（江蘇專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 解析幾何教學(xué)案

專題三 解析幾何江蘇卷5年考情分析小題考情分析大題考情分析常考點(diǎn)1.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(5年4考)2.圓錐曲線的方程及幾何性質(zhì)(5年5考)本單元主要考查直線與橢圓(2015年、2017年、2018年、2019年)的位置關(guān)系、弦長問題、面積問題等；有時(shí)考查直線與圓(如2016年)，經(jīng)常與向量結(jié)合在一起命題偶考點(diǎn)直線的方程、圓的方程第一講 | 小題考法解析幾何中的基本問題考點(diǎn)(一) 直線、圓的方程主要考查圓的方程以及直線方程、圓的基本量的計(jì)算.題組練透1(2019·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線yx(x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線xy0的距離的最小值是_解析：由題意可設(shè)P(x0>0)，則點(diǎn)P到直線xy0的距離d4，當(dāng)且僅當(dāng)2x0，即x0時(shí)取等號(hào)故所求最小值是4.法二：設(shè)P(x0>0)，由yx得y1，則曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為k1.令11，結(jié)合x0>0得x0， P(，3)，曲線yx(x>0)上的點(diǎn)P到直線xy0的最短距離即為此時(shí)點(diǎn)P到直線xy0的距離，故dmin4.答案：42(2019·蘇州期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)A(1，3)，B(4，6)，且圓心在直線x2y10上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：法一：根據(jù)圓經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，B(4，6)，知圓心在線段AB的垂直平分線上，由點(diǎn)A(1，3)，B(4，6)，知線段AB的垂直平分線方程為xy70，則由得即圓心坐標(biāo)為(5，2)，所以圓的半徑r，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x5)2(y2)217.法二：因?yàn)閳A心在直線x2y10上，所以圓心坐標(biāo)可設(shè)為(2a1，a)，又圓經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，B(4，6)，所以圓的半徑 r，解得a2，所以r，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x5)2(y2)217.法三：設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r(r0)，因?yàn)閳A心在直線x2y10上，且圓經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，B(4，6)，所以得a5，b2，r，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x5)2(y2)217.答案：(x5)2(y2)2173(2019·揚(yáng)州期末)若直線l1：x2y40與l2：mx4y30平行，則兩平行直線l1，l2間的距離為_解析：法一：若直線l1：x2y40與l2：mx4y30平行，則有，求得m2，故兩平行直線l1，l2間的距離為.法二：若直線l1：x2y40與l2：mx4y30平行，則有，求得m2，所以直線l2：2x4y30，在l1：x2y40上取一點(diǎn)(0，2)，則兩平行直線l1，l2間的距離就是點(diǎn)(0，2)到直線l2的距離，即.答案：方法技巧1求直線方程的兩種方法直接法選用恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，由題設(shè)條件直接求出方程中系數(shù)，寫出結(jié)果待定系數(shù)法先由直線滿足的一個(gè)條件設(shè)出直線方程，使方程中含有待定系數(shù)，再由題設(shè)條件構(gòu)建方程，求出待定系數(shù)2圓的方程的兩種求法幾何法通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程代數(shù)法用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程考點(diǎn)(二)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系主要考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，以及根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求相關(guān)的最值與范圍問題.典例感悟典例(1)(2018·無錫期末)過圓O：x2y216內(nèi)一點(diǎn)P(2，3)作兩條相互垂直的弦AB和CD，且ABCD，則四邊形ACBD的面積為_(2)(2018·南通、泰州一調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(4，0)，B(0，4)，從直線AB上一點(diǎn)P向圓x2y24引兩條切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D.設(shè)線段CD的中點(diǎn)為M，則線段AM長的最大值為_解析(1)設(shè)O到AB的距離為d1，O到CD的距離為d2，則由垂徑定理可得dr2，dr2，由于ABCD，故d1d2，且d1d2OP，所以r2d16，得AB，從而四邊形ACBD的面積為SAB×CD××19.(2)法一(幾何法)：因?yàn)锳(4，0)，B(0，4)，所以直線AB的方程為yx4，所以可設(shè)P(a，a4)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC的方程為x1xy1y4，PD的方程為x2xy2y4，將P(a，a4)分別代入PC，PD的方程，得則直線CD的方程為ax(a4)y4，即a(xy)44y，所以所以直線CD過定點(diǎn)N(1，1)，又因?yàn)镺MCD，所以點(diǎn)M在以O(shè)N為直徑的圓上(除去原點(diǎn))又因?yàn)橐設(shè)N為直徑的圓的方程為，因?yàn)锳在該圓外，所以AM的最大值為3.法二(參數(shù)法)：同法一可知直線CD的方程為ax(a4)y4，即a(xy)44y，得a.又因?yàn)镺，P，M三點(diǎn)共線，所以ay(a4)x0，得a.因?yàn)閍，所以點(diǎn)M的軌跡方程為(除去原點(diǎn))，因?yàn)锳在該圓外，所以AM的最大值為 3. 