（江蘇專版）2018年高考數(shù)學二輪復(fù)習 第1部分 知識專題突破 專題2 函數(shù)學案

專題二函數(shù)命題觀察·高考定位(對應(yīng)學生用書第4頁)1(2017·江蘇高考)設(shè)f (x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間0,1)上，f (x)其中集合D，則方程f (x)lg x0的解的個數(shù)是_8由于f (x)0,1)，則只需考慮1x<10的情況在此范圍內(nèi)，當xQ且xZ時，設(shè)x，p，qN*，p2且p，q互質(zhì)，若lg xQ，則由lg x(0,1)，可設(shè)lg x，m，nN*，m2且m，n互質(zhì)，因此10，則10nm，此時左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此lg xQ，因此lg x不可能與每個周期內(nèi)xD對應(yīng)的部分相等，只需考慮lg x與每個周期xD部分的交點畫出函數(shù)草圖圖中交點除(1,0)外其他交點橫坐標均為無理數(shù)，屬于每個周期xD部分，且x1處(lg x)<1，則在x1附近僅有一個交點，因此方程解的個數(shù)為8.2(2016·江蘇高考)函數(shù)y的定義域是_. 【導(dǎo)學號：56394007】3,1要使函數(shù)有意義，需32xx20，即x22x30，得(x1)(x3)0，即3x1，故所求函數(shù)的定義域為3,13(2016·江蘇高考)設(shè)f (x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1)上，f (x)其中aR.若f f ，則f (5a)的值是_因為函數(shù)f (x)的周期為2，結(jié)合在1,1)上f (x)的解析式，得f f f a，f f f .由f f ，得a，解得a.所以f (5a)f (3)f (41)f (1)1.4(2013·江蘇高考)已知f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f (x)x24x，則不等式f (x)x的解集用區(qū)間表示為_(5,0)(5，)設(shè)x0，則x0，于是f (x)(x)24(x)x24x，由于f (x)是R上的奇函數(shù)，所以f (x)x24x，即f (x)x24x，且f (0)0，于是f (x)當x0時，由x24xx得x5；當x0時，由x24xx得5x0，故不等式的解集為(5,0)(5，)5(2015·江蘇高考)已知函數(shù)f (x)|ln x|，g(x)則方程|f (x)g(x)|1實根的個數(shù)為_4當0x1時，方程為ln x1，解得x.當1x2時，f (x)g(x)ln x2x2單調(diào)遞減，值域為(ln 22,1)，方程f (x)g(x)1無解，方程f (x)g(x)1恰有一解當x2時，f (x)g(x)ln xx26單調(diào)遞增，值域為ln 22，)，方程 f (x)g(x)1恰有一解，方程f (x)g(x)1恰有一解綜上所述，原方程有4個實根命題規(guī)律(1)以填空題形式呈現(xiàn)，考查對數(shù)函數(shù)、含無理式的函數(shù)的定義域；函數(shù)的圖象與性質(zhì)；函數(shù)的奇偶性 、周期性與分段函數(shù)結(jié)合，考查函數(shù)的求值與計算；以二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)為主，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)綜合考查分析與解決問題的能力；考查數(shù)形結(jié)合解決問題的能力等(2)在大題中以導(dǎo)數(shù)為工具研究討論函數(shù)的性質(zhì)、不等式求解等綜合問題函數(shù)是高考數(shù)學考查的重點內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點和思想方法貫穿整個高中數(shù)學的全過程，包括解決幾何問題在近幾年的高考試卷中，填空題、解答題中每年都有函數(shù)試題，而且?？汲Ｐ乱曰竞瘮?shù)為背景的應(yīng)用題和綜合題是高考命題的新趨勢主干整合·歸納拓展(對應(yīng)學生用書第4頁)第1步 核心知識再整合1函數(shù)的性質(zhì)(1)函數(shù)的奇偶性：定義：一般地，如果對于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f (x)f (x)，那么函數(shù)f (x)叫做偶函數(shù)；如果都有f (x)f (x), 那么函數(shù)f (x)叫做奇函數(shù)，函數(shù)具有奇偶性，則定義域關(guān)于原點對稱圖象特征：函數(shù)f (x)是偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱；函數(shù)f (x)是奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同，且如果在x0處有定義，有f (0)0，即其圖象過原點(0,0)，偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反，且f (x)f (x)f (|x|)，這樣就可以把研究整個函數(shù)具有的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上，是簡化問題的途徑，切記！