（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列與不等式 第4講 不等式學(xué)案

第4講不等式考情考向分析1.利用不等式性質(zhì)比較大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、線性規(guī)劃、絕對值不等式的應(yīng)用問題是高考的熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題為主.2.一元二次不等式常與函數(shù)、數(shù)列結(jié)合考查一元二次不等式的解法和參數(shù)的取值范圍.3.在解答題中，特別是在解析幾何中求最值、范圍問題或在解決導(dǎo)數(shù)或數(shù)列問題時(shí)常利用不等式進(jìn)行求解，難度較大熱點(diǎn)一基本不等式利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是：(1)如果x>0，y>0，xyp(定值)，當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值2(簡記為：積定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，xys(定值)，當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值s2(簡記為：和定，積有最大值)例1(1)(2018·浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)設(shè)a>b>0，當(dāng)取得最小值c時(shí)，函數(shù)f(x)|xa|xb|xc|的最小值為()A3 B2 C5 D4答案A解析2b(ab)24，當(dāng)且僅當(dāng)a2b2時(shí)，上面不等式中兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，所以的最小值為4，此時(shí)a2，b1，c4，則f(x)|x1|x2|x4|所以當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值f(2)523，故選A.(2)(2018·諸暨市高考適應(yīng)性考試)已知a，b為正實(shí)數(shù)，且(ab)(a2b)ab9，則3a4b的最小值為_ 答案61解析由(ab)(a2b)ab9，得ab，則3a4b2(ab)a2b(a2b1)12161，當(dāng)且僅當(dāng)a2b1>0時(shí)，等號(hào)成立，所以3a4b的最小值為61.思維升華在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)成立的條件)的條件，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤跟蹤演練1(1)設(shè)x>0，y>0，若xlg 2，lg，ylg 2成等差數(shù)列，則的最小值為()A8 B9 C12 D16答案D解析xlg 2，lg，ylg 2成等差數(shù)列， 2lglg 2，xy1，1010210616，當(dāng)且僅當(dāng)x，y時(shí)取等號(hào)，故的最小值為16，故選D.(2) 已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上運(yùn)動(dòng)，且(，)，設(shè)|CE|x，|CF|y，若|，則xy的最大值為()A2 B4 C2 D4答案C解析|2，|，又|2, x2y24，(xy)2x2y22xy2(x2y2)8，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)， xy2，即xy的最大值為2，故選C.熱點(diǎn)二簡單的線性規(guī)劃問題解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決例2(1)(2018·浙江)若x，y滿足約束條件則zx3y的最小值是_，最大值是_答案28解析由，畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)由解得A(4，2)，由解得B(2,2)，將目標(biāo)函數(shù)yx平移可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過A(4，2)時(shí)，zmin43×(2)2；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過B(2,2)時(shí)，zmax23×28. (2)(2018·浙江省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)若實(shí)數(shù)x，y滿足則x2y2的取值范圍是()A. B.C. D.答案D解析在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出滿足約束條件的平面區(qū)域，如圖所示的陰影部分，其中不含邊界線段NP，設(shè)zx2y2，求zx2y2的取值范圍，即求圖中陰影部分內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方的取值范圍由圖可知，作OHMN于點(diǎn)H，由N(0,1)，M，得OH，zmin.又OP2223213，但點(diǎn)P不在圖中陰影部分內(nèi)，zx2y2取不到13，x2y2的取值范圍是，故選D.