2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓(xùn)練16 橢圓、雙曲線、拋物線 文

2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓(xùn)練16 橢圓、雙曲線、拋物線 文1.(2018全國(guó),文4)已知橢圓C:=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為()A.B.C.D.2.已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則APF的面積為()A.B.C.D.3.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓C:=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左、右頂點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且PFx軸.過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn),則C的離心率為()A.B.C.D.4.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=15.(2018全國(guó),文11)已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),若PF1PF2,且PF2F1=60°,則C的離心率為()A.1-B.2-C.D.-16.設(shè)雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A,B兩點(diǎn),與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn).若=m+n(m,nR),且mn=,則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D.7.已知雙曲線E:=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是. 8.已知直線l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,拋物線C:y2=16x,P是C上一動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到l1與l2距離之和的最小值為. 9.如圖,已知拋物線C1:y=x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過(guò)點(diǎn)P(t,0)(t>0)作不過(guò)原點(diǎn)O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點(diǎn).(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);(2)求PAB的面積.注:直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且與拋物線的對(duì)稱軸不平行,則稱該直線與拋物線相切,稱該公共點(diǎn)為切點(diǎn).10.如圖,動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)構(gòu)成MAB,且直線MA,MB的斜率之積為4,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)設(shè)直線y=x+m(m>0)與y軸相交于點(diǎn)P,與軌跡C相交于點(diǎn)Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范圍.11.設(shè)橢圓=1(a>)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A.已知,其中O為原點(diǎn),e為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)H.若BFHF,且MOA=MAO,求直線l的斜率.二、思維提升訓(xùn)練12.(2018全國(guó),文10)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的離心率為,則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()A.B.2C.D.213.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5.若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2),則C的方程為()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-y2=1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P,Q,其焦點(diǎn)是F1,F2,則四邊形F1PF2Q的面積是. 15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線=1(a>0,b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為. 16.已知圓C:(x+1)2+y2=20,點(diǎn)B(1,0),點(diǎn)A是圓C上的動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線與線段AC交于點(diǎn)P.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程;(2)設(shè)M,N為拋物線C2:y=x2上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作拋物線C2的切線交曲線C1于P,Q兩點(diǎn),求MPQ面積的最大值.17.已知?jiǎng)狱c(diǎn)C是橢圓:+y2=1(a>1)上的任意一點(diǎn),AB是圓G:x2+(y-2)2=的一條直徑(A,B是端點(diǎn)),的最大值是.(1)求橢圓的方程.(2)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)F1,F2,過(guò)點(diǎn)F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn).在線段OF2上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.專題能力訓(xùn)練16橢圓、雙曲線、拋物線一、能力突破訓(xùn)練1.C解析 因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),所以其焦點(diǎn)在x軸上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以橢圓C的離心率e=.2.D解析 由c2=a2+b2=4,得c=2,所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0).將x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3.又點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),故APF的面積為×3×(2-1)=,故選D.3.A解析 由題意知,A(-a,0),B(a,0),根據(jù)對(duì)稱性,不妨令P,設(shè)l:x=my-a,M,E.直線BM:y=-(x-a).又直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn),解得a=3c.e=,故選A.4.D解析 雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,且OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y=x上,解得所以雙曲線的方程為x2-=1.故選D.5.D解析 不妨設(shè)橢圓方程為=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),則|PF1|+|PF2|=2a.F2PF1=90°,PF2F1=60°,c+c=2a,即(+1)c=2a.e=-1.6.C解析 在y=±x中令x=c,得A,B,在雙曲線=1中令x=c得P.