(2)函數(shù)的單調(diào)性：定義法：對于定義域內(nèi)某一個區(qū)間D內(nèi)任意的x1，x2，且x1x2，若f (x1)f (x2)f (x)在D上單調(diào)遞增；若f (x1)f (x2)f (x)在D上單調(diào)遞減導(dǎo)數(shù)法：若函數(shù)在某個區(qū)間D可導(dǎo)，如果f (x)0，那么函數(shù)f (x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增；如果f (x)0，那么函數(shù)f (x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞減圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象的上升或下降，從而確定單調(diào)區(qū)間F(x)f (x)g(x)，若f (x)，g(x)都是增函數(shù)，則F(x)在其公共定義域內(nèi)是增函數(shù)；若f (x)，g(x)都是減函數(shù)，則F(x)在其公共定義域內(nèi)是減函數(shù)F(x)f (x)g(x)，若f (x)是增函數(shù)，g(x)是減函數(shù)，則F(x)在其公共定義域內(nèi)是增函數(shù)；若f (x)是減函數(shù)，g(x)是增函數(shù)，則F(x)在其公共定義域內(nèi)是減函數(shù)同時要充分利用函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)圖象的直觀性分析轉(zhuǎn)化，函數(shù)的單調(diào)性往往與不等式的解、方程的解等問題交匯，要注意這些知識的綜合運用(3)周期性：若f (xa)f (x)(a0)，則函數(shù)f (x)是周期函數(shù)，且T2a；若f (xa)，則函數(shù)f (x)是周期函數(shù)，且T2a；若f (xa)，則函數(shù)f (x)是周期函數(shù)，且T2a.函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性，知二斷一例：f (x)是奇函數(shù)，且最小正周期是2，則f (x2)f (x)f (x)，所以f (x)關(guān)于(1,0)對稱f (x)是偶函數(shù)，且圖象關(guān)于x1對稱，則f (2x)f (x)f (x)，所以f (x)周期是2.2函數(shù)圖象(1)函數(shù)圖象的畫法：描點法作函數(shù)圖象，應(yīng)注意在定義域內(nèi)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，選取關(guān)鍵的一部分點連接而成圖象變換法，包括有平移變換、伸縮變換、對稱翻折變換f (x)f (xa)，f (x)f (x)k，f (x) f (x)(0，1)，f (x)Af (x)(A0，A1)，f (|x|)的圖象的畫法：先畫x0時yf (x)，再將其關(guān)于y軸對稱，得y軸左側(cè)的圖象 .|f (x)|的圖象畫法：先畫yf (x)的圖象，然后位于x軸上方的圖象不變，位于x軸下方的圖象關(guān)于x軸翻折上去f (ax)f (ax)yf (x)的圖象關(guān)于xa對稱；f (ax)f (ax)yf (x)的圖象關(guān)于(a,0)點對稱yf (x)的圖象關(guān)于x軸對稱的函數(shù)圖象解析式為yf (x)；關(guān)于y軸對稱的函數(shù)解析式為yf (x)；關(guān)于原點對稱的函數(shù)解析式為yf (x)(2)熟記基本初等函數(shù)的圖象，以及形如yx的圖象：圖213指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)冪函數(shù)yx圖象永遠過(1,1)，且當0時，在x(0，)上單調(diào)遞增；當0時，在x(0，)上單調(diào)遞減4函數(shù)與方程(1)方程f (x)0有實根函數(shù)yf (x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf (x)有零點(2)如果函數(shù)yf (x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f (a)·f (b)0，那么，函數(shù)yf (x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得f (c)0，這個c也就是方程f (x)0的根(3)若函數(shù)yf (x)在區(qū)間(a，b)上有f (a)·f (b)0，若能找到一個自變量c(a，b)，且f (a)·f (c)0或f (c)·f (b)0，則函數(shù)yf (x)在區(qū)間(a，b)上有零點(4)函數(shù)yf (x)的零點就是f (x)0的根，所以可通過解方程得零點，或者通過變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)圖象的交點橫坐標(5)函數(shù)的零點就是函數(shù)yf (x)的圖象與x軸有交點的橫坐標，所以往往利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合極值和單調(diào)性畫出函數(shù)大致圖象，并結(jié)合零點存在性定理判斷零點所在的區(qū)間第2步 高頻考點細突破函數(shù)定義域及其表示【例1】(江蘇省南通市如東縣、徐州市豐縣2017屆高三10月聯(lián)考)函數(shù)f (x)lg(x1)的定義域是_. 【導(dǎo)學號：56394008】解析由題意得x1且x1，所以定義域是(1,1)(1，)答案(1,1)(1，)【例2】(江蘇省如東高級中學2017屆高三上學期第二次學情調(diào)研)設(shè)函數(shù)f (x)則f (2)f (log212)_.解析因為f (2)1log243，f (log212)6，所以f (2)f (log212)9，故應(yīng)填答案9.答案9規(guī)律方法(1)若已知解析式求函數(shù)定義域，只需列出使解析式有意義的不等式(組)即可(2)對于復(fù)合函數(shù)求定義域問題，若已知f (x)的定義域a，b，則復(fù)合函數(shù)f (g(x)的定義域由不等式ag(x)b得到(3)對于分段函數(shù)，知道自變量求函數(shù)值或者知道函數(shù)值求自變量的問題，應(yīng)依據(jù)已知條件準確找出利用哪一段求解舉一反三1(泰州中學20162017年度第一學期第一次質(zhì)量檢測)函數(shù)f (x)的定義域為_(0，由題意得12log6x0log6x0x6，即定義域為(0，2(江蘇省南通市如東高中2017屆高三上學期第二次調(diào)研)已知函數(shù)f (x)當x(，m時，f (x)的取值范圍為16，)，則實數(shù)m的取值范圍是_2,8x0時，f (x)12xx3，f (x)3(x2)(x2)，x2時，函數(shù)單調(diào)遞減，2x0時，函數(shù)單調(diào)遞增，當x2時，圖象在y軸左側(cè)的函數(shù)取到極小值16，當x8時，y2x16，當x(，m時，f (x)的取值范圍為16，)，則實數(shù)m的取值范圍是2,8故答案為：2,8函數(shù)的性質(zhì)【例3】(江蘇省如東高級中學2017屆高三上學期第二次學情調(diào)研)已知函數(shù)f (x)在定義域2a,3上為偶函數(shù)，在0,3上單調(diào)遞減，并且f f (m22m2)，則m的取值范圍是_解析由偶函數(shù)的定義可得2a30，則a5，因為m210，m22m2(m1)210，且f (m21)f (m21)，f (m22m2)f (m22m2)，所以m21m22m23，解之得1m.故應(yīng)填1m.答案【例4】(江蘇省泰州中學2017屆高三上學期第二次月考)已知奇函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線x2對稱，當x0,2時，f (x)2x，則f (9)_.解析圖象關(guān)于直線x2對稱，f (4x)f (x)，f (x)是奇函數(shù)，f (x)f (x)，f (4x)f (x)，即f (4x)f (x)，故f (x8)f (x4)4f (x4)f (x)，進而f (x8)f (x)，f (x)是以8為周期的周期函數(shù)f (9)f (1)2.答案2規(guī)律方法(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般思路：對于填空題，若能畫出圖象，一般用數(shù)形結(jié)合法；而對于由基本初等函數(shù)通過加、減運算或復(fù)合而成的函數(shù)，常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)單調(diào)性的判斷問題；對于解析式較復(fù)雜的，用導(dǎo)數(shù)法或定義法(2)對于函數(shù)的奇偶性的判斷，首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，其次再看f (x)與f (x)的關(guān)系(3)重視對函數(shù)概念和基本性質(zhì)的理解，包括定義域、值域(最值)、對應(yīng)法則、對稱性(包括奇偶性)、單調(diào)性、周期性、圖象變換、基本初等函數(shù)(載體)，研究函數(shù)的性質(zhì)要注意分析函數(shù)解析式的特征，同時要注意圖象(形)的作用，善于從形的角度研究函數(shù)的性質(zhì)舉一反三(泰州中學20162017年度第一學期第一次質(zhì)量檢測文科)已知函數(shù)f (x)是奇函數(shù)，當x0時，f (x)x23asin，且f (3)6，則a_.5f (3)6f (3)6，所以f (3)93asin6a5.