（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何學(xué)案

第八章 平面解析幾何第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程1直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0.(2)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是0，)2斜率公式(1)直線l的傾斜角為()，則斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1x2，則l的斜率k.3直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用范圍斜截式縱截距、斜率ykxb與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率yy0k(xx0)兩點式過兩點與兩坐標軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距1不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線一般式AxByC0(A2B20)所有直線4線段的中點坐標公式若點P1，P2的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點M的坐標為(x，y)，則此公式為線段P1P2的中點坐標公式小題體驗1若過點M(1，m)，N(m1,4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A1B.C2 D.解析：選A由1，得m1.故選A.2直線3xy10的傾斜角為()A30° B60°C120° D135°解析：選B直線方程可變形為yx，tan ，0°<180°，60°.故選B.3(2018·嘉興檢測)直線l1：xy20在x軸上的截距為_；若將l1繞它與y軸的交點順時針旋轉(zhuǎn)90°，則所得到的直線l2的方程為_解析：對于直線l1：xy20，令y0，得x2，即直線l1在x軸上的截距為2；令x0，得y2，即l1與y軸的交點為(0，2)，直線l1的傾斜角為135°，直線l2的傾斜角為135°90°45°，l2的斜率為1，故l2的方程為yx2，即xy20.答案：2xy201點斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點式方程不能表示垂直于x，y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標軸和過原點的直線2截距不是距離，距離是非負值，而截距可正可負，可為零，在與截距有關(guān)的問題中，要注意討論截距是否為零3求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應(yīng)注意分類討論，即應(yīng)對斜率是否存在加以討論小題糾偏1過點(5,2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距2倍的直線方程是()A2xy120B2xy120或2x5y0Cx2y10Dx2y10或2x5y0解析：選B當(dāng)直線過原點時所求方程為2x5y0；當(dāng)直線不過原點時，可設(shè)其截距式為1，由該直線過點(5,2)，解得a6，對應(yīng)方程為1，即2xy120，故選B.2過點(5,10)，且到原點的距離為5的直線方程是_解析：當(dāng)斜率不存在時，所求直線方程為x50滿足題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)其為k，則所求直線方程為y10k(x5)，即kxy105k0.由距離公式，得5，解得k.故所求直線方程為3x4y250. 綜上知，所求直線方程為x50或3x4y250.答案：x50或3x4y250 題組練透1設(shè)直線axbyc0的傾斜角為，且sin cos 0，則a，b滿足()Aab1Bab1Cab0 Dab0解析：選D由題意得sin cos ，顯然cos 0，則tan 1，1，ab，ab0.2經(jīng)過P(0，1)作直線l，若直線l與連接A(1，2)，B(2,1)的線段總有公共點，則直線l的斜率k和傾斜角的取值范圍分別為_，_.解析：如圖所示，結(jié)合圖形，若l與線段AB總有公共點，則kPAkkPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0時，傾斜角為鈍角，k0時，0，k>0時，為銳角又kPA1，kPB1，1k1.又當(dāng)0k1時，0；當(dāng)1k<0時，<.故傾斜角的取值范圍為.答案：1,13若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)三點共線，求的值解：kAB，kAC，且A，B，C三點共線，kABkAC，即，整理得ab2(ab)，將該等式兩邊同除以2ab得.謹記通法1傾斜角與斜率的關(guān)系當(dāng)且由0增大到時，k的值由0增大到.當(dāng)時，k也是關(guān)于的單調(diào)函數(shù)，當(dāng)在此區(qū)間內(nèi)由增大到()時，k的值由趨近于0(k0)2斜率的3種求法(1)定義法：若已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)ktan 求斜率(2)公式法：若已知直線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k(x1x2)求斜率(3)方程法：若已知直線的方程為AxByC0(B0)，則l的斜率k.