高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練八 第1講 幾何證明選講 理

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練八 第1講 幾何證明選講 理考情解讀本講主要考查相似三角形與射影定理，圓的切線及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理，圓周角定理及弦切角定理，相交弦、切割線、割線定理等，本部分內(nèi)容多數(shù)涉及圓，并且多是以圓為背景設(shè)計(jì)的綜合性考題，考查邏輯推理能力1(1)相似三角形的判定定理判定定理1：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似判定定理2：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似判定定理3：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似(2)相似三角形的性質(zhì)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)2(1)圓周角定理圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半(2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)3(1)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角(2)圓內(nèi)接四邊形判定定理如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓4(1)圓的切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑(2)圓的切線的判定定理經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(3)弦切角定理弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角(4)相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等(5)切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)5證明等積式成立，應(yīng)先把它寫(xiě)成比例式，找出比例式中給出的線段所在三角形是否相似，若不相似，則進(jìn)行線段替換或等比替換6圓冪定理與圓周角、弦切角聯(lián)合應(yīng)用時(shí)，要注意找相等的角，找相似三角形，從而得出線段的比由于圓冪定理涉及圓中線段的數(shù)量計(jì)算，所以應(yīng)注意代數(shù)法在解題中的應(yīng)用熱點(diǎn)一相似三角形及射影定理例1如圖所示，在RtABC中，ACB90°，CDAB于D，且ADBD94，則ACBC的值為_(kāi)答案32解析方法一因?yàn)锳CB90°，CDAB于D，所以由射影定理，得AC2AD·AB，BC2BD·AB.所以()2.又ADBD94，所以ACBC32.方法二因?yàn)锳DBD94，所以可設(shè)AD9k，BD4k，kR.又ACB90°，CDAB于D，由射影定理，得CD2AD·BD，所以CD6k.由勾股定理，得AC3和BC2，所以ACBC32.思維升華含斜邊上的高的直角三角形是相似三角形中的基本圖形，本題中出現(xiàn)多對(duì)相似三角形，這為解決問(wèn)題提供了許多可以利用的有效信息另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性質(zhì)在直角三角形中的一個(gè)經(jīng)典應(yīng)用，在類似問(wèn)題中應(yīng)用射影定理十分簡(jiǎn)捷 如圖，BD，AEBC，ACD90°，且AB6，AC4，AD12，BE的長(zhǎng)為_(kāi)答案4解析AC4，AD12，ACD90°，CD2AD2AC2128，CD8.又AEBC，BD，ABEADC，BE4.熱點(diǎn)二相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用例2如圖所示，AB為O的直徑，P為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切O于點(diǎn)C，CDAB，垂足為D，且PA4，PC8，則tanACD和sin P的值為_(kāi)答案，解析連接OC，BC.因?yàn)镻C為O的切線，所以PC2PA·PB.故824·PB，所以PB16.所以AB16412.由條件，得PCAPBC，又PP，所以PCAPBC.所以.因?yàn)锳B為O的直徑，所以ACB90°.又CDAB，所以ACDB.所以tanACDtan B.因?yàn)镻C為O的切線，所以PCO90°.又O直徑為AB12，所以O(shè)C9，PO10.所以sin P.思維升華(1)求非特殊角的函數(shù)值的關(guān)鍵是將這些角歸結(jié)到直角三角形中，利用直角三角形的邊之比表示出角的三角函數(shù)值，然后根據(jù)已知條件將這些比值轉(zhuǎn)化為已知線段的比值(2)線段成比例的證明，一般利用三角形相似進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在圓中的相關(guān)問(wèn)題，應(yīng)注意靈活利用圓中的切割線定理、相交弦定理等求解相關(guān)線段的長(zhǎng)度或構(gòu)造比例關(guān)系 (xx·廣東)如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長(zhǎng)BC到D使BCCD，過(guò)C作圓O的切線交AD于E.