2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 立體幾何 第5節(jié) 空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用教學(xué)案 理 北師大版

第五節(jié)空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用最新考綱1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理1空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量方向向量A、B是空間直線l上任意兩點，則稱為直線l的方向向量法向量如果直線l垂直于平面，那么把直線l的方向向量n叫做平面的法向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量2空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實數(shù)，使得ab.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使pxayb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc，其中，a，b，c叫做空間的一個基底3兩個向量的數(shù)量積(1)非零向量a，b的數(shù)量積a·b|a|b|cosa，b(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律：結(jié)合律：(a)·b(a·b)；交換律：a·bb·a；分配律：a·(bc)a·ba·c.4空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1a2b2a3b3共線ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直a·b0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夾角a，b(a0，b0)cosa，b5空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1·n20直線l的方向向量為n，平面的法向量為mlnmn·m0lnmnm平面，的法向量分別為n，mnmnmnmn·m01對空間任一點O，若xy(xy1)，則P，A，B三點共線2對空間任一點O，若xyz(xyz1)，則P，A，B，C四點共面3平面的法向量的確定：設(shè)a，b是平面內(nèi)兩不共線向量，n為平面的法向量，則求法向量的方程組為一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面()(2)若A，B，C，D是空間任意四點，則有0.()(3)設(shè)a，b，c是空間的一個基底，則a，b，c中至多有一個零向量()(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同()答案(1)(2)(3)×(4)×二、教材改編1設(shè)u(2,2，t)，v(6，4,4)分別是平面，的法向量若，則t()A3B4C5D6C，則u·v2×62×(4)4t0，t5.2在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()AabcBabcCabcDabcA()c(ba)abc.3已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量是平面ABC法向量的是()A(1,1,1)B(1，1,1)CDC設(shè)n(x，y，z)為平面ABC的法向量，則化簡得xyz.故選C.4已知a(2,3,1)，b(4,2，x)，且ab，則|b|_.2ab，a·b0，即86x0，x2.b(4,2,2)，|b|2.考點1空間向量的線性運(yùn)算用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來1.如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別為OA，BC的中點，點G在線段MN上，且2，若xyz，則xyz_.連接ON，設(shè)a，b，c，則()bca，aabc.又xyz，所以x，y，z，因此xyz.2.如圖所示，在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解(1)因為P是C1D1的中點，所以aacacb.(2)因為N是BC的中點，所以abababc.(3)因為M是AA1的中點，所以aabc，又ca，所以abc.空間向量的線性運(yùn)算類似于平面向量中的線性運(yùn)算考點2共線(共面)向量定理的應(yīng)用證明三點共線和空間四點共面的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面且同過點Pxy對空間任一點O，t對空間任一點O，xy對空間任一點O，x(1x)對空間任一點O，xy(1xy)如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)求證：BD平面EFGH.證明(1)連接BG，EG，則.由共面向量定理的推論知E，F(xiàn)，G，H四點共面(2)因為()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(1)本例(2)在證明中運(yùn)用了向量共線定理及線面平行的判定定理(2)三點共線通常轉(zhuǎn)化為向量共線，四點共面通常轉(zhuǎn)化為向量共面，線面平行可轉(zhuǎn)化為向量共線、共面來證明 1.已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，則與的值可以是()A2，B，C3,2D2,2Aab，設(shè)bxa，解得或故選A.2已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，則實數(shù)等于_a與b不共線，故存在實數(shù)x，y使得cxayb，解得故填.考點3空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算(2)空間向量的數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長度問題a0，b0，aba·b0.|a|.cosa，b.如圖所示，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；(2)求證：AC1BD；(3)求BD1與AC夾角的余弦值解(1)記a，b，c，則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，a·bb·cc·a.|1|2(abc)2a2b2c22(a·bb·cc·a)1112×6，|，即AC1的長為.(2)證明：1abc，ba，1·(abc)·(ba)a·b|b|2b·c|a|2a·ba·cb·ca·c|b|c|cos 60°|a|c|cos 60°0.1，AC1BD.(3)1bca，ab，|1|，|，1·(bca)·(ab)b2a2a·cb·c1.cos1，.AC與BD1夾角的余弦值為. 對于不方便建立空間直角坐標(biāo)系的題目，常常借助基向量及數(shù)量積的定義求解；倘若建系方便，則通過坐標(biāo)法求解教師備選例題如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點，計算：(1)·；(2)·.解設(shè)a，b，c.則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，(1)ca，a，··(a)a2a·c，(2)·()·()·()·()·(ca).如圖，已知直三棱柱ABC­A1B1C1，在底面ABC中，CACB1，BCA90°，棱AA12，M，N分別是A1B1，A1A的中點(1)求的模；(2)求cos，的值；(3)求證：A1BC1M.解(1)如圖，以點C作為坐標(biāo)原點O，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系由題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以|.(2)由題意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，所以(1，1,2)，(0,1,2)，·3，|，|，所以cos，.(3)證明：由題意得C1(0,0,2)，M，(1,1，2)，所以·00，所以，即A1BC1M.考點4利用向量證明平行與垂直1.利用空間向量證明平行的方法線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行證明兩平面的法向量為共線向量；轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題2.利用空間向量證明垂直的方法線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎救鐖D所示，在四棱錐P­ABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四邊形ABCD中，BC90°，AB4，CD1，點M在PB上，PB4PM，PB與平面ABCD成30°角，求證：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面PAD.解(1)證明：由題意知，CB，CD，CP兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C­xyz.PC平面ABCD，PBC為PB與平面ABCD所成的角，PBC30°.PC2，BC2，PB4，D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，.設(shè)n(x，y，z)為平面PAD的一個法向量，由即令y2，得n(，2,1)n·×2×01×0，n.又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)法一：由(1)知(0,4,0)，(2，0，2)，設(shè)平面PAB的一個法向量為m(x0，y0，z0)，由即令x01，得m(1,0，)又平面PAD的一個法向量n(，2,1)，m·n1×()0×2×10，平面PAB平面PAD.法二：取AP的中點E，連接BE，則E(，2,1)，(，2,1)PBAB，BEPA.又·(，2,1)·(2，3,0)0，.BEDA.又PADAA，BE平面PAD.又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.點M的求解是本例的難點，求解的方式有兩種：一是在平面BCP中借助直角三角形中的邊角關(guān)系求解，二是借助向量共線定理利用4求解如圖所示，在長方體ABCD ­A1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD中點(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由解以A為原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABa.(1)證明：A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，.因為·×01×1(1)×10，因此，所以B1EAD1.(2)存在滿足要求的點P，假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE，此時(0，1，z0)，再設(shè)平面B1AE的一個法向量為n(x，y，z)(a,0,1)，.因為n平面B1AE，所以n，n，得取x1，則y，za，則平面B1AE的一個法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.所以存在點P，滿足DP平面B1AE，此時AP.13