典例引領(lǐng)求適合下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點(4,1)，且在兩坐標軸上的截距相等；(2)經(jīng)過點(1，3)，傾斜角等于直線y3x的傾斜角的2倍；(3)經(jīng)過點(3,4)，且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形解：(1)設(shè)直線方程在x，y軸上的截距均為a，若a0，即直線方程過點(0,0)和(4,1)，直線方程為yx，即x4y0；若a0，則設(shè)直線方程為1，直線方程過點(4,1)，1，解得a5，直線方程為xy50.綜上可知，所求直線的方程為x4y0或xy50.(2)由已知，設(shè)直線y3x的傾斜角為 ，則所求直線的傾斜角為2.tan 3，tan 2.又直線經(jīng)過點(1，3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即3x4y150.(3)由題意可知，所求直線的斜率為±1.又過點(3,4)，由點斜式得y4±(x3)即所求直線的方程為xy10或xy70.由題悟法求直線方程的2個注意點(1)在求直線方程時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件(2)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零)即時應(yīng)用求傾斜角是直線yx1的傾斜角的，且分別滿足下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點(，1)；(2)在y軸上的截距是5.解：直線yx1的傾斜角120°.所求直線的傾斜角為30°，即斜率k.(1)所求直線方程為y1(x)，即x3y60.(2)所求直線方程為yx5，即x3y150.鎖定考向直線方程的綜合應(yīng)用是?？純?nèi)容之一，它常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、圓相結(jié)合，命題多為客觀題常見的命題角度有：(1)與基本不等式相結(jié)合的最值問題；(2)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的問題；(3)由直線方程解決參數(shù)問題 題點全練角度一：與基本不等式相結(jié)合的最值問題1過點P(2,1)作直線l，與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點，求：(1)AOB面積的最小值及此時直線l的方程；(2)直線l在兩坐標軸上截距之和的最小值及此時直線l的方程；(3)|PA|·|PB|的最小值及此時直線l的方程解：(1)設(shè)直線l的方程為y1k(x2)，則可得A，B(0,12k)直線l與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點，得k0.SAOB·|OA|·|OB|··(12k)4，當(dāng)且僅當(dāng)4k，即k時，AOB的面積有最小值4，此時直線l的方程為y1(x2)，即x2y40.(2)A，B(0,12k)(k0)，截距之和為212k32k3232，當(dāng)且僅當(dāng)2k，即k時等號成立故截距之和的最小值為32，此時直線l的方程為y1(x2)，即xy20.(3)A，B(0,12k)(k0)，|PA|·|PB|·24，當(dāng)且僅當(dāng)k，即k1時上式等號成立故|PA|·|PB|的最小值為4，此時直線l的方程為y1(x2)，即xy30.角度二：與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的問題2設(shè)P為曲線C：yx22x3上的點，且曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為，則點P橫坐標的取值范圍為()A.B.C0,1 D.解析：選A由題意知y2x2，設(shè)P(x0，y0)，則k2x02.因為曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為，所以0k1，即02x021，故1x0.角度三：由直線方程解決參數(shù)問題3已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當(dāng)0a2時，直線l1，l2與兩坐標軸圍成一個四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時，求實數(shù)a的值解：由題意知直線l1，l2恒過定點P(2,2)，直線l1在y軸上的截距為2a，直線l2在x軸上的截距為a22，所以四邊形的面積S×(2a)×2×(a22)×2a2a42，當(dāng)a時，四邊形的面積最小，故a.通法在握處理直線方程綜合應(yīng)用的2大策略(1)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，即能夠看出“動中有定”(2)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先求出斜率或設(shè)出直線方程，建立目標函數(shù)，再利用基本不等式求解最值演練沖關(guān)1設(shè)mR，過定點A的動直線xmy0和過定點B的動直線mxym30交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是_解析：易求定點A(0,0)，B(1,3)當(dāng)P與A和B均不重合時，因為P為直線xmy0與mxym30的交點，且易知兩直線垂直，則PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|·|PB|5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|時，等號成立)，當(dāng)P與A或B重合時，|PA|·|PB|0，故|PA|·|PB|的最大值是5.