思維升華(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍(2)一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得跟蹤演練2(1)(2018·浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)若不等式組表示的平面區(qū)域經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A(，2 B1,1C1,2) D(1，)答案D解析在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示直線xy220恒過定點(diǎn)(2，2)，由圖易得不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)殛幱安糠衷谥本€xy220下方的部分，當(dāng)>1時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域經(jīng)過四個(gè)象限；當(dāng)<1時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域不經(jīng)過第二象限；當(dāng)0時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域不經(jīng)過第一和第二象限；當(dāng)<0時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域不經(jīng)過第一象限，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是(1，)，故選D.(2)(2018·浙江省稽陽聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組(m>0)表示的平面區(qū)域?yàn)?，P(x，y)為上的點(diǎn)，當(dāng)2xy的最大值為8時(shí)，的面積為()A12 B8 C4 D6答案D解析在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，其是以(0,0)，(m，m)，(m,2m)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包含邊界)，由圖(圖略)易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z2xy經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(m,2m)時(shí)，z2xy取得最大值，所以2m2m8，解得m2，則此時(shí)平面區(qū)域的面積為×2×(42)6，故選D.熱點(diǎn)三絕對值不等式及其應(yīng)用1絕對值不等式的解法(1)|axb|c(c>0)caxbc；|axb|c(c>0)axbc或axbc.(2)含絕對值的不等式的幾種解法：公式法；零點(diǎn)分區(qū)間法；幾何意義法；圖象法2絕對值三角不等式(1)|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)等號(hào)成立(2)|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立例3(1)(2018·寧波期末)若函數(shù)f(x)在x|1|x|4，xR上的最大值為M，最小值為m，則Mm等于()A. B2 C. D.答案C解析因?yàn)閒(x)0，當(dāng)x1時(shí)，等號(hào)成立，所以m0.又因?yàn)閒(x)|，當(dāng)x<0時(shí)等號(hào)成立設(shè)t|x|，g(t)(1t4)，則g(t)令g(t)0，得t，所以函數(shù)g(x)在1，上單調(diào)遞減，在(，4上單調(diào)遞增，且g(1)2，g(4)，所以g(t)在1,4上的最大值為，所以當(dāng)x4時(shí)，f(x)取得最大值M，所以Mm，故選C.(2)已知mR，要使函數(shù)f(x)|x24x92m|2m在區(qū)間0,4上的最大值是9，則m的取值范圍是_答案解析不等式即為|x24x92m|2m9，x0,4，等價(jià)于|x24x92m|92m，x0,4，2m9x24x92m92m，x0,4，4m18x24x0，x0,4，結(jié)合函數(shù)的定義域可得(x24x)min4，據(jù)此可得4m184，m，即m的取值范圍是.思維升華(1)利用絕對值三角不等式求最值要注意等號(hào)成立的條件(2)絕對值不等式在某一區(qū)間上的最值可以進(jìn)行分類討論，也可以直接分析區(qū)間端點(diǎn)的取值，結(jié)合最值取到的條件靈活確定跟蹤演練3(1)對任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值為()A1 B2 C3 D4答案C解析|x1|x|y1|y1|(x1)x|(y1)(y1)|3，當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1，1<y<1時(shí)等號(hào)成立(2)(2018·杭州質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足|f(x)x2|，|f(x)1x2|，則f(1)_.答案解析由題意得|f(1)12|，|f(1)112|，由得f(1)，由得f(1)，所以f(1).真題體驗(yàn)1(2016·上海)設(shè)xR，則不等式|x3|<1的解集為_答案(2,4)解析由1<x3<1，得2<x<4，故解集為(2,4)2(2017·浙江改編)若x，y滿足約束條件則zx2y的取值范圍是_答案4，)解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分(含邊界)所示由題意可知，當(dāng)直線yx過點(diǎn)A(2,1)時(shí)，z取得最小值，即zmin22×14.所以zx2y的取值范圍是4，)3(2016·浙江改編)已知實(shí)數(shù)a，b，c，則下列正確的是_(填序號(hào))若|a2bc|ab2c|1，則a2b2c2<100；若|a2bc|a2bc|1，則a2b2c2<100；若|abc2|abc2|1，則a2b2c2<100；若|a2bc|ab2c|1，則a2b2c2<100.答案解析對，當(dāng)ab10，c110時(shí)，此式不成立；對，當(dāng)a10，b100，c0時(shí)，此式不成立；對，當(dāng)a10，b10，c0時(shí)，此式不成立故填.4(2017·天津)若a，bR，ab>0，則的最小值為_答案4解析a，bR，ab>0，4ab24，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)故的最小值為4.押題預(yù)測1已知x，y為正實(shí)數(shù)，且xy5，則xy的最大值是()A3 B.C4 D.