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)【例5】(泰州中學20162017年度第一學期第一次質(zhì)量檢測文科)已知冪函數(shù)yf (x)的圖象經(jīng)過點，則f 的值為_. 【導(dǎo)學號：56394009】解析設(shè)yf (x)x，則4，因此f 2.答案2【例6】(泰州中學20162017年度第一學期第一次質(zhì)量檢測)函數(shù)f (x)loga(x1)1(a1且a1)恒過定點_解析因為loga10，所以恒過定點(2,1)答案(2,1)規(guī)律方法(1)對數(shù)函數(shù)的定義域為x|x0，指數(shù)函數(shù)的值域y|y0(2)熟練掌握指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)以及指對互化；熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當?shù)讛?shù)的范圍不確定時要分類討論(3)注意利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想解題舉一反三(泰州中學20162017年度第一學期第一次質(zhì)量檢測)函數(shù)f (x)x22(a1)x2在區(qū)間1,4上為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是_(，05，)由題意得函數(shù)f (x)x22(a1)x2的對稱軸為xa1，函數(shù)f (x)x22(a1)x2在區(qū)間1,4上為單調(diào)函數(shù)，所以a14或a11a5或a0，實數(shù)a的取值范圍為(，05，)函數(shù)的零點【例7】(泰州中學20162017年度第一學期第一次質(zhì)量檢測文科)定義在R上的奇函數(shù)f (x)，當x0時，f (x)則函數(shù)F(x)f (x)的所有零點之和為_解析由圖知，共五個零點，從左到右交點橫坐標依次設(shè)為x1，x2，x3，x4，x5，滿足x1x26，x3，x4x56，因此所有零點之和為.答案規(guī)律方法(1)求f (x)的零點值時，直接令f (x)0解方程，當f (x)為分段函數(shù)時，要分段列方程組求解；(2)已知f (x)在區(qū)間a，b上單調(diào)且有零點時，利用f (a)f (b)0討論；(3)求f (x)的零點個數(shù)時，一般用數(shù)形結(jié)合法；討論函數(shù)yf (x)與yg(x)的圖象交點個數(shù)，即方程f (x)g(x)的解的個數(shù)，一般用數(shù)形結(jié)合法(4)已知零點存在情況求參數(shù)的值或取值范圍時，利用方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解舉一反三(2017·江蘇省鹽城市高考數(shù)學二模)若函數(shù)f (x)x2mcos xm23m8有唯一零點，則滿足條件的實數(shù)m組成的集合為_2由題意，函數(shù)為偶函數(shù)，在x0處有定義且存在唯一零點，所以唯一零點為0，則02mcos 0m23m80，m4或2，m4代回原式，令函數(shù)等于0分離得兩個函數(shù)畫圖存在有多個零點，不符題意，僅m2存在唯一零點故答案為2函數(shù)模型及其應(yīng)用【例8】(江蘇省泰州中學2017屆高三摸底考試)某企業(yè)投入81萬元經(jīng)銷某產(chǎn)品，經(jīng)銷時間共60個月，市場調(diào)研表明，該企業(yè)在經(jīng)銷這個產(chǎn)品期間第x個月的利潤函數(shù)f (x)(單位：萬元)為了獲得更多的利潤，企業(yè)將每月獲得的利潤再投入到次月的經(jīng)營中記第x個月的利潤率為g(x)，例如g(3).(1)求g(10)；(2)求第x個月的當月利潤率；(3)求該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，哪一個月的當月利潤率最大，并求出該月的當月利潤率解(1)依題意得f (1)f (2)f (3)f (9)1，g(10).(2)當x1時，g(1).當1x20時，f (1)f (2)f (x1)f (x)1，則g(x)，而x1也符合上式，故當1x20時，g(x).當21x60時，g(x)，所以第x個月的當月利潤率為g(x)(3)當1x20時，g(x)是減函數(shù)，此時g(x)的最大值為g(1).當21x60時，g(x).，當x40時，g(x)有最大值為.即該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，第40個月的當月利潤率最大，其當月利潤率為.