答案：52已知直線l：kxy12k0(kR)(1)證明：直線l過定點；(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設(shè)AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程解：(1)證明：直線l的方程可化為yk(x2)1，故無論k取何值，直線l總過定點(2,1)(2)直線l的方程為ykx2k1，則直線l在y軸上的截距為2k1，要使直線l不經(jīng)過第四象限，則解得k0，故k的取值范圍為.(3)依題意，直線l在x軸上的截距為，在y軸上的截距為12k，A，B(0,12k)又<0且12k>0，k>0.故S|OA|OB|××(12k)(44)4，當(dāng)且僅當(dāng)4k，即k時取等號故S的最小值為4，此時直線l的方程為x2y40.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1直線l：xsin 30°ycos 150°10的斜率是()A.B.C D解析：選A設(shè)直線l的斜率為k，則k.2傾斜角為135°，在y軸上的截距為1的直線方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：選D直線的斜率為ktan 135°1，所以直線方程為yx1，即xy10.3(2018·湖州質(zhì)檢)若直線l與直線y1，x7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，1)，則直線l的斜率為()A. BC D.解析：選B依題意，設(shè)點P(a,1)，Q(7，b)，則有解得a5，b3，從而可得直線l的斜率為.4.如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2解析：選D直線l1的傾斜角1是鈍角，故k10，直線l2與l3的傾斜角2與3均為銳角且23，所以0k3k2，因此k1k3k2，故選D.5(2018·豫西五校聯(lián)考)曲線yx3x5上各點處的切線的傾斜角的取值范圍為_解析：設(shè)曲線上任意一點處的切線的傾斜角為(0，)，因為y3x211，所以tan 1，結(jié)合正切函數(shù)的圖象可知，的取值范圍為.答案：二保高考，全練題型做到高考達標1直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選B由直線方程可得該直線的斜率為，又1<0，所以傾斜角的取值范圍是.2已知直線l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線x2y40的斜率的倒數(shù)，則直線l的方程為()Ayx2 Byx2Cyx Dyx2解析：選A直線x2y40的斜率為，直線l在y軸上的截距為2，直線l的方程為yx2，故選A.3(2018·溫州五校聯(lián)考)在同一平面直角坐標系中，直線l1：axyb0和直線l2：bxya0的圖象可能是()解析：選B當(dāng)a>0，b>0時，a<0，b<0，選項B符合4若直線x2yb0與兩坐標軸所圍成的三角形的面積不大于1，那么b的取值范圍是()A2,2 B(，22，)C2,0)(0,2 D(，)解析：選C令x0，得y，令y0，得xb，所以所求三角形面積為|b|b2，且b0，因為b21，所以b24，所以b的取值范圍是2,0)(0,25函數(shù)ya1x(a>0，a1)的圖象恒過定點A，若點A在mxny10(mn>0)上，則的最小值為()A2 B4C8 D1解析：選B函數(shù)ya1x(a>0，a1)的圖象恒過定點A(1,1)把A(1,1)代入直線方程得mn1(mn>0)(mn)222 4(當(dāng)且僅當(dāng)mn時取等號)，的最小值為4.6(2018·溫州調(diào)研)已知三角形的三個頂點為A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，則BC邊上中線所在的直線方程為_解析：BC的中點坐標為，BC邊上中線所在直線方程為，即x13y50.答案：x13y507直線l：(a2)x(a1)y60，則直線l恒過定點_解析：直線l的方程變形為a(xy)2xy60，由解得x2，y2，所以直線l恒過定點(2，2)答案：(2，2)8已知直線l過坐標原點，若直線l與線段2xy8(2x3)有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是_解析：如圖所示，設(shè)直線l與線段2xy8(2x3)的公共點為P(x，y)則點P(x，y)在線段AB上移動，且A(2,4)，B(3,2)，設(shè)直線l的斜率為k.又kOA2，kOB.可知k2.故直線l的斜率的取值范圍是.答案：9已知直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：(1)過定點A(3,4)；(2)斜率為.解：(1)設(shè)直線l的方程為yk(x3)4，它在x軸，y軸上的截距分別是3,3k4，由已知，得(3k4)±6，解得k1或k2.故直線l的方程為2x3y60或8x3y120.(2)設(shè)直線l在y軸上的截距為b，則直線l的方程是yxb，它在x軸上的截距是6b，由已知，得|6b·b|6，b±1.直線l的方程為x6y60或x6y60.10.