若AB6，ED2，則BC_.答案2解析C為BD中點(diǎn)，且ACBC，故ABD為等腰三角形ABAD6，AE4，DE2，又AC2AE·AD4×624，AC2，在ABC中，BC2.熱點(diǎn)三圓的有關(guān)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3如圖，ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E.若ABC的面積SAD·AE，則BAC的大小為_(kāi)答案90°解析由已知條件，可得BAECAD.因?yàn)锳EB與ACD是同弧所對(duì)的圓周角，所以AEBACD.故ABEADC.所以，即AB·ACAD·AE.又SAB·ACsinBAC，且SAD·AE，故AB·ACsinBACAD·AE，則sinBAC1.又BAC為ABC的內(nèi)角，所以BAC90°.思維升華高考中對(duì)幾何證明的命題集中在圓和三角形、四邊形相結(jié)合的綜合性題目上，這類試題往往要綜合運(yùn)用多個(gè)定理和添加一定的輔助線才能解決已知圓的切線時(shí)，第一要考慮過(guò)切點(diǎn)和圓心的連線得直角；第二應(yīng)考慮弦切角定理；第三涉及線段成比例或線段的積時(shí)要考慮切割線定理同時(shí)注意四點(diǎn)共圓的判定及性質(zhì)的應(yīng)用 (xx·湖北)如圖，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，點(diǎn)D在半徑OC上的射影為E，若AB3AD，則的值為_(kāi)答案8解析易知CDOCED，設(shè)圓O半徑為R，則ADR，ODR，CD2R2(R)2R2，CER，EOR，故8.1證明兩角相等，關(guān)鍵是確定兩角之間的關(guān)系，多利用中間量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以通過(guò)證明三角形相似或全等，利用平行線的有關(guān)定理，如同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等等，也可利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用等腰三角形的兩個(gè)底角相等、圓中同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等尋找中間量進(jìn)行過(guò)渡2證明或?qū)ふ覉A內(nèi)接圖形中的角之間的關(guān)系，除了注意平面圖形中的垂直、平行關(guān)系之外，還應(yīng)注意弦切角、同弧所對(duì)角等性質(zhì)的靈活運(yùn)用真題感悟1(xx·湖南)如圖，已知AB，BC是O的兩條弦，AOBC，AB，BC2，則O的半徑等于_答案解析如圖，延長(zhǎng)AO交圓O于點(diǎn)D，連接BD，則ABBD.在RtABD中，AB2AE·AD.BC2，AOBC，BE.AB，AE1，AD3，r.2(xx·廣東)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上且EB2AE，AC與DE交于點(diǎn)F，則_.答案9解析在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镋B2AE，所以，故3.因?yàn)锳ECD，所以AEFCDF，所以()29.押題精練1.如圖，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點(diǎn)，則EF_.答案解析連接DE，由于E是AB的中點(diǎn)，故BE.又CD，ABDC，CBAB，四邊形EBCD是矩形在RtADE中，ADa，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，故EF.2(xx·陜西)如圖，ABC中，BC6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AC2AE，則EF_.答案3解析AA，AEFACB，AEFACB，2，EF3.3(xx·天津改編)如圖，ABC是圓的內(nèi)接三角形，BAC的平分線交圓于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B的圓的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.在上述條件下，給出下列四個(gè)結(jié)論：BD平分CBF；FB2FD·FA；AE·CEBE·DE；AF·BDAB·BF.則所有正確結(jié)論的序號(hào)是_答案解析對(duì)于，BF是圓的切線，CBFBAC，41.又AD平分BAC，12.又23，34，即BD平分CBF，故正確；對(duì)于，根據(jù)切割線定理有FB2FD·FA，故正確；對(duì)于，32，BEDAEC，BDEACE.，即AE·DEBE·CE，故錯(cuò)誤；對(duì)于，41，BFDAFB，BFDAFB，即AF·BDAB·BF，故正確(推薦時(shí)間：40分鐘)1(xx·湖北)如圖，P為O外一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.過(guò)PA的中點(diǎn)Q作割線交O于C，D兩點(diǎn)若QC1，CD3，則PB_.答案4解析由切割線定理得QA2QC·QD4，解得QA2.則PBPA2QA4.2(xx·重慶)過(guò)圓外一點(diǎn)P作圓的切線PA(A為切點(diǎn))，再作割線PBC依次交圓于B，C.若PA6，AC8，BC9，則AB_.