,4)是切點(diǎn)且yx2，所以在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)的斜率為y4.所以曲線(xiàn)在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設(shè)曲線(xiàn)yx3與過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線(xiàn)相切于點(diǎn)A，則切線(xiàn)的斜率為yx.所以切線(xiàn)方程為yx(xx0)，即yx·xx.因?yàn)辄c(diǎn)P(2,4)在切線(xiàn)上，所以42xx，即x3x40，所以xx4x40，所以x(x01)4(x01)(x01)0，所以(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切線(xiàn)方程為xy20或4xy40.板塊四模擬演練·提能增分 A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1曲線(xiàn)y3ln xx2在點(diǎn)P0處的切線(xiàn)方程為4xy10，則點(diǎn)P0的坐標(biāo)是()A(0,1) B(1，1)C(1,3) D(1,0)答案C解析由題意知y14，解得x1，此時(shí)4×1y10，解得y3，故點(diǎn)P0的坐標(biāo)是(1,3)22018·海南文昌中學(xué)模擬曲線(xiàn)yxex2x1在點(diǎn)(0，1)處的切線(xiàn)方程為()Ay3x1 By3x1Cy3x1 Dy2x1答案A解析依題意得y(x1)ex2，則曲線(xiàn)yxex2x1在點(diǎn)(0，1)處的切線(xiàn)的斜率為(01)e023，故曲線(xiàn)yxex2x1在點(diǎn)(0，1)處的切線(xiàn)方程為y13x，即y3x1.故選A.32018·大同模擬已知函數(shù)f(x)xsinxax，且f1，則a()A0 B1 C2 D4答案A解析f(x)sinxxcosxa，且f1，sincosa1，即a0.42018·陜西檢測(cè)已知直線(xiàn)yxm是曲線(xiàn)yx23ln x的一條切線(xiàn)，則m的值為()A0 B2 C1 D3答案B解析因?yàn)橹本€(xiàn)yxm是曲線(xiàn)yx23ln x的切線(xiàn)，所以令y2x1，得x1或x(舍去)，即切點(diǎn)為(1,1)，又切點(diǎn)(1,1)在直線(xiàn)yxm上，所以m2，故選B.52018·金版創(chuàng)新已知f(x)x22xf(2017)2017ln x，則f(1)()A2016 B6045 C2017 D6048答案D解析因?yàn)閒(x)x2f(2017)，所以f(2017)20172f(2017)，即f(2017)201712016.故f(x)x2×2016，f(1)12×201620176048.故選D.6直線(xiàn)ykx1與曲線(xiàn)yx3axb相切于點(diǎn)A(1,3)，則2ab的值為()A1 B2 C5 D1答案A解析由題意可得3k1,31ab，則k2.又曲線(xiàn)的導(dǎo)函數(shù)y3x2a，所以3a2，解得a1，b3，所以2ab1.故選A.72018·上饒模擬若點(diǎn)P是曲線(xiàn)yx2ln x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)yx2的最小值為()A1 B. C. D.答案B解析因?yàn)槎x域?yàn)?0，)，所以y2x1，解得x1，則在P(1,1)處的切線(xiàn)方程為xy0，所以?xún)善叫芯€(xiàn)間的距離為d.82015·全國(guó)卷已知函數(shù)f(x)ax3x1的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,7)，則a_.答案1解析因?yàn)閒(x)ax3x1，所以f(x)3ax21，所以f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)斜率為k3a1，又f(1)a2，所以切線(xiàn)方程為y(a2)(3a1)(x1)，因?yàn)辄c(diǎn)(2,7)在切線(xiàn)上，所以7(a2)3a1，解得a1.9直線(xiàn)x2ym0與曲線(xiàn)y相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)答案(1,1)解析yx，yx，令yx，則x1，則y1，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)102018·江蘇模擬在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線(xiàn)yax2(a，b為常數(shù))過(guò)點(diǎn)P(2，5)，且該曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與直線(xiàn)7x2y30平行，則ab的值是_答案3解析由曲線(xiàn)yax2過(guò)點(diǎn)P(2，5)，得4a5.又y2ax，所以當(dāng)x2時(shí)，4a，由得所以ab3.B級(jí)知能提升12018·南昌模擬已知f(x)2exsinx，則曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線(xiàn)方程為()Ay0 By2xCyx Dy2x答案B解析f(x)2exsinx，f(0)0，f(x)2ex(sinxcosx)，f(0)2，曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線(xiàn)方程為y2x.2曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)的傾斜角為，則實(shí)數(shù)a()A1 B1 C7 D7答案C解析f(x)，f(1)tan1，即1，a7.32018·陜西模擬設(shè)曲線(xiàn)yex在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)y(x0)上點(diǎn)P處的切線(xiàn)垂直，則P的坐標(biāo)為_(kāi)答案(1,1)解析yex，則yex在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)的斜率k1，又曲線(xiàn)y(x0)上點(diǎn)P處的切線(xiàn)與yex在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)垂直，所以y(x0)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率為1，設(shè)P(a，b)，則曲線(xiàn)y(x0)上點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率為y|xaa21，可得a1，又P(a，b)在y上，所以b1，故P(1,1)4已知函數(shù)f(x)x1(aR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)若曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)平行于x軸，求a的值；(2)當(dāng)a1時(shí)，若直線(xiàn)l：ykx1與曲線(xiàn)yf(x)相切，求l的直線(xiàn)方程解(1)f(x)1，因?yàn)榍€(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)平行于x軸，所以f(1)10，解得ae.(2)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x1，f(x)1.設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，f(x0)x01kx01，f(x0)1k，得x0kx01k，即(k1)(x01)0.若k1，則式無(wú)解，x01，k1e.l的直線(xiàn)方程為y(1e)x1.52018·蘇州十校聯(lián)考設(shè)函數(shù)f(x)ax，曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線(xiàn)方程為7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線(xiàn)yf(x)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x0和直線(xiàn)yx所圍成的三角形面積為定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化為yx3，當(dāng)x2時(shí)，y.又f(x)a，故解得故f(x)x.(2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，由f(x)1知，曲線(xiàn)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)方程為yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得，y，從而得切線(xiàn)與直線(xiàn)x0交點(diǎn)坐標(biāo)為.令yx，得yx2x0，從而得切線(xiàn)與直線(xiàn)yx的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x0，yx所圍成的三角形面積為|2x0|6.故曲線(xiàn)yf(x)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x0和直線(xiàn)yx所圍成的三角形面積為定值，此定值為6.12