中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 幾何題中用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”模型

中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 幾何題中用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”模型一、教學(xué)目標(biāo)：1.了解并熟悉“手拉手模型”，歸納掌握其基本特征2.借助“手拉手模型”，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等解決相關(guān)問題3.舉一反三，解決求定值，定角，最值等一類問題二、教學(xué)重難點(diǎn)：1.挖掘和構(gòu)造“手拉手模型”，學(xué)會用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等2.用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的解題方法最優(yōu)化選擇三、教學(xué)過程：1.復(fù)習(xí)舊知師：如圖，ABD，BCE為等邊三角形，從中你能得出哪些結(jié)論？生：（1）ABEDBC （2）ABGDBF （3）CFBEGB （4）BFG為等邊三角形 （5）AGBDGH （6）DHA60°（7）H，G，F(xiàn)，B四點(diǎn)共圓 （8）BH平分AHC 師：我們再來重點(diǎn)研究ABE與DBC，這兩個(gè)全等的三角形除了對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等外，還有什么共同特征呢？生：它們有同一個(gè)字母B，即同一個(gè)頂點(diǎn)B師：我們也可以把DBC看作由ABE經(jīng)過怎樣的圖形運(yùn)動(dòng)得到？生：繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到2.引入新課師：其實(shí)我們可以給這兩個(gè)全等的三角形賦予一個(gè)模型，叫“手拉手模型”，誰可以將這個(gè)模型的特征再做進(jìn)一步的簡化歸納呢？生：對應(yīng)邊相等師：我們可以稱之為“等線段”生：有同一個(gè)頂點(diǎn)師：我們可以稱之為“共頂點(diǎn)”師：等線段，共頂點(diǎn)的兩個(gè)全等三角形，我們一般可以考慮哪一種圖形運(yùn)動(dòng)？生：旋轉(zhuǎn)師： “手拉手模型”可以歸納為：等線段，共頂點(diǎn)，一般用旋轉(zhuǎn)3.小題熱身圖3圖2圖11如圖1，BAD中，BAD45°，ABAD，AEBD于E，BCAD于C， 則AF_BE2如圖2，ABC和BED均為等邊三角形，ADE三點(diǎn)共線，若BE2，CE4，則AE_3如圖3，正方形ABCD中，EAF45°， BE3，DF5，則EF_師：我們來看第1，第2題，這里面有“手拉手模型”嗎？請你找出其中的“等線段，共頂點(diǎn)”生：題1中，等線段是AC，BC，共頂點(diǎn)是C，ACF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得BCD 題2中，等線段是AB，BC，共頂點(diǎn)是B，ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得CBE師：我們再來看第3題，這里有“手拉手模型”嗎？生：沒有 師：那其中有沒有“等線段，共頂點(diǎn)”呢？生：等線段是AD，AB，共頂點(diǎn)是A師：我們可否利用旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造“手拉手模型”呢？生：將AE旋轉(zhuǎn)，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°師：為什么是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，你是如何思考的？生：我準(zhǔn)備構(gòu)造一個(gè)和ABE全等的三角形， AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即為AD，那么將AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得AG，連接GD，證明全等師：說的不錯(cuò)，誰能再來歸納一下，借助“手拉手模型”，用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的方法嗎？生：先找有沒有“等線段，共頂點(diǎn)”，再找其中一條 “共頂點(diǎn)”的線段，將其旋轉(zhuǎn)師：旋轉(zhuǎn)角度如何確定，方向怎么選擇？生：選擇其中一個(gè)三角形，將“共頂點(diǎn)”的線段旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角為兩條“等線段”間的夾角方向應(yīng)與所選擇的起始“等線段”旋轉(zhuǎn)到另一條“等線段”時(shí)的方向一致師：非常棒，可以說，你已經(jīng)掌握了這節(jié)課的精髓但是，很多題目中只是隱含了“手拉手模型”的一些條件，剩余的需要我們自己去構(gòu)造，可以如何構(gòu)造呢？步驟1：先找有沒有“等線段，共頂點(diǎn)”步驟2：選擇其中一個(gè)三角形，將其中經(jīng)過 “共頂點(diǎn)”的線段旋轉(zhuǎn)步驟3：旋轉(zhuǎn)方向與這個(gè)三角形的“等線段”旋轉(zhuǎn)到另一條“等線段”的方向一致，旋轉(zhuǎn)角為“等線段”間的夾角師：這道題還有一個(gè)要注意的地方，你發(fā)現(xiàn)了嗎？生：連接GD后，要證明G，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線4.例題精講例1：等邊ABC中，AD4，DC3，BD5，求ADC度數(shù)師：這里有沒有隱含的“手拉手模型”？要構(gòu)造全等，該怎樣旋轉(zhuǎn)？生：將ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°師：你是怎么想的，還有其他做法嗎？生：我發(fā)現(xiàn)ABAC，A為“共頂點(diǎn)”，我選擇的旋轉(zhuǎn)線段是AD，因?yàn)锳C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AB，所以ADC也要繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°也可將ADB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°【解答】將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AE，連接BE，DE則ADE也為等邊三角形易證AEBADC，BEDC4，根據(jù)勾股定理逆定理，可證BED90°，則AEBADC150°例2：如圖，ABO和CDO均為等腰直角三角形， ÐAOBÐCOD90°若BOC的面積為1， 試求以AD、BC、OCOD的長度為三邊長的三角形的面積 師：由于線段分散，如何通過圖形變換，使這些線段能構(gòu)成一個(gè)三角形？生：將OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至OE，即可使OC，OD共線，再通過證明確定BCE即是以AD、BC、OCOD的長度為三邊長的三角形【解答】如圖，將OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至OE，連接BE易證OADOBE，ADBE，BCE即是以AD、BC、OCOD長度為三邊長的三角形又OCOE，SBCE2SBOC25.自主練習(xí)1如圖，在四邊形ABCD中，AD4，CD3，ABCACBADC45°，則BD的長為 _師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法生：“等線段”是CA和BA，“共頂點(diǎn)”是A方法是將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°2如圖，在ABC中，BC2，AB，以AC為邊，向外做正方形ACDE，連接BE，則BE最大值為_師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法生：“等線段”是CA和EA，“共頂點(diǎn)”是A方法是將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°師：你為何要逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，你準(zhǔn)備旋轉(zhuǎn)哪個(gè)三角形？生：ABC，因?yàn)锳C是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AE，所以AB也繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°3如圖，點(diǎn)A在B上，AB1，BC2，ACD是等邊三角形，求BCD面積的最大值師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法生：“等線段”是CA和CD，“共頂點(diǎn)”是C方法是將CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°附：自主練習(xí)解答1 如圖，將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE，易證EACDAB，可得CEBD，又EDA45°，CDE90°，CD3，DE4，則RtCDE中，CE2CD2DE232 (4)241CE，DB2.如圖，將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AF，易證EAFCAB，可得EFBC2RtBAF中，AFAB，BF2由三角形三邊關(guān)系易知，BEEFBF，BE最小值為4.3.如圖，將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至CE，連接DE，過點(diǎn)E作EFCB于F，過點(diǎn)D作DGCB于G易證CBACED， 則DE1，EF，過E作DG邊上的高，可證DGDEEF當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，DGDEEF即高的最大值為1， SBCDmax×2×（1）1