2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提能三 數(shù)列的創(chuàng)新考法與學(xué)科素養(yǎng)能力訓(xùn)練 理

2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提能三 數(shù)列的創(chuàng)新考法與學(xué)科素養(yǎng)能力訓(xùn)練 理一、選擇題1在數(shù)列an中，nN*，若k(k為常數(shù))，則稱an為“等差比數(shù)列”，下列是對“等差比數(shù)列”的判斷：k不可能為0；等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0.其中所有正確判斷的序號是()ABCD解析：由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；當(dāng)an是等比數(shù)列，且公比q1時(shí)，an不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；數(shù)列0,1,0,1，是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個(gè)0，所以正確答案：C2九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種重量單位)這個(gè)問題中，甲所得為()A.錢B.錢C.錢D.錢解析：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，依題意有解得故選D.答案：D3宋元時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家朱世杰在其數(shù)學(xué)巨著四元玉鑒中提出了一個(gè)“茭草形段”問題：“今有茭草六百八十束，欲令落一形(同垛)之，問底子幾何？”他在這一問題中探討了“垛積術(shù)”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上一束，下一層3束，再下一層6束)成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示從上往下第二層開始的每層茭草束數(shù)，則本問題中三角垛倒數(shù)第二層茭草總束數(shù)為()A91B105C120D210解析：由題意得，從上往下第n層茭草束數(shù)為123n.136680，即n(n1) ·(n2)680，n(n1)(n2)15×16×17，n15.故倒數(shù)第二層為第14層，該層茭草總束數(shù)為105.答案：B4(2018·成都聯(lián)考)等差數(shù)列an中的a3，a2 017是函數(shù)f(x)x36x24x1的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則a1 010的值為()A2BC2D解析：由題易得f(x)3x212x4，因?yàn)閍3，a2 017是函數(shù)f(x)x36x24x1的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以a3，a2 017是方程3x212x40的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以a3a2 0174.又?jǐn)?shù)列an為等差數(shù)列，所以a3a2 0172a1 010，即a1 0102，從而a1 0102，故選B.答案：B5已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn3)(nN*)在函數(shù)y3×2x的圖象上，等比數(shù)列bn滿足bnbn1an(nN*)，其前n項(xiàng)和為Tn，則下列結(jié)論正確的是()ASn2TnBTn2bn1CTnanDTnbn1答案：D6中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，則第二天走了()A192里B96里C48里D24里解析：設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比q，依題意有378，解得a1192，則a2192×96，即第二天走了96里，故選B.答案：B7我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列1，.第二步：將數(shù)列的各項(xiàng)乘以n，得數(shù)列(記為)a1，a2，a3，an.則a1a2a2a3an1an等于()An2B(n1)2Cn(n1)Dn(n1)解析：a1a2a2a3an1an···n2n2n2·n(n1)答案：C8(2018·衡水中學(xué)期末改編)已知函數(shù)f(x)在R上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2，對任意的x，yR，f(x)f(y)f(xy)2成立，若數(shù)列an滿足a1f(0)，且f(an1)f()，nN*，則a2 018的值為()A2BCD解析：令xy0得f(0)2，所以a12.設(shè)x1，x2是R上的任意兩個(gè)數(shù)，且x1x2，則x2x10，因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，f(x)2，所以f(x2x1)2，即f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)22f(x1)2f(x1)，所以f(x)在R上是減函數(shù)因?yàn)閒(an1)f()，所以an1，即1，所以3()，所以是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以3n1，即an.所以a2 018.故選C.答案：C二、填空題9意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列an稱為斐波那契數(shù)列，則iai2的值為_解析：由題意，得a1a3a1×211，a2a4a1×341，a3a5a2×591，a4a6a3×8251，a8a10a21×553421，a9a11a34×895521，所以iai2(aiai2a)1.答案：110“中國剩余定理”又稱“孫子定理”“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1到2 016這2 016個(gè)數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列an，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_解析：能被3除余1且被5除余1的數(shù)就是能被15除余1的數(shù)，故an15n14.由an15n142 016，解得n，又nN*，故此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為135.答案：13511已知冪函數(shù)f(x)x的圖象過點(diǎn)(9,3)，令an(nN*)，記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 018_.解析：由冪函數(shù)f(x)x的圖象過點(diǎn)(9,3)，可得93，解得，所以f(x)x，則an.所以S2 018a1a2a2 01811.答案：112定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)列叫作等差列，這個(gè)常數(shù)叫作等差列的公差已知向量列an是以a1(1,3)為首項(xiàng)，公差為d(1,0)的等差向量列，若向量an與非零向量bn(xn，xn1)(nN*)垂直，則_.解析：易知an(1,3)(n1,0)(n,3)，因?yàn)橄蛄縜n與非零向量bn(xn，xn1)(nN*)垂直，所以，所以········××××××××.答案：三、解答題13(2018·臨川模擬)若數(shù)列bn對于任意的nN*，都有bn2bnd(常數(shù))，則稱數(shù)列bn是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列如數(shù)列cn則數(shù)列cn是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列設(shè)數(shù)列an滿足a1a，對于nN*，都有anan12n.(1)求證：an是準(zhǔn)等差數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式及前20項(xiàng)和S20.解析：(1)證明：anan12n(nN*)，an1an22(n1)(nN*)，得an2an2(nN*)an是公差為2的準(zhǔn)等差數(shù)列(2)a1a，anan12n(nN*)，a1a22×1，即a22a.其奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都為等差數(shù)列，公差為2，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an2a(1)×2na；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，ana(1)×2na1.ananan12n，S20(a1a2)(a3a4)(a19a20)2×(1319)2×200.14(2018·孝感七校聯(lián)盟)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，nN*，且a23，S525.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn，記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn1.解析：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍23，S525，所以解得所以an2n1.(2)證明：由(1)知，an2n1，所以Snn2.所以bn.所以Tnb1b2b3bn(1)()()11.15已知數(shù)列an滿足a1，an13an1(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：og3an2n.解析：(1)由題可知an13(an)，又a1，所以a11，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列所以an3n1，即an3n1.(2)證明：由(1)知an3n1，則log3a2 log3(3i1)2 log33i12(i1)，所以og3a2×(012n1)2×n2n.