答案(1)19(2)3方法技巧解決關(guān)于直線與圓、圓與圓相關(guān)問題的策略(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量(2)解決直線與圓相關(guān)的最值問題：一是利用幾何性質(zhì)，如兩邊之和大于第三邊、斜邊大于直角邊等來處理最值；二是建立函數(shù)或利用基本不等式求解(3)對(duì)于直線與圓中的存在性問題，可以利用所給幾何條件和等式，得出動(dòng)點(diǎn)軌跡，轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系演練沖關(guān)1(2019·南通、泰州等七市一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x2y21，圓C：(x4)2y24.若存在過點(diǎn)P(m，0)的直線l，直線l被兩圓截得的弦長相等，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：由題意知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為yk(xm)(k0)，圓心O，C到直線l的距離分別為d1，d2，則由直線l與圓O相交得d11，得m21.由直線l被兩圓截得的弦長相等得，則dd3，即3，化簡得m，則m(m21)，即3m28m160，所以4m.答案：2(2019·南京鹽城一模)設(shè)M(x，y)|3x4y7，點(diǎn)PM，過點(diǎn)P引圓(x1)2y2r2(r0)的兩條切線PA，PB(A，B均為切點(diǎn))，若APB的最大值為，則r的值為_解析：由題意知點(diǎn)P位于直線3x4y70上或其上方，記圓(x1)2y2r2(r0)的圓心為C，則C(1，0)，C到直線3x4y70的距離d2，連接PC，則PC2.設(shè)APB，則sin，因?yàn)閙ax，所以，所以r1.答案：13(2019·蘇北三市一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：x2y22mx(4m6)y40(mR)與以C2(2，3)為圓心的圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，且滿足xxyy，則實(shí)數(shù)m的值為_解析：由題意得C1(m，2m3)，C2(2，3)由xxyy，得xyxy，即OAOB，所以O(shè)AB為等腰三角形，所以線段AB的垂直平分線經(jīng)過原點(diǎn)O，又相交兩圓的圓心連線垂直平分公共弦AB，所以兩圓的圓心連線C1C2過原點(diǎn)O，所以O(shè)C1OC2，所以3m2(2m3), 解得m6.答案：64(2019·常州期末)過原點(diǎn)O的直線l與圓x2y21交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)A是該圓與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，以AQ為直徑的圓與直線l有異于Q的交點(diǎn)N，且直線AN與直線AP的斜率之積等于1，那么直線l的方程為_解析：易知A(1，0)因?yàn)镻Q是圓O的直徑，所以APAQ.以AQ為直徑的圓與直線l有異于Q的交點(diǎn)N，則ANNQ，所以kAN，又直線AN與直線AP的斜率之積等于1，所以kANkAP1，所以kAPkPO，所以O(shè)APAOP，所以點(diǎn)P為OA的垂直平分線與圓O的交點(diǎn)，則P，所以直線l的方程為y±x.答案：y±x5(2018·南京、鹽城、連云港二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，B為圓C：(x4)2(ya)216上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AB2.若直線l：y2x上存在唯一的一個(gè)點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：法一：設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，P(x，y)，則由AB2，得CM，即點(diǎn)M的軌跡為(x04)2(y0a)25.又因?yàn)?，所以，?x0x，y0y)，從而則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x2)25，又因?yàn)橹本€l上存在唯一的一個(gè)點(diǎn)P，所以直線l和動(dòng)點(diǎn)P的軌跡(圓)相切，則，解得a2或a18.法二：由題意，圓心C到直線AB的距離d，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為(x4)2(ya)25.由，得2，所以.如圖，連結(jié)CM并延長交l于點(diǎn)N，則CN2CM2.故問題轉(zhuǎn)化為直線l上存在唯一的一個(gè)點(diǎn)N，使得CN2，所以點(diǎn)C到直線l的距離為2，解得a2或a18.答案：2或18考點(diǎn)(三)圓錐曲線的方程及幾何性質(zhì)主要考查三種圓錐曲線的定義、方程及幾何性質(zhì)，在小題中以考查橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)為主. 題組練透1(2019·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x21(b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是_解析：因?yàn)殡p曲線x21(b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，所以91(b>0)，解得b，即雙曲線方程為x21，其漸近線方程為y±x.答案：y±x2(2019·蘇州期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，1)，則該雙曲線的離心率為_解析：由題意，設(shè)雙曲線的方程為1(a0，b0)，由雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)(3，1)，得，可得9a2b2c2a2，得10a2c2，所以可得該雙曲線的離心率e.答案：3(2017·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y21的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P，Q，其焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是_解析：由題意得，雙曲線的右準(zhǔn)線x與兩條漸近線y±x的交點(diǎn)坐標(biāo)為.不妨設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，則F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，故四邊形F1PF2Q的面積是|F1F2|·|PQ|×4×2.