答案4解析由切割線定理得PA2PB·PCPB·(PBBC)，即62PB·(PB9)，解得PB3(負(fù)值舍去)由弦切角定理知PABPCA，又APBCPA，故APBCPA，則，即，解得AB4.3如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P.若，則的值為_(kāi)答案解析PP，PCBPAD，PCBPAD.，.4如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF3，F(xiàn)B1，EF，則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)答案解析因?yàn)锳F·BFEF·CF，解得CF2，所以，即BD.設(shè)CDx，AD4x，所以4x2，所以x.5.如圖，在ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，AE交BC于點(diǎn)F，則的值為_(kāi)答案解析過(guò)點(diǎn)D作DMAF交BC于點(diǎn)M.點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，在BDM中，BFFM，又點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，在CAF中，CMMF，.6(xx·廣東)如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長(zhǎng)BC到D使BCCD，過(guò)C作圓O的切線交AD于E.若AB6，ED2，則BC_.答案2解析C為BD中點(diǎn)，且ACBC，故ABD為等腰三角形ABAD6，AE4，DE2，又AC2AE·AD4×624，AC2，在ABC中，BC2.7.如圖，PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點(diǎn)B，PB1，則圓O的半徑R_.答案解析由切割線定理可得PA2PB·PC，即PC4，所以BCPCPB3，因?yàn)锳C是圓O的直徑，所以ABC90°，所以AB2BC·BP3，所以AC2BC2AB29312，即AC2，所以2R2，即R.8如圖，AB，CD是圓O內(nèi)的兩條平行弦，BFAC，BF交CD于點(diǎn)E，交圓O于點(diǎn)F，過(guò)A點(diǎn)的切線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，若PCED1，PA2，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)答案解析PA是O的切線，由切割線定理得PA2PC·PD.PA2，PC1，PD4.又PCED1，CE2，由題意知四邊形ABEC為平行四邊形，ABCE2，連接BC，如圖，PA是O的切線，PACCBA.AB，CD是圓的兩條平行弦，PCACAB，PACCBA，AC2PC·AB2，AC.9如圖，已知AD5，DB8，AO3，則圓O的半徑OC的長(zhǎng)為_(kāi)答案5解析由圓的割線定理得，AE·ACAD·AB，即(AOOE)·(AOOC)AD·(ADDB)，即(3OC)·(3OC)5×(58)，解得OC5.10如圖，PA切O于點(diǎn)A，割線PBC經(jīng)過(guò)圓心O，OBPB1，OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到OD，則PD的長(zhǎng)為_(kāi)答案解析PA切O于點(diǎn)A，B為PO的中點(diǎn)，AOB60°，POD120°.在POD中，由余弦定理，得PD2PO2DO22PO·DO·cosPOD414×()7，故PD.11如圖，AB，CD是O的兩條弦，它們相交于點(diǎn)P，連接AD，BD，已知ADBD4，PC6，則PA·PB_.答案12解析由ADBD4，得PADB，又BC，所以PADC，又ADPCDA，所以ADPCDA.又PC6，設(shè)PDx，由，得，解得x2或x8(舍去)，即PD2，由相交弦定理，得PA·PBPC·PD6×212.12.如圖，RtABC中，BAC90°，AD是斜邊BC上的高，若ABAC21，則ADBC_.答案25解析設(shè)ACk，則AB2k，BCk，BAC90°，ADBC，AC2CD·BC，k2CD·k，CDk，又BDBCCDk，AD2CD·BDk·kk2，ADk，ADBC25.13.如圖，四邊形ABCD中，DFAB，垂足為F，DF3，AF2FB2，延長(zhǎng)FB到E，使BEFB，連接BD，EC.若BDEC，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)答案6解析過(guò)點(diǎn)E作ENDB交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，在RtDFB中，DF3，F(xiàn)B1，則BD，由RtDFBRtENB，知，所以EN，又BDEC，所以EN為BCD底邊BD上的高，故S四邊形ABCDSABDSBCDAB·DFBD·EN×3×3××6.14.如圖，AB是圓O的直徑，CDAB于D，且AD2BD，E為AD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交圓O于F.若CD，則AB_，EF_.答案3解析AB為圓O的直徑，ACBC.CDAB于D，由射影定理得CD2AD·BD.AD2BD，CD，()22BD·BD，解得BD1，AD2BD2，ABADBD213.在RtCDE中，E為AD的中點(diǎn)，DEAD1，又CD，CE，又AEDE1，EB2，由相交弦定理得EF.15.如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點(diǎn)C，ADCE于點(diǎn)D，若AD1，ABC30°，則圓O的面積是_答案4解析ACDABC30°，AC2，AB4，故圓O的面積為·224.