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2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-1創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案:第二講 一 圓周角定理 Word版含答案

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2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-1創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案:第二講 一 圓周角定理 Word版含答案

2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-1創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案:第二講 一 圓周角定理 Word版含答案對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P181圓周角定理文字語(yǔ)言圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言在O中,所對(duì)的圓周角和圓心角分別是BAC,BOC,則有BACBOC作用確定圓中兩個(gè)角的大小關(guān)系2圓心角定理文字語(yǔ)言圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言A,B是O上兩點(diǎn),則弧的度數(shù)等于AOB的度數(shù)作用確定圓弧或圓心角的度數(shù)3圓周角定理的推論(1)推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧也相等(2)推論2:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑說(shuō)明(1)圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等,但并不是“圓心角等于它所對(duì)的弧”;(2)“相等的圓周角所對(duì)的弧也相等”的前提條件是“在同圓或等圓中”對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P18與圓周角定理相關(guān)的證明例1如圖,已知:ABC內(nèi)接于O,D、E在BC邊上,且BDCE,12,求證:ABAC.思路點(diǎn)撥證明此題可先添加輔助線構(gòu)造等弦、等弧的條件,再由圓周角定理及其推論證明證明如圖,延長(zhǎng)AD、AE分別交O于F、G,連接BF、CG,12,BFCG,F(xiàn)BDGCE.又BDCE,BFDCGE,F(xiàn)G,ABAC.(1)有關(guān)圓的題目中,圓周角與它所對(duì)的弧經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化,即欲證圓周角相等,可轉(zhuǎn)化為證明它們所對(duì)的弧相等;要證線段相等可以轉(zhuǎn)化為證明它們所對(duì)的弧相等,這是證明圓中線段相等的常見策略(2)若已知條件中出現(xiàn)直徑,則常用到“直徑所對(duì)的圓周角為直角”這一性質(zhì)解決問(wèn)題1.如圖,OA是O的半徑,以O(shè)A為直徑的C與O的弦AB相交于點(diǎn)D.求證:D是AB的中點(diǎn)證明:連接OD、BE.因?yàn)锳DOABE90°,所以O(shè)D和BE平行又因?yàn)镺是AE的中點(diǎn),所以D是AB的中點(diǎn)2已知AD是ABC的高,AE是ABC的外接圓的直徑求證:BAEDAC.證明:連接BE,因?yàn)锳E為直徑,所以ABE90°.因?yàn)锳D是ABC的高,所以ADC90°.所以ADCABE.因?yàn)镋C,所以BAE90°E,DAC90°C.所以BAEDAC.3已知O中,ABAC,D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AD交O于E.求證:AB2AD·AE.證明:如圖,ABAC,.ABDAEB.在ABE與ADB中,BAEDAB,AEBABD,ABEADB.,即AB2AD·AE.利用圓周角進(jìn)行計(jì)算例2如圖,已知BC為半O的直徑,ADBC,垂足為D,BF交AD于E,且AEBE.(1)求證:;(2)如果sin FBC,AB4,求AD的長(zhǎng)思路點(diǎn)撥BC為半O的直徑,連接AC,構(gòu)造RtABC.解(1)證明:如圖,連接AC.BC是半O的直徑,BAC90°,又ADBC,垂足為D,13.在AEB中,AEBE,12.23,即AA.(2)設(shè)DE3x,ADBC,sinFBC,BE5x,BD4x.AEBE,AE5x,AD8x.在RtADB中,ADB90°,AB4,(8x)2(4x)2(4)2,解得x1,AD8.