答案：24.(2019·南通、揚(yáng)州等七市一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線為l，直線l與雙曲線y21的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，AB，則p的值為_解析：拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線為直線，l：x，不妨令A(yù)點(diǎn)在第二象限，則直線l與雙曲線y21的兩條漸近線y±x分別交于點(diǎn)A，B，則AB，p2.答案：2方法技巧應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)明確圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵(2)在求解有關(guān)離心率的問題時(shí)，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點(diǎn)，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍 (一) 主干知識(shí)要記牢1直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20的位置關(guān)系(1)平行A1B2A2B10且B1C2B2C10；(2)重合A1B2A2B10且B1C2B2C10；(3)相交A1B2A2B10；(4)垂直A1A2B1B20.2直線與圓相交(1)幾何法由弦心距d、半徑r和弦長的一半構(gòu)成直角三角形，計(jì)算弦長AB2.(2)代數(shù)法設(shè)直線ykxm與圓x2y2DxEyF0相交于點(diǎn)M，N，M(x1，y1)，N(x2，y2)，將直線方程代入圓方程中，消去y得關(guān)于x的一元二次方程，求出x1x2和x1·x2，則MN·.3判斷兩圓位置關(guān)系時(shí)常用幾何法即通過判斷兩圓心距離O1O2與兩圓半徑R，r(R>r)的關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系(1)外離：O1O2>Rr；(2)外切：O1O2Rr；(3)相交：Rr<O1O2<Rr；(4)內(nèi)切：O1O2Rr；(5)內(nèi)含：0O1O2<Rr.4橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2b2c2，離心率為e ；(2)在雙曲線中：c2a2b2，離心率為e .(3)雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系(二) 二級(jí)結(jié)論要用好1過圓O：x2y2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程是x0xy0yr2.2.過圓C外一點(diǎn)P做圓C的切線，切點(diǎn)分別為A，B(求切線時(shí)要注意斜率不存在的情況)如圖所示，則(1)P，B，C，A四點(diǎn)共圓，且該圓的直徑為PC；(2)該四邊形是有兩個(gè)全等的直角三角形組成；(3)cossin；(4)直線AB的方程可以轉(zhuǎn)化為圓C與以PC為直徑的圓的公共弦，且P(x0，y0)時(shí)，直線AB的方程為x0xy0yr2.3橢圓焦點(diǎn)三角形的3個(gè)規(guī)律設(shè)橢圓方程是1(a>b>0)，焦點(diǎn)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0，y0)(1)三角形的三個(gè)邊長是PF1aex0，PF2aex0，F(xiàn)1F22c，e為橢圓的離心率(2)如果PF1F2中F1PF2，則這個(gè)三角形的面積SPF1F2c|y0|b2tan .(3)橢圓的離心率e.4雙曲線焦點(diǎn)三角形的2個(gè)結(jié)論P(yáng)(x0，y0)為雙曲線1(a>0，b>0)上的點(diǎn)，PF1F2為焦點(diǎn)三角形(1)面積公式Sc|y0|r1r2sin (其中PF1r1，PF2r2，F(xiàn)1PF2)(2)焦半徑若P在右支上，PF1ex0a·PF2ex0a；若P在左支上，PF1ex0a，PF2ex0a.5拋物線y22px(p>0)焦點(diǎn)弦AB的3個(gè)結(jié)論(1)xA·xB；(2)yA·yBp2；(3)ABxAxBp. A組抓牢中檔小題1若直線l1：mxy80與l2：4x(m5)y2m0垂直，則m_解析：l1l2，4m(m5)0，m1.答案：12已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，)在圓C上，且圓心到直線2xy0的距離為，則圓C的方程為_解析：因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a，0)，且a0，所以圓心到直線2xy0的距離d，解得a2，所以圓C的半徑r|CM|3，所以圓C的方程為(x2)2y29.答案：(x2)2y293(2019·無錫期末)以雙曲線1的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析：由題可設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，雙曲線中，c3，所以雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，所以3，p6，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y212x.答案：y212x4已知直線l過點(diǎn)P(1，2)且與圓C：x2y22相交于A，B兩點(diǎn)，ABC的面積為1，則直線l的方程為_解析：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為yk(x1)2，即kxyk20.因?yàn)镾ABCCA·CB·sinACB1，所以×××sinACB1，所以sinACB1，即ACB90°，所以圓心C到直線AB的距離為1，所以1，解得k，所以直線方程為3x4y50；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意綜上所述，直線l的方程為3x4y50或x1.答案：3x4y50或x15已知圓M：(x1)2(y1)24，直線l：xy60，A為直線l上一點(diǎn)，若圓M上存在兩點(diǎn)B，C，使得BAC60°，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍為_解析：由題意知，過點(diǎn)A的兩直線與圓M相切時(shí)，夾角最大，當(dāng)BAC60°時(shí)，|MA|4.