如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點P(1，0)的直線AB分別交OA，OB于A，B兩點，當(dāng)AB的中點C恰好落在直線yx上時，求直線AB的方程解：由題意可得kOAtan 45°1，kOBtan(180°30°)，所以直線lOA：yx，lOB：yx.設(shè)A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中點C，由點C在直線yx上，且A，P，B三點共線得解得m，所以A(，)又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直線AB的方程為(3)x2y30.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1已知曲線y，則曲線的切線中斜率最小的直線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為_解析：y，因為ex>0，所以ex22(當(dāng)且僅當(dāng)ex，即x0時取等號)，所以ex24，故y(當(dāng)且僅當(dāng)x0時取等號)所以當(dāng)x0時，曲線的切線斜率取得最小值，此時切點的坐標為，切線的方程為y(x0)，即x4y20.該切線在x軸上的截距為2，在y軸上的截距為，所以該切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積S×2×.答案：2.已知直線l過點P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，如圖所示，當(dāng)ABO的面積取最小值時，求直線l的方程解：法一：設(shè)A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，則直線l的方程為1.因為l過點P(3,2)，所以1.因為12 ，整理得ab24，所以SABOab12，當(dāng)且僅當(dāng)，即a6，b4時取等號此時直線l的方程是1，即2x3y120.法二：依題意知，直線l的斜率k存在且k<0，可設(shè)直線l的方程為y2k(x3)(k<0)，則A，B(0,23k)，SABO(23k)×(1212)12，當(dāng)且僅當(dāng)9k，即k時，等號成立所以所求直線l的方程為2x3y120.第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系1兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行：對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2.當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1l2.(2)兩條直線垂直：如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1·k21.當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1l2.2兩條直線的交點的求法直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則l1與l2的交點坐標就是方程組的解3三種距離公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點之間的距離|P1P2|點P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d平行線AxByC10與AxByC20間距離d小題體驗1(2018·金華四校聯(lián)考)直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則m()A2B3C2或3 D2或3解析：選C直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，解得m2或3.2過兩直線l1：x3y40和l2：2xy50的交點和原點的直線方程為()A19x9y0 B9x19y0C19x3y0 D3x19y0解析：選D由得則所求直線方程為yxx，即3x19y0.3(2018·浙江五校聯(lián)考)已知動點P的坐標為(x,1x)，xR，則動點P的軌跡方程為_，它到原點距離的最小值為_解析：設(shè)點P的坐標為(x，y)，則y1x，即動點P的軌跡方程為xy10.原點到直線xy10的距離為d，即為所求原點到動點P的軌跡的最小值答案：xy101在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，易忽視斜率是否存在，兩條直線都有斜率可根據(jù)條件進行判斷，若無斜率，要單獨考慮2運用兩平行直線間的距離公式時易忽視兩方程中的x，y的系數(shù)分別相等這一條件盲目套用公式導(dǎo)致出錯小題糾偏1已知P：直線l1：xy10與直線l2：xay20平行，Q：a1，則P是Q的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件解析：選A由于直線l1：xy10與直線l2：xay20平行的充要條件是1×a(1)×10，即a1.所以P是Q的充要條件2(2018·安慶模擬)若直線l1：x3ym0(m0)與直線l2：2x6y30的距離為，則m()A7 BC14 D17解析：選B直線l1：x3ym0(m0)，即2x6y2m0，因為它與直線l2：2x6y30的距離為，所以，解得m.(基礎(chǔ)送分型考點自主練透)題組練透1(2018·諸暨模擬)已知a，b為正數(shù)，且直線axby60與直線2x(b3)y50平行，則2a3b的最小值為_解析：由兩直線平行可得，a(b3)2b，即2b3aab，1.