規(guī)律方法(1)給出圖象的題目要注意從圖象中提取信息，這類題目常常是先求解析式，再討論有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)或求最值、解不等式等(2)實際應(yīng)用問題，要注意將背景中涉及題目解答的部分先行翻譯為數(shù)學解題語言，并將條件和結(jié)論與學過的數(shù)學知識方法掛靠，依據(jù)相關(guān)知識與方法解決舉一反三(2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學二模)某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量(單位：百千克)與肥料費用x(單位：百元)滿足如下關(guān)系：4，且投入的肥料費用不超過5百元此外，還需要投入其他成本2x(如投入的人工費用等)百元已知這種水蜜桃的市場價格為16元/千克(即16百元/百千克)，且市場需求始終供不應(yīng)求記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為L(x)(單位：百元)(1)求利潤函數(shù) L(x)的關(guān)系式，并寫出定義域；(2)當投入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？解(1)L(x)16x2x643x(0x5)(單位百元)(2)法一：L(x)67672×3×43，當且僅當x3時取等號當投入的肥料費用為300元時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大，最大利潤是4 300元法二：L(x)3，令：L(x)0，解得x3.可得x(0,3)時，L(x)0，函數(shù)L(x)單調(diào)遞增；x(3,5時，L(x)0，函數(shù)L(x)單調(diào)遞減當x3時，函數(shù)L(x)取得極大值即最大值當投入的肥料費用為300元時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大，最大利潤是4 300元第3步 高考易錯明辨析1混淆對稱性與周期性出錯若函數(shù)f (x)對一切實數(shù)x都有f f ，且f (1)4，求f (3)錯解函數(shù)f (x)對一切實數(shù)x都有f f ，函數(shù)是周期函數(shù)，且周期T2，f (3)f (1)4.錯解分析(1)條件“f f ”不是周期性，而是對稱性，應(yīng)是函數(shù)關(guān)于x1對稱(2)若函數(shù)f (x)對一切實數(shù)x都有f (xa)f (bx)，則其圖象關(guān)于x對稱，若函數(shù)f (x)對一切實數(shù)x都有f (xa)f (xb)(ab)，則yf (x)是周期函數(shù)，且其中一個周期為Tab.正解函數(shù)f (x)對一切實數(shù)x都有f f ，即f (t)f (2t)，tR，恒成立，函數(shù)yf (x)的圖象關(guān)于x1對稱，f (3)f (1)4.2不能正確理解定義域與在某區(qū)間上有意義若函數(shù)f (x)在區(qū)間3，)上有意義，求實數(shù)a的取值范圍錯解由題意，不等式ax20的解集是3，)，于是x3是方程ax20的根，代入求得a.錯解分析分不清“函數(shù)f (x)的定義域是3，)”與“函數(shù)f (x)在區(qū)間3，)上有意義”而致誤若f (x)在M上有意義，則M是函數(shù)f (x)定義域的子集正解因為函數(shù)f (x)在區(qū)間3，)上有意義，所以，不等式ax20對x3，)恒成立，即a對x3，)恒成立，而，即a.專家預(yù)測·鞏固提升(對應(yīng)學生用書第8頁)1設(shè)x，yR，且滿足則xy_. 【導(dǎo)學號：56394010】4設(shè)f (x)x32xsin x，xR，所以f (x)x32xsin xf (x)，則f (x)為奇函數(shù)，又f (x)3x22cos x0，即函數(shù)f (x)在R上單調(diào)遞增，由題意可知，f (x2)2，f (y2)2，所以f (x2)f (y2)220，即f (x2)f (y2)f (2y)，因為函數(shù)f (t)單調(diào)遞增，所以x22y，即xy4，故答案為4.2(改編題)設(shè)函數(shù)f (x)(aR，e為自然對數(shù)的底數(shù))若曲線ysin x上存在一點(x0，y0)，使得f (f (y0)y0，則a的取值范圍是_1，e由題設(shè)可知y0sin x01,1且f (y0).因為ysin x存在點P(x0，y0)使得f (f (y0)y0，所以存在y00,1使得f (y0)y0，即f (x)x在0,1上有解，也即exxx2a在0,1上有解令h(x)exxx2，x0,1，則當x0,1時，h(x)ex12x0，故h(0)h(x)h(1)，即1ae，故應(yīng)填答案1，e 12