設(shè)A(x，6x)，所以(x1)2(6x1)216，解得x1或x5，因此點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍為1，5答案：1，56(2018·南京學(xué)情調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓(x2)2(y2)21上存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N在直線kxy30上，則實(shí)數(shù)k的最小值為_解析：圓(x2)2(y2)21關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的方程為(x2)2(y2)21，由題意得，圓心(2，2)到直線kxy30的距離d1，解得k0，所以實(shí)數(shù)k的最小值為.答案：7(2019·南京四校聯(lián)考)已知圓O：x2y21，半徑為1的圓M的圓心M在線段CD：yx4(mxn，mn)上移動(dòng)，過圓O上一點(diǎn)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，且滿足APB60°，則nm的最小值為_解析：設(shè)M(a，a4)(man)，則圓M的方程為(xa)2(ya4)21.連接MP，MB，則MB1，PBMB.因?yàn)锳PB 60°，所以MPB30°，所以MP2MB2，所以點(diǎn)P在以M為圓心，2為半徑的圓上，連接OM，又點(diǎn)P在圓O上，所以點(diǎn)P為圓x2y21與圓(xa)2(ya4)24的公共點(diǎn)，所以21OM21，即13，得解得2a2.所以n2，m2，所以nm.答案：8(2019·南京鹽城二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，0)，B(5，0)若圓M：(x4)2(ym)24上存在唯一的點(diǎn)P，使得直線PA，PB在y軸上的截距之積為5，則實(shí)數(shù)m的值為_解析：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則直線PA的方程為y(x1), 在y軸上的截距為，同理可得直線PB在y軸上的截距為，由直線PA，PB在y軸上的截距之積為5，得×5，化簡，得(x02)2y9(y00)，所以點(diǎn)P的軌跡是以C(2，0)為圓心，3為半徑的圓(點(diǎn)A(1，0)，B(5，0)除外)，由題意知點(diǎn)P的軌跡與圓M恰有一個(gè)公共點(diǎn)，若A，B均不在圓M上，因此圓心距等于半徑之和或差，則5，解得m±；或1，無解若A或B在圓M上，易得m±，經(jīng)檢驗(yàn)成立所以m的值為±或±.答案：±或±9(2018·揚(yáng)州期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與圓x2y26y50沒有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是_解析：由圓x2y26y50，得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y3)24，所以圓心C(0，3)，半徑r2.因?yàn)殡p曲線1(a>0，b>0)的漸近線bx±ay0與該圓沒有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離應(yīng)大于半徑，即>2，即3a>2c，即e<，又e>1，故雙曲線離心率的取值范圍是.答案：10在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2(y3)22，點(diǎn)A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長的取值范圍是_解析：設(shè)PCA，所以PQ2sin .又cos ，AC3，)，所以cos ，所以cos2，sin21cos2，因?yàn)?，所以sin ，所以PQ.答案：11(2019·南京三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知MN是C：(x1)2(y2)22的一條弦，且CMCN，P是MN的中點(diǎn)當(dāng)弦MN在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l：x3y50上存在兩點(diǎn)A，B，使得APB恒成立，則線段AB長度的最小值是_解析：因?yàn)镸N是C：(x1)2(y2)22的一條弦，且CMCN，P是MN的中點(diǎn)，所以PCr1，點(diǎn)P的軌跡方程為(x1)2(y2)21.圓心C到直線l：x3y50的距離為.因?yàn)橹本€l上存在兩點(diǎn)A，B，使得APB恒成立，所以ABmin22.答案：2212(2018·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)已知直線l：xy20與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P在直線l上圓C：(x2)2y22上有且僅有一個(gè)點(diǎn)B滿足ABBP，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值集合為_解析：法一：由ABBP，得點(diǎn)B在以AP為直徑的圓D上，所以圓D與圓C相切由題意得A(2，0)，C(2，0)若圓D與圓C外切，則DCDA；若圓D與圓C內(nèi)切，則DADC.所以圓心D在以A，C為焦點(diǎn)的雙曲線1上，即14x22y27.又點(diǎn)D在直線l上，由得12x28x150，解得xD或xD.所以xP2xDxA2xD25或xP.法二：由題意可得A(2，0)，設(shè)P(a，a2)，則AP的中點(diǎn)M，AP，故以AP為直徑的圓M的方程為.由題意得圓C與圓M相切(內(nèi)切和外切)，故 ，解得a或a5.故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值集合為.答案：13已知橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，直線xm與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)若FAB的周長最大時(shí)，F(xiàn)AB的面積為ab，則橢圓的離心率為_解析：設(shè)直線xm與x軸交于點(diǎn)H，橢圓的右焦點(diǎn)為F1，由橢圓的對(duì)稱性可知FAB的周長為2(FAAH)2(2aF1AAH)，因?yàn)镕1AAH，故當(dāng)F1AAH時(shí)，F(xiàn)AB的周長最大，此時(shí)直線AB經(jīng)過右焦點(diǎn)，從而點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為，所以FAB的面積為·2c·，由條件得·2c·ab，即b2c22bc，bc，從而橢圓的離心率為e.答案：14已知A，B是圓C1：x2y21上的動(dòng)點(diǎn)，AB，P是圓C2：(x3)2(y4)21上的動(dòng)點(diǎn)，則|的取值范圍為_解析：因?yàn)锳，B是圓C1：x2y21上的動(dòng)點(diǎn)，AB，所以線段AB的中點(diǎn)H在圓O：x2y2上，且|2|.