又a，b為正數(shù)，所以2a3b(2a3b)·13132 25，當(dāng)且僅當(dāng)ab5時取等號，故2a3b的最小值為25.答案：252已知直線l1：x3y7與直線l2：kxy2，以及與x軸，y軸圍成的凸四邊形有外接圓，求實數(shù)k的值解：如圖所示，由直線l1，l2及x軸，y軸所圍成四邊形為OABC，其有外接圓的充要條件是對角互補COA90°，CBA90°，即l1l2.k·1，解得k3.3已知兩直線l1：mx8yn0和l2：2xmy10，試確定m，n的值，使(1)l1與l2相交于點P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y軸上的截距為1.解：(1)由題意得解得m1，n7.即m1，n7時，l1與l2相交于點P(m，1)(2)l1l2， 解得或即m4，n2或m4，n2時，l1l2.(3)當(dāng)且僅當(dāng)2m8m0，即m0時，l1l2.又1，n8.即m0，n8時，l1l2，且l1在y軸上的截距為1.謹記通法1已知兩直線的斜率存在，判斷兩直線平行垂直的方法(1)兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等；(2)兩直線垂直兩直線的斜率之積等于1.提醒當(dāng)直線斜率不確定時，要注意斜率不存在的情況2由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1與l2垂直的充要條件A1A2B1B20l1與l2平行的充分條件(A2B2C20)l1與l2相交的充分條件(A2B20)l1與l2重合的充分條件(A2B2C20)提醒在判斷兩直線位置關(guān)系時，比例式與，的關(guān)系容易記住，在解答選擇、填空題時，建議多用比例式來解答典例引領(lǐng)1(2018·衢州模擬)若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與l2間的距離為()A.B.C. D.解析：選B因為l1l2，所以，解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1與l2之間的距離d.2直線3x4y30上一點P與點Q(2，2)的連線的最小值是_解析：點Q到直線的距離即為P，Q兩點連線的最小值，|PQ|min1.答案：13若直線l過點P(1,2)且到點A(2,3)和點B(4,5)的距離相等，則直線l的方程為_解析：法一：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20.由題意知，即|3k1|3k3|，k.直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x1，也符合題意故所求直線l的方程為x3y50或x1.法二：當(dāng)ABl時，有kkAB，直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當(dāng)l過AB中點時，AB的中點為(1,4)直線l的方程為x1.故所求直線l的方程為x3y50或x1.答案：x3y50或x1由題悟法處理距離問題的2大策略(1)點到直線的距離問題可直接代入點到直線的距離公式去求(2)動點到兩定點距離相等，一般不直接利用兩點間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動點在兩定點所在線段的垂直平分線上，從而使計算簡便即時應(yīng)用1已知P是直線2x3y60上一點，O為坐標原點，且點A的坐標為(1,1)，若|PO|PA|，則P點的坐標為_解析：法一：設(shè)P(a，b)，則解得a3，b4.P點的坐標為(3,4)法二：線段OA的中垂線方程為xy10，則由解得則P點的坐標為(3,4)答案：(3,4)2已知直線l：axy10和點A(1,2)，B(3,6)若點A，B到直線l的距離相等，則實數(shù)a的值為_解析：法一：要使點A，B到直線l的距離相等，則ABl，或A，B的中點(2,4)在直線l上所以a2或2a410，解得a2或.法二：要使點A，B到直線l的距離相等，則，解得a2或.答案：2或鎖定考向?qū)ΨQ問題是高考?？純?nèi)容之一，也是考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力的一種常見題型常見的命題角度有：(1)點關(guān)于點對稱；(2)點關(guān)于線對稱；(3)線關(guān)于線對稱 題點全練角度一：點關(guān)于點對稱1過點P(0,1)作直線l使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點P平分，則直線l的方程為_解析：設(shè)l1與l的交點為A(a,82a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(a,2a6)在l2上，把B點坐標代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點A(4,0)在直線l上，所以由兩點式得直線l的方程為x4y40.答案：x4y402已知直線l：2x3y10，點A(1，2)，則直線l關(guān)于點A(1，2)對稱的直線l的方程為_解析：法一：在l：2x3y10上任取兩點，如M(1,1)，N(4，3)，則M，N關(guān)于點A的對稱點M，N均在直線l上易知M(3，5)，N(6，7)，由兩點式可得l的方程為2x3y90.法二：設(shè)P(x，y)為l上任意一點，則P(x，y)關(guān)于點A(1，2)的對稱點為P(2x，4y)，P在直線l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.