（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 八大難點(diǎn)突破 難點(diǎn)6 數(shù)列中的證明、探索性和存在性、不定方程的解等綜合問(wèn)題學(xué)案

難點(diǎn)六數(shù)列中的證明、探索性和存在性、不定方程的解等綜合問(wèn)題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第72頁(yè))近幾年的高考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)以數(shù)列為載體的證明、探索等綜合問(wèn)題，這類問(wèn)題不僅考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，以及探索能力，而且給學(xué)生提供了創(chuàng)新思維的空間1等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明問(wèn)題有關(guān)證明、判斷數(shù)列是等差(等比)數(shù)列的主要證明方法有：定義法、性質(zhì)法定義法：用定義法判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，常采用的兩個(gè)式子anan1d和an1and有差別，前者必須加上“n2”，否則n1時(shí)a0無(wú)意義；在等比數(shù)列中一樣有：n2時(shí)，有q(常數(shù)q0)；nN*時(shí)，有q(常數(shù)q0)性質(zhì)法：anan22an1an是等差數(shù)列，anan2(an1)2(an0)an是等比數(shù)列，這是證明數(shù)列an為等差(等比)數(shù)列的另一種主要方法【例1】(蘇北四市淮安、宿 遷、連云港、徐州)2017屆高三上學(xué)期期中)在數(shù)列an中，已知a1，an1an，nN*，設(shè)Sn為an的前n項(xiàng)和(1)求證：數(shù)列3nan是等差數(shù)列；(2)求Sn；(3)是否存在正整數(shù)p，q，r(pqr)，使Sp，Sq，Sr成等差數(shù)列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，說(shuō)明理由解(1)證明：因?yàn)閍n1an，nN*，所以3n1an13nan2，又因?yàn)閍1，所以31·a11，所以3nan是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)知3nan1(n1)·(2)32n，所以an(32n)n，所以Sn1·1(1)·2(3)·3(32n)·n，所以Sn1·2(1)·3(52n)·n(32n)·n1，兩式相減得Sn2(32n)·n12(2n3)·n12n·n1，所以Sn.(3)假設(shè)存在正整數(shù)p，q，r(pqr)，使Sp，Sq，Sr成等差數(shù)列，則2SqSpSr，即.由于當(dāng)n2時(shí)，an(32n)n0，所以數(shù)列Sn單調(diào)遞減又pq，所以pq1且q至少為2，所以，.當(dāng)q3時(shí)，又0，所以，等式不成立當(dāng)q2時(shí)，p1，所以，所以，所以r3(Sn單調(diào)遞減，解唯一確定)綜上可知，p，q，r的值為1,2,3.2數(shù)列中探索與存在性問(wèn)題數(shù)列探索性問(wèn)題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果而要確定范圍內(nèi)的數(shù)值，則往往涉及不定方程的正整數(shù)解問(wèn)題【例2】(2017·江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)三模)已知數(shù)列an，bn都是單調(diào)遞增數(shù)列，若將這兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)按由小到大的順序排成一列(相同的項(xiàng)視為一項(xiàng))，則得到一個(gè)新數(shù)列cn(1)設(shè)數(shù)列an，bn分別為等差、等比數(shù)列，若a1b11，a2b3，a6b5，求c20；(2)設(shè)an的首項(xiàng)為1，各項(xiàng)為正整數(shù)，bn3n，若新數(shù)列cn是等差數(shù)列，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn；(3)設(shè)bnqn1(q是不小于2的正整數(shù))，c1b1，是否存在等差數(shù)列an，使得對(duì)任意的nN *，在bn與bn1之間數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)總是bn？若存在，請(qǐng)給出一個(gè)滿足題意的等差數(shù)列an；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394105】解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，由題意得，解得d0或3，因數(shù)列an，bn單調(diào)遞增，所以d0，q1，所以d3，q2，所以an3n2，bn2n1.因?yàn)閍1b11，a2b3，a6b5，b7a20.c20a1749.(2)設(shè)等差數(shù)列cn的公差為d，又a11，且bn3n，所以c11，所以cndn1d.因?yàn)閎13是cn中的項(xiàng)，所以設(shè)b1cn，即d(n1)2.當(dāng)n4時(shí)，解得d1，不滿足各項(xiàng)為正整數(shù)；當(dāng)b1c33時(shí)，d1，此時(shí)cnn，只需取ann，而等比數(shù)列bn的項(xiàng)都是等差數(shù)列an中的項(xiàng)，所以Sn；當(dāng)b1c23時(shí)，d2，此時(shí)cn2n1，只需取an2n1，由3n2m1，得m，3n是奇數(shù)，3n1是正偶數(shù)，m有正整數(shù)解，所以等比數(shù)列bn的項(xiàng)都是等差數(shù)列an中的項(xiàng)，所以Snn2.綜上所述，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn或Snn2.(3)存在等差數(shù)列an，只需首項(xiàng)a1(1，q)，公差dq1.下證bn與bn1之間數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為bn，即證對(duì)任意正整數(shù)n，都有即成立由bna1qqn21qn1a1(1qqn2)(q1)1a10，bn1a1qqn1qna1(1qqn11)(q1)qa10.所以首項(xiàng)a1(1，q)，公差dq1的等差數(shù)列an符合題意3