因?yàn)辄c(diǎn)P是圓C2：(x3)2(y4)21上的動(dòng)點(diǎn)，所以5|5，即|，所以72|13，從而|的取值范圍是7，13答案：7，13B組力爭難度小題1(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市一模)若直線l：axy4a0上存在相距為2的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，圓O：x2y21上存在點(diǎn)C，使得ABC為等腰直角三角形(C為直角頂點(diǎn))，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：法一：根據(jù)題意得，圓O：x2y21上存在點(diǎn)C，使得點(diǎn)C到直線l的距離為1，那么圓心O到直線l的距離不大于2，即2，解得a，于是a的取值范圍是.法二：因?yàn)锳BC為等腰直角三角形(C為直角頂點(diǎn))，所以點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，記圓心為M，半徑為1，且CM直線l，又點(diǎn)C也在圓O：x2y21上，所以C是兩圓的交點(diǎn)，即OM2，所以dOM2，解得a，于是a的取值范圍是.答案：2(2017·全國卷 )已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)若MAN60°，則C的離心率為_解析：雙曲線的右頂點(diǎn)為A(a，0)，一條漸近線的方程為yx，即bxay0，則圓心A到此漸近線的距離d.又因?yàn)镸AN60°，圓的半徑為b，所以b·sin 60°，即，所以e.答案：3(2019·江蘇泰州期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過圓C1：(xk)2(yk4)21上任一點(diǎn)P作圓C2：x2y21的一條切線，切點(diǎn)為Q，則當(dāng)|PQ|最小時(shí)，k_解析：由題意得，圓C1與圓C2外離，如圖因?yàn)镻Q為切線，所以PQC2Q，由勾股定理，得|PQ|，要使|PQ|最小，則需|PC2|最小顯然當(dāng)點(diǎn)P為C1C2與圓C1的交點(diǎn)時(shí)，|PC2|最小，此時(shí)，|PC2|C1C2|1，所以當(dāng)|C1C2|最小時(shí)，|PC2|就最小，|C1C2|2，當(dāng)k2時(shí)，|C1C2|取最小值，即|PQ|最小答案：24(2017·山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1(a>0，b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x22py(p>0)交于A，B兩點(diǎn)若AFBF4OF，則該雙曲線的漸近線方程為_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義可知AFy1，BFy2，OF，由AFBFy1y2y1y2p4OF2p，得y1y2p.聯(lián)立消去x，得a2y22pb2ya2b20，所以y1y2，所以p，即，故，所以雙曲線的漸近線方程為y±x.答案：y±x5已知圓C：(x2)2y24，線段EF在直線l：yx1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P為線段EF上任意一點(diǎn)，若圓C上存在兩點(diǎn)A，B，使得·0，則線段EF長度的最大值是_解析：過點(diǎn)C作CHl于H，因?yàn)镃到l的距離CH>2r，所以直線l與圓C相離，故點(diǎn)P在圓C外因?yàn)?#183;|cosAPB0，所以cosAPB0，所以APB<，圓C上存在兩點(diǎn)A，B使得APB，由于點(diǎn)P在圓C外，故當(dāng)PA，PB都與圓C相切時(shí)，APB最大，此時(shí)若APB，則PCr2，所以PH，由對(duì)稱性可得EFmax2PH.答案：6設(shè)拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，A為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，滿足AF2，已知P為拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，當(dāng)PAPF取得最小值時(shí)，PAF外接圓的半徑為_解析：由拋物線的方程x24y可知F(0，1)，設(shè)A(x0，y0)，又由AF2，根據(jù)拋物線的定義可知AFy0y012，解得y01，代入拋物線的方程，可得x02，即A(2，1)如圖，作拋物線的焦點(diǎn)F(0，1)，關(guān)于拋物線準(zhǔn)線y1的對(duì)稱點(diǎn)F1(0，3)，連接AF1交拋物線的準(zhǔn)線y1于點(diǎn)P，此時(shí)能使得PAPF取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)，在PAF中，AF2，PFPA，由余弦定理得cosAPF，則sinAPF.設(shè)PAF的外接圓半徑為R，由正弦定理得2R，所以R，即PAF外接圓的半徑R.答案：第二講 | 大題考法直線與圓題型(一)直線與圓的位置關(guān)系主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及復(fù)雜背景下直線、圓的方程.典例感悟例1如圖，在RtABC中，A為直角，AB邊所在直線的方程為x3y60，點(diǎn)T(1，1)在直線AC上，BC中點(diǎn)為M(2，0)(1)求BC邊所在直線的方程；(2)若動(dòng)圓P過點(diǎn)N(2，0)，且與RtABC的外接圓相交所得公共弦長為4，求動(dòng)圓P中半徑最小的圓方程解(1)因?yàn)锳B邊所在直線的方程為x3y60，AC與AB垂直，所以直線AC的斜率為3.故AC邊所在直線的方程為y13(x1)，即3xy20.設(shè)C為(x0，3x02)，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，所以B(4x0，3x02)點(diǎn)B代入x3y60，解得x0，所以C.所以BC所在直線方程為x7y20.(2)因?yàn)镽tABC斜邊中點(diǎn)為M(2，0)，所以M為RtABC外接圓的圓心又AM2，從而RtABC外接圓的方程為(x2)2y28.設(shè)P(a，b)，因?yàn)閯?dòng)圓P過點(diǎn)N，所以該圓的半徑r，圓方程為(xa)2(yb)2r2.由于P與M相交，則公共弦所在直線m的方程為(42a)x2bya2b2r240.因?yàn)楣蚕议L為4，M半徑為2，所以M(2，0)到m的距離d2，即2，化簡得b23a24a，所以r .當(dāng)a0時(shí)，r最小值為2，此時(shí)b0，圓的方程為x2y24.