（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考部分 第2講 不等式選講學(xué)案 理 新人教A版

第2講不等式選講做真題1(2019·高考全國卷)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc1.證明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.證明：(1)因為a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，且abc1，故有a2b2c2abbcca.所以a2b2c2.(2)因為a，b，c為正數(shù)且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3×(2)×(2)×(2)24.所以(ab)3(bc)3(ca)324.2(2019·高考全國卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x(，1)時，f(x)<0，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時，f(x)|x1|x|x2|(x1)當(dāng)x<1時，f(x)2(x1)2<0；當(dāng)x1時，f(x)0.所以，不等式f(x)<0的解集為(，1)(2)因為f(a)0，所以a1.當(dāng)a1，x(，1)時，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)<0.所以，a的取值范圍是1，)3(2019·高考全國卷)設(shè)x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，證明：a3或a1.解：(1)由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z時等號成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值為.(2)證明：由于(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，故由已知得(x2)2(y1)2(za)2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z時等號成立因此(x2)2(y1)2(za)2的最小值為.由題設(shè)知，解得a3或a1.明考情1不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，考查的重點是不等式的證明、絕對值不等式的解法等，命題的熱點是絕對值不等式的求解，以及絕對值不等式與函數(shù)的綜合問題的求解2此部分命題形式單一、穩(wěn)定，難度中等，備考本部分內(nèi)容時應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用含絕對值不等式的解法典型例題 (2018·高考全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)5|xa|x2|.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范圍【解】(1)當(dāng)a1時，f(x)可得f(x)0的解集為x|2x3(2)f(x)1等價于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且當(dāng)x2時等號成立故f(x)1等價于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范圍是(，62，)絕對值不等式的常用解法(1)基本性質(zhì)法：對aR，|x|<aa<x<a，|x|>ax<a或x>a.(2)平方法：兩邊平方去掉絕對值符號(3)零點分區(qū)間法：含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分區(qū)間法脫去絕對值符號，將其轉(zhuǎn)化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)求解(4)幾何法：利用絕對值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點的距離求解(5)數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對應(yīng)的兩個函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解 對點訓(xùn)練1(2019·廣州市調(diào)研測試)已知函數(shù)f(x)|xa|(aR)(1)當(dāng)a2時，解不等式|x|f(x)1；(2)設(shè)不等式|x|f(x)x的解集為M，若，M，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a2時，不等式可化為|3x1|x2|3，當(dāng)x時，不等式可化為13x2x3，解得x0，所以x0；當(dāng)<x<2時，不等式可化為3x12x3，解得x1，所以1x<2；當(dāng)x2時，不等式可化為3x1x23，解得x，所以x2.綜上所述，當(dāng)a2時，不等式的解集為x|x0或x1(2)不等式|x|f(x)x可化為|3x1|xa|3x，依題意不等式|3x1|xa|3x在x，上恒成立，所以3x1|xa|3x，即|xa|1，即a1xa1，所以，解得a，故實數(shù)a的取值范圍是，2(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測(二)設(shè)函數(shù)f(x)|x2|.(1)求不等式f(x)f(x)6的解集；(2)若不等式f(x4)f(x1)>kxm的解集為(，)，求km的取值范圍解：(1)f(x)f(x)|x2|x2|當(dāng)x<2時，2x6，所以x3；當(dāng)2x2時，46不成立，所以無解；當(dāng)x>2時，2x6，所以x3.綜上，x(，33，)(2)令g(x)f(x4)f(x1)|x2|x3|作出g(x)的圖象，如圖由f(x4)f(x1)>kxm的解集為(，)，結(jié)合圖象可知k0，m<5，所以km<5，即km的取值范圍是(，5)不等式的證明典型例題 (2019·成都市第二次診斷性檢測)已知函數(shù)f(x)|xm|x2m|的最大值為3，其中m>0.(1)求m的值；(2)若a，bR，ab>0，a2b2m2，求證：1.【解】(1)因為m>0，所以f(x)|xm|x2m|所以當(dāng)x2m時，f(x)取得最大值3m，所以3m3，所以m1.(2)證明：由(1)，得a2b21，2ab.因為a2b212ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立，所以0<ab.設(shè)tab，令h(t)2t，0<t，則h(t)在(0，上單調(diào)遞減，所以h(t)h()1.所以當(dāng)0<ab時，2ab1.所以1.