答案：2x3y90角度二：點關(guān)于線對稱3已知直線l：2x3y10，點A(1，2)求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A的坐標；(2)直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對稱直線m的方程解：(1)設(shè)A(x，y)，則解得A.(2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M必在直線m上設(shè)M(a，b)，則解得M.設(shè)直線m與直線l的交點為N，則由得N(4,3)又m經(jīng)過點N(4,3)，由兩點式得直線m的方程為9x46y1020.角度三：線關(guān)于線對稱4直線2xy30關(guān)于直線xy20對稱的直線方程是()Ax2y30Bx2y30Cx2y10 Dx2y10解析：選A設(shè)所求直線上任意一點P(x，y)，則P關(guān)于xy20的對稱點為P(x0，y0)，由得由點P(x0，y0)在直線2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.通法在握1中心對稱問題的2個類型及求解方法(1)點關(guān)于點對稱：若點M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對稱，則由中點坐標公式得進而求解(2)直線關(guān)于點的對稱，主要求解方法是：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程2軸對稱問題的2個類型及求解方法(1)點關(guān)于直線的對稱：若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：AxByC0對稱，由方程組可得到點P1關(guān)于l對稱的點P2的坐標(x2，y2)(其中B0，x1x2)(2)直線關(guān)于直線的對稱：一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行演練沖關(guān)1與直線3x4y50關(guān)于x軸對稱的直線方程為_解析：設(shè)A(x，y)為所求直線上的任意一點，則A(x，y)在直線3x4y50上，即3x4(y)50，故所求直線方程為3x4y50.答案：3x4y502已知入射光線經(jīng)過點M(3,4)，被直線l：xy30反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為_解析：設(shè)點M(3,4)關(guān)于直線l：xy30的對稱點為M(a，b)，則反射光線所在直線過點M，所以解得a1，b0.又反射光線經(jīng)過點N(2,6)，所以所求直線的方程為，即6xy60.答案：6xy603已知ABC中，頂點A(4,5)，點B在直線l：2xy20上，點C在x軸上，求ABC周長的最小值解：設(shè)點A關(guān)于直線l：2xy20的對稱點為A1(x1，y1)，點A關(guān)于x軸的對稱點為A2(x2，y2)，連接A1A2交l于點B，交x軸于點C，則此時ABC的周長取最小值，且最小值為.A1與A關(guān)于直線l：2xy20對稱，解得A1(0,7)易求得A2(4，5)，ABC周長的最小值為4.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1直線2xym0和x2yn0的位置關(guān)系是()A平行B垂直C相交但不垂直 D不能確定解析：選C由可得3x2mn0，由于3x2mn0有唯一解，故方程組有唯一解，故兩直線相交，兩直線的斜率分別為2，斜率之積不等于1，故不垂直2(2018·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)“a1”是“直線ax3y30和直線x(a2)y10平行”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選C因為直線ax3y30和直線x(a2)y10平行的充要條件是解得a1，故選C.3(2018·麗水調(diào)研)已知直線l1過點(2,0)且傾斜角為30°，直線l2過點(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點坐標為()A(3，) B(2，)C(1，) D.解析：選C直線l1的斜率為k1tan 30°，因為直線l2與直線l1垂直，所以k2，所以直線l1的方程為y(x2)，直線l2的方程為y(x2)兩式聯(lián)立，解得即直線l1與直線l2的交點坐標為(1，)4(2018·諸暨期初)已知點A(7，4)關(guān)于直線l的對稱點為B(5,6)，則該對稱直線l的方程為()A6x5y10 B5x6y10 C5x6y10 D6x5y10 解析：選D由題可得，直線l是線段AB的垂直平分線因為A(7，4)，B(5,6)，所以kAB，所以kl.又因為A(7，4)，B(5,6)的中點坐標為(1,1)所以直線l的方程為y1(x1)，即6x5y10.5若直線2xy10，yx1，yax2交于一點，則a的值為_解析：由得即直線2xy10與yx1相交于點(9，8)又因為直線2xy10，yx1，yax2交于一點，所以89a2，解得a.答案：二保高考，全練題型做到高考達標1(2018·舟山調(diào)研)在直角坐標平面內(nèi)，過定點P的直線l：axy10與過定點Q的直線m：xay30相交于點M，則|MP|2|MQ|2的值為()A. BC5 D10解析：選D由題意知P(0,1)，Q(3,0)，過定點P的直線axy10與過定點Q的直線xay30垂直，M位于以PQ為直徑的圓上，|PQ|，|MP|2|MQ|2|PQ|210.2(2018·慈溪模擬)曲線y2xx3在x1處的切線為l，則點P(3,2)到直線l的距離為()A. B.C. D.