方法技巧解決有關(guān)直線與圓位置關(guān)系的問題的方法(1)直線與圓的方程求解通常用的待定系數(shù)法，由于直線方程和圓的方程均有不同形式，故要根據(jù)所給幾何條件靈活使用方程(2)對(duì)直線與直線的位置關(guān)系的相關(guān)問題要用好直線基本量之一斜率，要注意優(yōu)先考慮斜率不存在的情況(3)直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系在處理時(shí)幾何法優(yōu)先，有時(shí)也需要用代數(shù)法即解方程組演練沖關(guān)(2019·連云港模擬)已知圓O1：x2y225，點(diǎn)P在圓O2：x2y2r2(0r5)上，過點(diǎn)P作圓O2的切線交圓O1于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，且r，OM，MN成等差數(shù)列(1)求r；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，3)，與直線MN平行的直線l與圓O2交于A，B兩點(diǎn)，則使AOB的面積為4的直線l有幾條？并說明理由解：(1)顯然圓O1和圓O2是圓心在原點(diǎn)的同心圓連接OP，則OPMN，OM5，OPr，在直角三角形MOP中，MP，所以MN2.由r，OM，MN成等差數(shù)列，得2OMrMN，即2×5r2，解得r4.(2)因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，3)，所以kOP，所以直線l的斜率k，設(shè)直線l的方程為yxb，即4x3y3b0.設(shè)圓心到該直線的距離為d，則d，則AB2，所以SAOB×AB×d×d4，整理得 d416d2480，(d24)(d212)0，解得d2或d2 ，因?yàn)閐，從而對(duì)應(yīng)的b有4個(gè)解：b±或b±，檢驗(yàn)知均符合題意，故使AOB的面積為4的直線l有4條.題型(二)圓中的定點(diǎn)、定值問題主要考查動(dòng)圓過定點(diǎn)的問題其本質(zhì)是含參方程恒有解，定值問題是引入?yún)?shù)，再利用其滿足的約束條件消去參數(shù)得定值.典例感悟例2已知圓C：x2y29，點(diǎn)A(5，0)，直線l：x2y0.(1)求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程；(2)在直線OA上(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，存在定點(diǎn)B(不同于點(diǎn)A)滿足：對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)解(1)設(shè)所求直線方程為y2xb，即2xyb0.因?yàn)橹本€與圓C相切，所以3，解得b±3.所以所求直線方程為2xy±30.(2)法一：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B(t，0)當(dāng)點(diǎn)P為圓C與x軸的左交點(diǎn)(3，0)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P為圓C與x軸的右交點(diǎn)(3，0)時(shí)，.依題意，解得t或t5(舍去)下面證明點(diǎn)B對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)設(shè)P(x，y)，則y29x2，所以.從而為常數(shù)法二：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B(t，0)，使得為常數(shù)，則PB22PA2，所以(xt)2y22(x5)2y2，將y29x2代入，得x22xtt29x22(x210x259x2)，即2(52t)x342t290對(duì)x3，3恒成立，所以解得或(舍去)故存在點(diǎn)B對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有為常數(shù).方法技巧關(guān)于解決圓中的定點(diǎn)、定值問題的方法(1)與圓有關(guān)的定點(diǎn)問題最終可化為含有參數(shù)的動(dòng)直線或動(dòng)圓過定點(diǎn)解這類問題關(guān)鍵是引入?yún)?shù)求出動(dòng)直線或動(dòng)圓的方程(2)與圓有關(guān)的定值問題，可以通過直接計(jì)算或證明，還可以通過特殊化，先猜出定值再給出證明演練沖關(guān)1(2019·無錫天一中學(xué)模擬)已知以點(diǎn)C為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求證：OAB的面積為定值；(2)設(shè)直線y2x4與圓C交于點(diǎn)M，N，若OMON，求圓C的方程解：(1)證明：由題意知圓C過原點(diǎn)O，半徑rOC.OC2t2，設(shè)圓C的方程為(xt)2t2，令y0，得x10，x22t，則A(2t，0)令x0，得y10，y2，則B.SOABOA·OB×|2t|×4，即OAB的面積為定值(2)OMON，CMCN，OC垂直平分線段MN.kMN2，kOC，直線OC的方程為yx.t，解得t2或t2.當(dāng)t2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為(2，1)，r|OC|，此時(shí)圓心C到直線y2x4的距離d<，圓C與直線y2x4相交于兩點(diǎn)當(dāng)t2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為(2，1)，rOC，此時(shí)圓心C到直線y2x4的距離d>，圓C與直線y2x4不相交，圓C的方程為(x2)2(y1)25.2已知圓M的方程為x2(y2)21，直線l的方程為x2y0，點(diǎn)P在直線l上，過P點(diǎn)作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B.(1)若APB60°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，1)，過P作直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)CD時(shí)，求直線CD的方程；(3)求證：經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)解：(1)設(shè)P(2m，m)，因?yàn)锳PB60°，AM1，所以MP2，所以(2m)2(m2)24，解得m0或m，故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(0，0)或P.(2)易知直線CD的斜率存在，可設(shè)直線CD的方程為y1k(x2)，由題知圓心M到直線CD的距離為，所以，解得k1或k，故所求直線CD的方程為xy30或x7y90.(3)設(shè)P(2m，m)，MP的中點(diǎn)Q，因?yàn)镻A是圓M的切線，所以經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，故其方程為(xm)2m2，化簡得x2y22ym(2xy2)0，此式是關(guān)于m的恒等式，故解得或所以經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)(0，2)或.