當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí),由=m+n,得由(舍去),e=.同理,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí),e=.故該雙曲線的離心率為.7. 2解析 由題意不妨設(shè)AB=3,則BC=2.設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N,如圖,則在RtBMN中,MN=2,故BN=.由雙曲線的定義可得2a=BN-BM=1,而2c=MN=2,所以雙曲線的離心率e=2.8.解析 在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出直線l1,l2和曲線C如圖.P是C上任意一點(diǎn),由拋物線的定義知,|PF|=d2,d1+d2=d1+|PF|,顯然當(dāng)PFl1,即d1+d2=|FM|時(shí),距離之和取到最小值.|FM|=,所求最小值為.9.解 (1)由題意知直線PA的斜率存在,故可設(shè)直線PA的方程為y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直線PA與拋物線相切,得k=t.因此,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2t,t2).設(shè)圓C2的圓心為D(0,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0),由題意知:點(diǎn)B,O關(guān)于直線PD對(duì)稱,故解得因此,點(diǎn)B的坐標(biāo)為.(2)由(1)知|AP|=t·和直線PA的方程tx-y-t2=0.點(diǎn)B到直線PA的距離是d=.設(shè)PAB的面積為S(t),所以S(t)=|AP|·d=.10.解 (1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)x=-1時(shí),直線MA的斜率不存在;當(dāng)x=1時(shí),直線MB的斜率不存在.于是x1,且x-1.此時(shí),MA的斜率為,MB的斜率為.由題意,有=4.整理,得4x2-y2-4=0.故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為4x2-y2-4=0(x±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.對(duì)于方程,其判別式=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而當(dāng)1或-1為方程的根時(shí),m的值為-1或1.結(jié)合題設(shè)(m>0)可知,m>0,且m1.設(shè)Q,R的坐標(biāo)分別為(xQ,yQ),(xR,yR),則xQ,xR為方程的兩根,因?yàn)閨PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|.因?yàn)閤Q=,xR=,且Q,R在同一條直線上,所以=1+.此時(shí)>1,且2,所以1<1+<3,且1+,所以1<<3,且.綜上所述,的取值范圍是.11.解 (1)設(shè)F(c,0).由,即,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,橢圓的方程為=1.(2)設(shè)直線l的斜率為k(k0),則直線l的方程為y=k(x-2).設(shè)B(xB,yB),由方程組消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由題意得xB=,從而yB=.由(1)知,F(1,0),設(shè)H(0,yH),有=(-1,yH),.由BFHF,得=0,所以=0,解得yH=.因此直線MH的方程為y=-x+.設(shè)M(xM,yM),由方程組消去y,解得xM=.在MAO中,MOA=MAO|MA|=|MO|,即(xM-2)2+,化簡(jiǎn)得xM=1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直線l的斜率為-.二、思維提升訓(xùn)練12.D解析 雙曲線C的離心率為,e=,即c=a,a=b.其漸近線方程為y=±x,則(4,0)到C的漸近線距離d=2.13.C解析 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),由拋物線的定義,得|MF|=x0+=5,則x0=5-.因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)為,所以以MF為直徑的圓的方程為(x-x0)·+(y-y0)y=0.將x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,解得y0=4.由=2px0,得16=2p,解得p=2或p=8.所以C的方程為y2=4x或y2=16x.故選C.14.2解析 該雙曲線的右準(zhǔn)線方程為x=,兩條漸近線方程為y=±x,得P,Q,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四邊形F1PF2Q的面積S=2=2.15.y=±x解析 拋物線x2=2py的焦點(diǎn)F,準(zhǔn)線方程為y=-.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=y1+y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.聯(lián)立雙曲線與拋物線方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=p,所以.所以該雙曲線的漸近線方程為y=±x.16.解 (1)由已知可得,點(diǎn)P滿足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1是一個(gè)橢圓,其中2a=2,2c=2.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程為=1.(2)設(shè)N(t,t2),則PQ的方程為y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2.聯(lián)立方程組消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=×|x1-x2|=,點(diǎn)M到PQ的高為h=,由SMPQ=|PQ|h代入化簡(jiǎn),得SMPQ=,當(dāng)且僅當(dāng)t2=10時(shí),SMPQ可取最大值.17.解 (1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),則+y2=1.連接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y-1,1.因?yàn)閍>1,所以當(dāng)y=-1,即1<a3時(shí),取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,與條件矛盾;當(dāng)y=>-1,即a>3時(shí),的最大值是,由條件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).綜上所述,橢圓的方程是+y2=1.(2)設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則滿足=1,=1,兩式相減,整理,得=-=-,從而直線PQ的方程為y-y0=-(x-x0).又右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)是(2,0),將點(diǎn)F2的坐標(biāo)代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因?yàn)橹本€l與x軸不垂直,所以2x0-=5>0,從而0<x0<2.假設(shè)在線段OF2上存在點(diǎn)M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形,則線段PQ的垂直平分線必過(guò)點(diǎn)M,而線段PQ的垂直平分線方程是y-y0=(x-x0),將點(diǎn)M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,從而m.