與圓周角定理有關(guān)的線段的計(jì)算、角的計(jì)算,不僅可以通過(guò)計(jì)算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來(lái)求相關(guān)的角、線段,有時(shí)還可以通過(guò)三角形相似、解三角形等來(lái)計(jì)算4如圖,ABC內(nèi)接于O,ODBC于D,A50°,則OCD的度數(shù)是()A40°B25°C50° D60°解析:連接OB.因?yàn)锳50°,所以弦BC所對(duì)的圓心角BOC100°,CODBOC50°,OCD90°COD40°.答案:A5.如圖,ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E.(1)證明:ABEADC;(2)若ABC的面積SAD·AE,求BAC的大小解:(1)證明:由已知條件可得BAECAD.因?yàn)锳EB與ACB是同弧上的圓周角,所以AEBACD.故ABEADC.(2)因?yàn)锳BEADC,所以,即AB·ACAD·AE.又SAB·AC·sin BAC,且SAD·AE,所以AB·AC·sin BACAD·AE.則sin BAC1.又BAC為三角形內(nèi)角,所以BAC90°.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P20一、選擇題1如圖,在O中,BOC50°,則A的大小為()A25°B50°C75° D100°解析:由圓周角定理得ABOC25°.答案:A2.如圖所示,若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相交于E,則圖中相似三角形有()A1對(duì) B2對(duì)C3對(duì) D4對(duì)解析:由推論1知:ADBACB,ABDACD,BACBDC,CADCBD,AEBDEC,AEDBEC.答案:B3RtABC中,C90°,A30°,AC2,則此三角形外接圓半徑為()A. B2C2 D4解析:由推論2知AB為RtABC的外接圓的直徑,又AB4,故外接圓半徑rAB2.答案:B4.如圖,已知AB是半圓O的直徑,弦AD,BC相交于P,若CD3,AB4,則tan BPD等于()A. B.C. D.解析:連接BD,則BDP90°.CPDAPB,.在RtBPD中,cos BPD,tan BPD.答案:D二、填空題5在O中,已知ACBCDB60°,AC3,則ABC的周長(zhǎng)是_解析:由圓周角定理,得ADACB60°.ABBC.ABC為等邊三角形周長(zhǎng)等于9.答案:96如圖,AB為半圓O的直徑,OCAB,OD平分BOC,交半圓于點(diǎn)D,AD交OC于點(diǎn)E,則AEO的度數(shù)是_解析:因?yàn)镺D平分BOC,且BOC90°,所以BODBOC45°,所以O(shè)ADBOD22.5°.在RtAEO中,AOE90°,則AEO90°OAE67.5°.答案:67.5°7如圖所示,已知O為ABC的外接圓,ABAC6,弦AE交BC于D,若AD4,則AE_.解析:連接CE,則AECABC,又ABC中,ABAC,ABCACB,AECACB,ADCACE,AE9.答案:9三、解答題8.(xx·江蘇高考)如圖,AB是圓O的直徑,D,E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),連結(jié)BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C,使BDDC,連結(jié)AC,AE,DE.求證:EC.解:連結(jié)OD,因?yàn)锽DDC,O為AB的中點(diǎn),所以O(shè)DAC,于是ODBC.因?yàn)镺BOD,所以O(shè)DBB.于是BC.因?yàn)辄c(diǎn)A,E,B,D都在圓O上,且D,E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),所以E和B為同弧所對(duì)的圓周角,故EB.所以EC.9如圖,已知ABC內(nèi)接于圓,D為中點(diǎn),連接AD交BC于E.求證:(1);(2)AB·ACAE2EB·EC.證明:(1)連接CD.13,45,ABECDE.(2)連接BD.,AE·DEBE·EC.AE2BE·ECAE2AE·DEAE(AEDE)AE·AD.在ABD與AEC中,D為的中點(diǎn),12.又ACEACBADB,ABDAEC.,即AB·ACAD·AE由知:AB·ACAE2EB·EC.10如圖,已知A,B,C,D,E均在O上,且AC為O的直徑(1)求ABCDE的值;(2)若O的半徑為,AD與EC交于點(diǎn)M,且E,D為弧AC的三等分點(diǎn),求MD的長(zhǎng)解:(1)連接OB,OD,OE,則ABCDE(CODDOEEOAAOBBOC)×360°180°.(2)連接OM和CD,因?yàn)锳C為O的直徑,所以ADC90°,又E,D為的三等分點(diǎn),所以AECAEOA××180°30°,所以O(shè)MAC.因?yàn)镺的半徑為,即OA,所以AM1.在RtADC中,ADAC·cosA2××.則MDADAM.

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