題型(三)與直線、圓有關(guān)的最值或范圍問題主要考查與直線和圓有關(guān)的長度、面積的最值或有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題. 典例感悟例3已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圓為圓H.(1)若直線l過點(diǎn)C，且被圓H截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)對(duì)于線段BH上的任意一點(diǎn)P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，求圓C的半徑r的取值范圍解(1)線段AB的垂直平分線方程為x0，線段BC的垂直平分線方程為xy30.所以外接圓圓心H(0，3)，半徑為.圓H的方程為x2(y3)210.設(shè)圓心H到直線l的距離為d，因?yàn)橹本€l被圓H截得的弦長為2，所以d3.當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，顯然符合題意，即x3為所求；當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線方程為y2k(x3)，則3，解得k.所以直線l的方程為y2(x3)，即4x3y60.綜上，直線l的方程為x3或4x3y60.(2)直線BH的方程為3xy30，設(shè)P(m，n)(0m1)，N(x，y)因?yàn)辄c(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，所以M，又M，N都在半徑為r的圓C上，所以即因?yàn)樵撽P(guān)于x，y的方程組有解，即以(3，2)為圓心，r為半徑的圓與以(6m，4n)為圓心，2r為半徑的圓有公共點(diǎn)，所以(2rr)2(36m)2(24n)2(r2r)2.又3mn30，所以r210m212m109r2對(duì)任意的m0，1成立而f(m)10m212m10在0，1上的值域?yàn)椋詒2且109r2.又線段BH與圓C無公共點(diǎn)，所以(m3)2(33m2)2>r2對(duì)任意的m0，1成立，即r2<.故圓C的半徑r的取值范圍為.方法技巧1隱形圓問題有些時(shí)候，在條件中沒有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中的，要通過分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程), 從而最終可以利用圓的知識(shí)來求解，我們稱這類問題為“隱形圓”問題2隱形圓的確定方法(1)利用圓的定義(到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡)確定隱形圓；(2)動(dòng)點(diǎn)P 對(duì)兩定點(diǎn)A，B張角是90°(kPA·kPB1)確定隱形圓；(3)兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足·確定隱形圓；(4)兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2PB2是定值確定隱形圓；(5)兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足PAPB(0，1)確定隱形圓(阿波羅尼斯圓)；(6)由圓周角的性質(zhì)確定隱形圓3與圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解策略與圓有關(guān)的最值或取值范圍問題的求解，要對(duì)問題條件進(jìn)行全方位的審視，特別是題中各個(gè)條件之間的相互關(guān)系及隱含條件的挖掘，要掌握解決問題常使用的思想方法，如要善于利用數(shù)形結(jié)合思想，利用幾何知識(shí)，求最值或范圍，要善于利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將最值或范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系求解演練沖關(guān)1在等腰ABC中，已知ABAC，且點(diǎn)B(1，0)點(diǎn)D(2，0)為AC的中點(diǎn)(1)求點(diǎn)C的軌跡方程；(2)已知直線l：xy40，求邊BC在直線l上的射影EF長的最大值解：(1)設(shè)C(x，y)，D(2，0)為AC的中點(diǎn)A(4x，y)，B(1，0)，由ABAC，得AB2AC2.(x5)2y2(2x4)2(2y)2，整理得(x1)2y24.A，B，C三點(diǎn)不共線，y0，則點(diǎn)C的軌跡方程為(x1)2y24(y0)(2)法一：由條件，易得BE：xy10.設(shè)CF：xyb0.當(dāng)EF取得最大值時(shí)，直線CF與圓(x1)2y24相切，設(shè)M(1，0)，則M到CF的距離為2.b21(舍去)或b21.CF：xy210.EFmax等于點(diǎn)B到CF的距離2.法二：設(shè)點(diǎn)M(1，0)，如圖，過點(diǎn)C的軌跡圓心M作BE，CF的垂線，垂足分別為G，H，則四邊形EFHG是矩形EFGHGMMH.由條件，得MG.MH的最大值為半徑2.EFmax2.2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點(diǎn)A(2，4)(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BCOA，求直線l的方程；(3)設(shè)點(diǎn)T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解：圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6，7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線x6上，可設(shè)N(6，y0)因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以0y07，圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y1)21.(2)因?yàn)橹本€lOA，所以直線l的斜率為2.設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d.因?yàn)锽COA 2，而MC2d2，所以255，解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.(3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)因?yàn)锳(2，4)，T(t，0)，所以因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以(x26)2(y27)225.