押題依據(jù)基本不等式在歷年高考中的地位都很重要，已成為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，用基本不等式求函數(shù)(和式或積式)的最值問題，有時(shí)與解析幾何、數(shù)列等知識(shí)相結(jié)合答案C解析由xy5，得5xy，x>0，y>0，5xyxy，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)(xy)25(xy)40，解得1xy4，xy的最大值是4.2在R上定義運(yùn)算：adbc，若不等式1對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為()A B C. D.押題依據(jù)不等式的解法作為數(shù)學(xué)解題的一個(gè)基本工具，在高考中是必考內(nèi)容往往與函數(shù)的單調(diào)性相結(jié)合，最后轉(zhuǎn)化成一元一次不等式或一元二次不等式答案D解析由定義知，不等式1等價(jià)于x2x(a2a2)1，x2x1a2a對任意實(shí)數(shù)x恒成立x2x12，a2a，解得a，則實(shí)數(shù)a的最大值為.3設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z4xy的最小值為()A6 B6C7 D8押題依據(jù)線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，利用線性規(guī)劃的方法求一些線性目標(biāo)函數(shù)的最值是近幾年高考的熱點(diǎn)答案C解析由x，y滿足的約束條件畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，當(dāng)直線z4xy過點(diǎn)C(1,3)時(shí)，z取得最小值且最小值為437，故選C.4若不等式x22x<對任意a，b(0，)恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A(4,2)B(，4)(2，)C(，2)(0，)D(2,0)押題依據(jù)“恒成立”問題是函數(shù)和不等式交匯處的重要題型，可綜合考查不等式的性質(zhì)，函數(shù)的值域等知識(shí)，是高考的熱點(diǎn)答案A解析不等式x22x<對任意a，b(0，)恒成立，等價(jià)于不等式x22x<min.因?yàn)閷θ我鈇，b(0，)，28(當(dāng)且僅當(dāng)，即a4b>0時(shí)取等號(hào))，所以x22x<8，解得4<x<2，故選A.A組專題通關(guān)1若a>b>0，且ab1，則下列不等式成立的是()Aa<<log2(ab) B.<log2(ab)<aCa<log2(ab)< Dlog2(ab)<a<答案B解析方法一a>b>0，ab1，log2(ab)>log2(2)1.a1·2a，令f(a)a1·2a，又b，a>b>0，a>，解得a>1.f(a)a2·2aa1·2a·ln 2a2·2a(1aln 2)<0，f(a)在(1，)上單調(diào)遞減f(a)<f(1)，即<.aaa2a>ab>log2(ab)，<log2(ab)<a.故選B.方法二a>b>0，ab1，取a2，b，此時(shí)a4，log2(ab)log2511.3，<log2(ab)<a.故選B.2(2018·嘉興市、麗水市測試)已知p：不等式(ax1)·(x1)>0的解集為，q：a<，則p是q的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析由不等式(ax1)(x1)>0的解集為，得a<0且<1，解得a<0，所以“不等式(ax1)(x1)>0的解集為”是“a<”的充分不必要條件，故選A.3(2018·紹興市柯橋區(qū)質(zhì)檢)若x，y滿足約束條件則z2xy的取值范圍是()A4,0 B4，1C1,0 D0,1答案A解析作出約束條件所對應(yīng)的可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，平移直線y2xz，當(dāng)其過點(diǎn)B(1,2)，C(2,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z分別取到最大值0和最小值4，故選A.4(2018·諸暨模擬)已知a，bR，|asin2 |1，|bcos2|1，則()Aab的取值范圍是1,3Bab的取值范圍是3,1Cab的取值范圍是1,3Dab的取值范圍是3,1答案C解析由|asin2|1，|bcos2|1，得1asin21，1bcos21，則1bcos21，所以2asin2(bcos2)2，即2ab12，所以1ab3，故選C.5已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為3，若aman9a，則的最小值等于()A1 B. C. D.答案C解析正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為3，且aman9a，a2·3m2·a2·3n2a·3mn49a，mn6，×(mn)××，當(dāng)且僅當(dāng)m2n4時(shí)取等號(hào)故選C.6(2018·浙江省名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)若關(guān)于x的不等式|xt22|xt22t1|<3t無解，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()At1 B0t1Ct1 D1t5答案C解析|xt22|xt22t1|(xt22)(xt22t1)|2t1|，則由關(guān)于x的不等式|xt22|xt22t1|<3t無解，得|2t1|3t，解得t1，故實(shí)數(shù)t的取值范圍為t1，故選C.7(2018·嘉興市、麗水市測試)已知xy8(x，y>0)，則xy的最小值為()A5 B9 C4 D10答案B解析由xy8，得xy8，則(xy8)(xy)(xy)5529，當(dāng)且僅當(dāng)，即y2x>0時(shí)，等號(hào)成立，令txy，所以(t8)·t9，解得t1或t9，因?yàn)閤y>0，所以xy9，所以xy的最小值為9，故選B.8若實(shí)數(shù)a，b，c滿足對任意實(shí)數(shù)x，y有3x4y5axbyc3x4y5，則()Aabc的最小值為2Babc的最小值為4Cabc的最大值為4Dabc的最大值為6答案A解析由題意可得5(a3)x(b4)yc5恒成立，所以a3，b4，5c5，則2abc12，即abc的最小值是2，最大值是12，A正確，C錯(cuò)誤；6abc4，則abc的最小值是6，最大值是4，B錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤，故選A.9若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案2,4解析|xa|x1|a1|，則只需要|a1|3，解得2a4.10已知x0，y0，且xy1，則x2y2的取值范圍是_答案解析方法一由xy1，得y1x.