2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 課時跟蹤訓(xùn)練61 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 文

2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 課時跟蹤訓(xùn)練61 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 文1(2016·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo)解(1)C1的普通方程為y21.C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos，sin)因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值，d().當(dāng)sin1時，d的最小值為，此時2k，kZ，P點(diǎn)坐標(biāo)為.2(2016·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos.(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan02，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.解(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2(y1)2a2，C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓將xcos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為22sin1a20.(2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組若0，由方程組得16cos28sincos1a20，由已知tan2，可得16cos28sincos0，從而1a20，解得a1(舍去)，a1.a1時，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，在C3上，所以a1.3(2018·湖北七市聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為8cos.(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程，并指出其表示何種曲線；(2)若曲線C1與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值和最小值解(1)對于曲線C2有8cos，即24cos4sin，因此曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y24x4y0，其表示一個圓(2)聯(lián)立曲線C1與曲線C2的方程可得t22sin·t130，|AB|t1t2|，因此|AB|的最小值為2，最大值為8.4(2017·東北三省四市二模)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系曲線C1的極坐標(biāo)方程為4cos，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；(2)若曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線C1上的點(diǎn)P的極角為，Q為曲線C2上的動點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線l的距離的最大值解(1)由4cos得24cos，又x2y22，xcos，ysin，所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2y24x0，由直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t得直線l的普通方程為x2y30.(2)因?yàn)辄c(diǎn)P的極坐標(biāo)為，直角坐標(biāo)為(2,2)，點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為(2cos，sin)，所以M，點(diǎn)M到直線l的距離d，當(dāng)k(kZ)，即k(kZ)時，點(diǎn)M到直線l的距離d的最大值為.5(2017·西寧統(tǒng)一測試)已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值解(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos，3sin)到l的距離為d|4cos3sin6|，則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan.當(dāng)sin()1時，|PA|取得最大值，最大值為.當(dāng)sin()1時，|PA|取得最小值，最小值為.能力提升6(2017·陜西西安地區(qū)高三八校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2sin，0,2(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)在曲線C上求一點(diǎn)D，使它到直線l：(t為參數(shù))的距離最短，并求出點(diǎn)D的直角坐標(biāo)解(1)由2sin，0,2，可得22sin.因?yàn)?x2y2，siny，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0(或x2(y1)21)(2)因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，消去t得直線l的普通方程為yx5.因?yàn)榍€C：x2(y1)21是以G(0,1)為圓心、1為半徑的圓，(易知C、l相離)設(shè)點(diǎn)D(x0，y0)，且點(diǎn)D到直線l：yx5的距離最短，所以曲線C在點(diǎn)D處的切線與直線l：yx5平行即直線GD與l的斜率的乘積等于1，即×()1，又x(y01)21，可得x0(舍去)或x0，所以y0，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為.7(2017·湖南五市十校高三聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C：(為參數(shù))相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)若，求線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若直線l的斜率為2，且過已知點(diǎn)P(3,0)，求|PA|·|PB|的值解(1)由曲線C：(為參數(shù))，可得曲線C的普通方程是x2y21.當(dāng)時，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入曲線C的普通方程，得t26t160，設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t26，所以線段AB的中點(diǎn)對應(yīng)的t3，故線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，化簡得(cos2sin2)t26tcos80，則|PA|·|PB|t1t2|，由已知得tan2，故|PA|·|PB|.8在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(為參數(shù))，其中a>b>0.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2cos，射線l：(0)若射線l與曲線C1交于點(diǎn)P，射線l與曲線C2交于點(diǎn)Q，當(dāng)0時，|PQ|1；當(dāng)時，|OP|.(1)求曲線C1的普通方程；(2)設(shè)直線l：(t為參數(shù)，t0)與曲線C2交于點(diǎn)R，若，求OPR的面積解(1)因?yàn)榍€C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，且a>b>0，所以曲線C1的普通方程為1，而其極坐標(biāo)方程為1.將0(0)代入1，得a，即點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(a,0)，將0(0)代入2cos，得2，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,0)因?yàn)閨PQ|1，所以|PQ|a2|1，所以a1或a3.將(0)代入1，得b，即點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，因?yàn)閨OP|，所以b，因?yàn)閍>b>0，所以a3，所以曲線C1的普通方程為1.(2)因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t0)，所以直線l的普通方程為yx(x0)，而其極坐標(biāo)方程為(R，0)，所以將直線l的方程代入曲線C2的方程2cos，得1，即|OR|1.因?yàn)閷⑸渚€l的方程(0)代入曲線C1的方程1，得，即|OP|，所以SOPR|OP|OR|·sinPOR××1×sin.