將代入，得(x1t4)2(y13)225.于是點(diǎn)P(x1，y1)既在圓M上，又在圓x(t4)2(y3)225上，從而圓(x6)2(y7)225與圓x(t4)2(y3)225有公共點(diǎn)，所以55 55，解得22t22.因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是22，22 A組大題保分練1(2019·全國卷)已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，|AB|4，M過點(diǎn)A，B且與直線x20相切(1)若A在直線xy0上，求M的半徑(2)是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MA|MP|為定值？并說明理由解：(1)因?yàn)镸過點(diǎn)A，B，所以圓心M在AB的垂直平分線上由已知A在直線xy0上，且A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，所以M在直線yx上，故可設(shè)M(a，a)因?yàn)镸與直線x20相切，所以M的半徑為r|a2|.連接MA由已知得|AO|2.又MOAO，故可得2a24(a2)2， 解得a0或a4.故M的半徑r2或r6.(2)存在定點(diǎn)P(1，0)，使得|MA|MP|為定值理由如下：設(shè)M(x，y)，由已知得M的半徑為r|x2|，|AO|2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2，化簡得M的軌跡方程為y24x.因?yàn)榍€C：y24x是以點(diǎn)P(1，0)為焦點(diǎn)，以直線x1為準(zhǔn)線的拋物線，所以|MP|x1.因?yàn)閨MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.2(2019·鎮(zhèn)江期初測試)已知圓C和直線xy20相切于點(diǎn)P(1，)，且經(jīng)過點(diǎn)Q(4，0)(1)求圓C的方程；(2)設(shè)M(2，1)，過M作圓C的兩條相互垂直的弦AD，BE，求四邊形ABDE的面積的最大值解：(1)連接PC，PQ，由于圓C和直線xy20相切于點(diǎn)P(1，)，因此直線PC的斜率為，其方程為y(x1)，即xy20.易知直線PQ的斜率為，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則線段PQ的垂直平分線的方程為y，即xy20.由解得則圓心C的坐標(biāo)為(2，0)所以圓C的半徑rCQ2，所以圓C的方程為(x2)2y24.(2)如圖，作CHAD于點(diǎn)H，CGBE于點(diǎn)G，連接CM，則CH2CG2CM21，所以AD2BE24(4CH2)4(4CG2)28.又AD2BE22AD·BE，所以AD·BE14，所以四邊形ABDE的面積SAD·BE×147，當(dāng)且僅當(dāng)ADBE時(shí)等號(hào)成立，所以四邊形ABDE的面積的最大值為7.3已知直線l：4x3y100，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方(1)求圓C的方程；(2)過點(diǎn)M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分ANB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)設(shè)圓心C(a，0)，則2a0或a5(舍去)所以圓C的方程為x2y24.(2)當(dāng)直線ABx軸時(shí)，x軸平分ANB.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x軸平分ANB，則kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以當(dāng)點(diǎn)N為(4，0)時(shí)，能使得ANMBNM總成立4已知圓M與直線3xy40相切于點(diǎn)(1，)，圓心M在x軸上(1)求圓M的方程(2)過點(diǎn)M且不與x軸重合的直線與圓M相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB分別與直線x8相交于C，D兩點(diǎn)記OAB，OCD的面積分別是S1，S2，求的取值范圍解：(1)由題可知，設(shè)圓的方程為(xa)2y2r2，解得所以圓的方程為(x4)2y216.(2)由題意知，AOB，設(shè)直線OA的斜率為k(k0)，則直線OA的方程為ykx，由得(1k2)x28x0，解得或則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.又直線OB的斜率為，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為 .由題可知，C(8，8k)，D.因此·，又，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)|k|1時(shí)取等號(hào)又0，所以的取值范圍是.B組大題增分練1.如圖，已知以點(diǎn)A(1，2)為圓心的圓與直線l1：x2y70相切過點(diǎn)B(2，0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P.(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)MN2時(shí)，求直線l的方程解：(1)設(shè)圓A的半徑為r.由于圓A與直線l1：x2y70相切，r2.圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x2符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x2)即kxy2k0.連結(jié)AQ，則AQMN.MN2，AQ1，則由AQ1，得k，直線l：3x4y60.故直線l的方程為x2或3x4y60.2(2019·姜堰中學(xué)檢測)已知圓O：x2y24，點(diǎn)A(1，0)，圓C經(jīng)過點(diǎn)A且與圓O交于P，Q兩點(diǎn)(1)若圓C與x軸相切，且PQ的長為，求圓C的方程；(2)若·1，求PQ的長的取值范圍解：(1)因?yàn)閳AC與x軸相切，且經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，所以可設(shè)圓心C(1，m)，則其半徑r|m|，圓C的方程為(x1)2(ym)2m2，即x2y22x2my10.與圓O的方程相減得直線PQ的方程2x2my50.取弦PQ的中點(diǎn)M，連接OM，OP，易知OMPQ，且OM，因?yàn)镺M2PM2OP2，PMPQ，所以4，解得m±1.當(dāng)m1時(shí)，圓C的方程為(x1)2(y1)21；當(dāng)m1時(shí)，圓C的方程為(x1)2(y1)21.所以圓C的方程為(x1)