又x0，y0，所以0x1，x2y2x2(1x)22x22x122.由0x1，得02，即x2y21.所以x2y2.方法二x2y2(xy)22xy，已知x0，y0，xy1，所以x2y212xy.因?yàn)?xy2，所以0xy，所以12xy1，即x2y2.方法三依題意，x2y2可視為原點(diǎn)與線段xy10(x0，y0)上的點(diǎn)的距離的平方，如圖所示，故(x2y2)min2，(x2y2)maxOA2OB21，故x2y2.11(2018·臺(tái)州市聯(lián)考)若實(shí)數(shù)x，y滿足x24y24xy4x2y232，則x2y的最小值為_，(x2y)2xy的最大值為_答案416解析因?yàn)閤24y24xy4x2y232，所以(x2y)24x2y232，則(x2y)232，4x2y4，即x2y的最小值為4.由(x2y)24x2y232，不妨設(shè)則(x2y)2xy4(sin cos )16sin()，其中tan ，所以當(dāng)sin()1時(shí)，(x2y)2xy取得最大值16.12(2018·浙江省衢州二中模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x>1，y>0，且x4y11，則的最大值為_答案9解析由x4y11得10(x1)4y，則210(x1)4y1010109，當(dāng)且僅當(dāng)，即2yx1>0時(shí)，等號(hào)成立，令t，則有t210t9，解得1t9，所以的最大值為9.B組能力提高13(2018·臺(tái)州市聯(lián)考)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足條件若z2x2y2，則()Az的最小值為 Bz的最小值為3Cz的最大值為33 Dz的最大值為6答案A解析在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示，由圖易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z2x2y2與平面區(qū)域內(nèi)的邊界xy10(x0)相切時(shí)，z2x2y2取得最小值，聯(lián)立消去y化簡得2x2x3z0，因?yàn)榍€z2x2y2與xy10(x0)相切，所以關(guān)于x的一元二次方程2x2x3z0有兩個(gè)相等的正實(shí)數(shù)根，則(1)24×2×(3z)0，解得z，滿足題意，即目標(biāo)函數(shù)z2x2y2的最小值為，由于不等式組所表示的平面區(qū)域右側(cè)為開放區(qū)域，所以目標(biāo)函數(shù)無最大值，故選A.14(2018·浙江省杭州第二中學(xué)等五校聯(lián)考)已知ABC的三邊長分別為a，b，c，有以下四個(gè)命題：以，為邊長的三角形一定存在；以2a,2b,2c為邊長的三角形一定存在；以a3，b3，c3為邊長的三角形一定存在；以|ab|c，|bc|a，|ca|b為邊長的三角形一定存在其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案B解析由題意不妨設(shè)abc，則bc>a.對于，()2()2bc2a>0，所以以，為邊長的三角形一定存在，正確；對于，令a5，bc3，此時(shí)a，b，c可以構(gòu)成三角形，而2a32,2b2c8，則2a,2b,2c不能構(gòu)成三角形，錯(cuò)誤；對于，取a3，bc2，此時(shí)a，b，c可以構(gòu)成三角形，而a327，b3c38，則a3，b3，c3不能構(gòu)成三角形，錯(cuò)誤；對于，因?yàn)閨ab|cacb，|bc|a|ca|babc，且abcacb，所以|bc|a|ca|b>|ab|c，所以以|ab|c，|bc|a，|ca|b為邊長的三角形一定存在，正確綜上所述，正確命題的個(gè)數(shù)為2，故選B.15(2018·浙江省臺(tái)州中學(xué)統(tǒng)練)設(shè)m，k為整數(shù)，方程mx2kx20在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則當(dāng)mk取到最小值時(shí)，m_，k_.答案67解析設(shè)f(x)mx2kx2，則方程mx2kx20在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根等價(jià)于函數(shù)f(x)mx2kx2在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，又因?yàn)閒(0)2>0，所以有化簡得以m為橫坐標(biāo)，k為縱坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(不包括邊界)所示，又因?yàn)閙，k為整數(shù)，則由圖易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zmk經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(6,7)時(shí)，zmk取得最小值zmin6713，此時(shí)m6，k7.16已知a>b，二次三項(xiàng)式ax22xb0對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，又存在x0R，使ax2x0b0成立，則的最小值為_答案2解析由題意，得a>b，二次三項(xiàng)式ax22xb0對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以a>0，且44ab0，所以ab1.由存在x0R，使ax2x0b0成立，可得0，所以ab1，所以a>1，所以>0，所以2，令a2t>2，則2(t2)424448，當(dāng)且僅當(dāng)t4時(shí)取等號(hào)，所以2的最小值為8，所以的最小值為2.17