解析：選A由題可得，切點坐標為(1，1)y23x2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，該切線的斜率為k231，所以切線的方程為xy20.所以點P(3,2)到直線l的距離為d.3(2018·綿陽模擬)若P，Q分別為直線3x4y120與6x8y50上任意一點，則|PQ|的最小值為()A. B.C. D.解析：選C因為，所以兩直線平行，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即，所以|PQ|的最小值為.4(2018·廈門模擬)將一張坐標紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則mn等于()A. B.C. D.解析：選A由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，即直線y2x3，它也是點(7,3)與點(m，n)連線的中垂線，則解得故mn.5從點(2,3)射出的光線沿與向量a(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為()Ax2y40 B2xy10Cx6y160 D6xy80解析：選A由直線與向量a(8,4)平行知，過點(2,3)的直線的斜率k，所以直線的方程為y3(x2)，其與y軸的交點坐標為(0,2)，又點(2,3)關(guān)于y軸的對稱點為(2,3)，所以反射光線過點(2,3)與(0,2)，由兩點式可得反射光線所在的直線方程為x2y40.6(2018·余姚檢測)已知直線l過點P(3,4)且與點A(2,2)，B(4，2)等距離，則直線l的方程為_解析：顯然直線l的斜率不存在時，不滿足題意；設(shè)所求直線方程為y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k.所求直線l的方程為2xy20或2x3y180.答案：2xy20或2x3y1807.如圖所示，已知兩點A(4,0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程為_解析：易得AB所在的直線方程為xy4，由于點P關(guān)于直線AB對稱的點為A1(4,2)，點P關(guān)于y軸對稱的點為A2(2,0)，則光線所經(jīng)過的路程即A1與A2兩點間的距離于是|A1A2|2.答案：28(2018·紹興一中檢測)兩平行直線l1，l2分別過點P(1,3)，Q(2，1)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離的取值范圍是_解析：l1l2，且Pl1，Ql2，l1，l2間的最大距離為|PQ|5，又l1與l2不重合，l1，l2之間距離的取值范圍是(0,5答案：(0,59已知兩條直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件的a，b的值(1)l1l2，且直線l1過點(3，1)；(2)l1l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等解：(1)l1l2，a(a1)b0.又直線l1過點(3，1)，3ab40.聯(lián)立解得a2，b2.(2)直線l2的斜率存在，l1l2，直線l1的斜率存在k1k2，即1a.又坐標原點到這兩條直線的距離相等，l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即b.故a2，b2或a，b2.10已知ABC的頂點A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2xy50，AC邊上的高BH所在直線方程為x2y50，求直線BC的方程解：依題意知：kAC2，A(5,1)，lAC的方程為2xy110，聯(lián)立得C(4,3)設(shè)B(x0，y0)，則AB的中點M，代入2xy50，得2x0y010，聯(lián)立得B(1，3)，kBC，直線BC的方程為y3(x4)，即6x5y90.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1已知線段AB的兩個端點A(0，3)，B(3,0)，且直線y2x2與線段AB總相交，則實數(shù)的取值范圍為_解析：如圖所示，因為y2x2恒過定點C，連接AC，CB，所以直線AC的斜率kAC10，直線BC的斜率kBC. 又直線y2x2與線段AB總相交，所以kAC2kBC，所以的取值范圍為.答案：2已知直線l：(2ab)x(ab)yab0及點P(3,4)(1)證明直線l過某定點，并求該定點的坐標(2)當(dāng)點P到直線l的距離最大時，求直線l的方程解：(1)證明：直線l的方程可化為a(2xy1)b(xy1)0，由得所以直線l恒過定點(2,3)(2)由(1)知直線l恒過定點A(2,3)，當(dāng)直線l垂直于直線PA時，點P到直線l的距離最大又直線PA的斜率kPA，所以直線l的斜率kl5.故直線l的方程為y35(x2)，即5xy70.第三節(jié)圓的方程1圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標準方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心：(a，b)，半徑：r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圓心：，半徑：2.點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2r2.小題體驗1若直線3xya0過圓x2y22x4y0的圓心，則a的值為()A1B1C3 D3解析：選B圓的方程可化為(x1)2(y2)25，直線經(jīng)過圓的圓心(1,2)，3×(1)2a0，得a1.2(2018·浙江五校聯(lián)考)若點(2a，a1)在圓x2(y1)25的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,1) B(0,1)C. D.解析：選A因為點在圓內(nèi)，所以(2a)2(a11)2<5，解得1<a<1.故實數(shù)a的取值范圍是(1,1)3(2018·湖州調(diào)研)若圓C與圓x2y22x0關(guān)于直線xy10對稱，則圓心C的坐標為_；圓C的一般方程是_解析：已知圓x2y22x0的圓心坐標是(1,0)、半徑是1，設(shè)圓C的圓心(a，b)，則有由此解得a1，b2，即圓心C的坐標為(1,2)，因此圓C的方程是(x1)2(y2)21，即x2y22x4y40.答案：(1,2)x2y22x4y40對于方程x2y2DxEyF0表示圓時易忽視D2E24F0這一成立條件小題糾偏(2016·浙江高考)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓，則圓心坐標是_，半徑是_解析：由二元二次方程表示圓的條件可得a2a2，解得a2或1.當(dāng)a2時，方程為4x24y24x8y100，即x2y2x2y0，配方得2(y1)20，不表示圓；當(dāng)a1時，方程為x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，則圓心坐標為(2，4)，半徑是5.答案：(2，4)5題組練透1圓心在y軸上且經(jīng)過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是()Ax2y210y0Bx2y210y0Cx2y210x0 Dx2y210x0解析：選B設(shè)圓心為(0，b)，半徑為r，則r|b|，所以圓的方程為x2(yb)2b2.因為點(3,1)在圓上，所以9(1b)2b2，解得b5.所以圓的方程為x2y210y0.2(2018·永康模擬)設(shè)aR，則“a>1”是“方程x22axy210的曲線是圓”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A因為方程是圓，所以可轉(zhuǎn)化為(xa)2y2a21，即a21>0，解得a>1或a<1.所以當(dāng)“a>1”時，有a21>0，得曲線方程是圓的方程；當(dāng)曲線方程是圓的方程時，有a>1或a<1，不一定得到a>1.所以是充分不必要條件3(2016·天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2xy0的距離為，則圓C的方程為_解析：因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a0，所以圓心到直線2xy0的距離d，解得a2，所以圓C的半徑r|CM|3，所以圓C的方程為(x2)2y29.答案：(x2)2y294(2018·湖北八校聯(lián)考)已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點A(1,0)，且被x軸分成兩段弧，弧長之比為1：2，則圓C的標準方程為_解析：圓C關(guān)于y軸對稱，可設(shè)C(0，b)，設(shè)圓C的半徑為r，則圓C的標準方程為x2(yb)2r2，依題意，得解得圓C的標準方程為x22.答案：x22謹記通法1求圓的方程的2種方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程(2)待定系數(shù)法：若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值2確定圓心位置的3種方法(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線提醒解答圓的有關(guān)問題時，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì)鎖定考向與圓有關(guān)的最值問題是命題的熱點內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想常見的命題角度有：(1)斜率型最值問題；(2)截距型最值問題；(3)距離型最值問題 題點全練角度一：斜率型最值問題1已知點(x，y)在圓(x2)2(y3)21上，求的最大值和最小值解：可視為點(x，y)與原點連線的斜率，的最大值和最小值就是與該圓有公共點的過原點的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率設(shè)過原點的直線的方程為ykx，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即1，解得k2或k2.的最大值為2，最小值為2.角度二：截距型最值問題2已知點(x，y)在圓(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值解：設(shè)txy，則yxt，t可視為直線yxt的在y軸上的截距，xy的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時的在y軸上的截距由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即1，解得t1或t1.xy的最大值為1，最小值為1.角度三：距離型最值問題3已知點(x，y)在圓(x2)2(y3)21上，求的最大值和最小值解：，求它的最值可視為求點(x，y)到定點(1，2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為圓心(2，3)到定點(1,2)的距離與半徑的和或差又圓心到定點(