證明不等式的常用方法不等式證明的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法等(1)如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，則考慮用分析法(2)利用放縮法證明不等式，就是舍掉式中一些正項或負(fù)項，或者在分式中放大或縮小分子、分母，還可把和式中各項或某項換為較大或較小的數(shù)或式子，從而達到證明不等式的目的(3)如果待證的是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的問題，則考慮用反證法用反證法證明不等式的關(guān)鍵是作出假設(shè)，推出矛盾對點訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)<|2x1|1的解集M；(2)設(shè)a，bM，證明：f(ab)>f(a)f(b)解：(1)由題意，|x1|<|2x1|1，當(dāng)x1時，不等式可化為x1<2x2，解得x<1；當(dāng)1<x<時，不等式可化為x1<2x2，此時不等式無解；當(dāng)x時，不等式可化為x1<2x，解得x>1.綜上，Mx|x<1或x>1(2)證明：因為f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要證f(ab)>f(a)f(b)，只需證|ab1|>|ab|，即證|ab1|2>|ab|2，即證a2b22ab1>a22abb2，即證a2b2a2b21>0，即證(a21)(b21)>0.因為a，bM，所以a2>1，b2>1，所以(a21)(b21)>0成立，所以原不等式成立2已知函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)3；(2)記函數(shù)g(x)f(x)|x1|，且g(x)的值域為M，若tM，證明t213t.解：(1)依題意，得f(x)所以f(x)3或或解得1x1，即不等式f(x)3的解集為x|1x1(2)證明：g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3，當(dāng)且僅當(dāng)(2x1)(2x2)0時取等號，所以M3，)t213t，因為tM，所以t30，t21>0，所以0，所以t213t.與絕對值不等式有關(guān)的取值(范圍)問題典型例題 (2019·重慶市七校聯(lián)合考試)已知函數(shù)f(x)(aa2)x4，g(x)|x1|x1|.(1)當(dāng)a時，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)在1，)上恒成立，求a的取值范圍【解】(1)當(dāng)a時，f(x)x4，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出f(x)x4，g(x)|x1|x1|的圖象，如圖所示，由，解得交點A的坐標(biāo)為(6，2)，所以不等式f(x)g(x)的解集為6，)(2)當(dāng)x1，)時，g(x)|x1|x1|2，因為不等式f(x)g(x)在1，)上恒成立，所以不等式(aa2)x42在1，)上恒成立，所以不等式aa2在1，)上恒成立，所以aa26，解得a3或a2.絕對值不等式的成立問題的求解模型(1)分離參數(shù)：根據(jù)不等式將參數(shù)分離化為af(x)或af(x)形式(2)轉(zhuǎn)化最值：f(x)>a恒成立f(x)min>a；f(x)<a恒成立f(x)max<a；f(x)>a有解f(x)max>a；f(x)<a有解f(x)min<a；f(x)>a無解f(x)maxa；f(x)<a無解f(x)mina.(3)求最值：利用基本不等式或絕對值不等式求最值(4)得結(jié)論 對點訓(xùn)練1(2019·貴州省適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)|x5|x4|.(1)解關(guān)于x的不等式f(x)x1；(2)若函數(shù)f(x)的最大值為M，設(shè)a，b為正實數(shù)，且(a1)(b1)M，求ab的最大值解：(1)f(x)|x5|x4|x1等價于或或.解得x10或0x<4或4x8，所以原不等式的解集為(，100，8(2)易知|x5|x4|(x5)(x4)|9，即M9.所以(a1)(b1)9，即9(a1)(b1)()21()21(1)2，于是13，解得ab4，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時等號成立，即ab的最大值為4.2(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測)設(shè)函數(shù)f(x)|x1|.(1)若f(x)2x>2，求實數(shù)x的取值范圍；(2)設(shè)g(x)f(x)f(ax)(a>1)，若g(x)的最小值為，求a的值解：(1)f(x)2x>2，即|x1|>22x或x>，所以實數(shù)x的取值范圍是(，)(2)因為a>1，所以1<，g(x)，易知函數(shù)g(x)在(，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，則g(x)ming()1.所以1，解得a2.1(2019·昆明市質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)|2x1|.(1)解不等式f(x)f(x1)4；(2)當(dāng)x0，xR時，證明：f(x)f()4.解：(1)不等式f(x)f(x1)4等價于|2x1|2x1|4，等價于或或，解得x1或x1，所以原不等式的解集是(，11，)(2)證明：當(dāng)x0，xR時，f(x)f()|2x1|1|，因為|2x1|1|2x|2|x|4，當(dāng)且僅當(dāng)，即x±1時等號成立，所以f(x)f()4.2(2019·武漢市調(diào)研測試)已知函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若直線yxa與yf(x)的圖象所圍成的多邊形面積為，求實數(shù)a的值解：(1)由題意知f(x)，由f(x)3可知：當(dāng)x1時，3x3，即x1；當(dāng)<x<1時，x23，即x1，與<x<1矛盾，舍去；當(dāng)x時，3x3，即x1.綜上可知不等式f(x)3的解集為x|x1或x1(2)畫出函數(shù)yf(x)的圖象，如圖所示，其中A(，)，B(1，3)，可知直線AB的斜率kAB1，知直線yxa與直線AB平行，若要圍成多邊形，則a>2.易得直線yxa與yf(x)的圖象交于C(，)，D(，)兩點，則|CD|·|a，平行線AB與CD間的距離d，|AB|，所以梯形ABCD的面積S··(a2)(a>2)，即(a2)(a2)12，所以a4，故所求實數(shù)a的值為4.3(2019·南昌市第一次模擬測試)已知函數(shù)f(x)|xm2|x2m3|.(1)求證：f(x)2；(2)若不等式f(2)16恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)證明：因為f(x)|xm2|x2m3|(xm2)(x2m3)|，所以f(x)|m22m3|(m1)222.(2)由已知，得f(2)m22|2m1|，當(dāng)m時，f(2)16等價于m22m316，即(m1)214，解得1m1，所以m1；當(dāng)m<時，f(2)16等價于m22m116，解得3m5，所以3m<.綜上，實數(shù)m的取值范圍是3，14(2019·江西八所重點中學(xué)聯(lián)考)已知不等式|ax1|x3|的解集為x|x1(1)求實數(shù)a的值；(2)求的最大值解：(1)|ax1|x3|的解集為x|x1，即(1a2)x2(2a6)x80的解集為x|x1，當(dāng)1a20時，不符合題意，舍去當(dāng)1a20，即a±1時，x1為方程(2a6)x80的一解，經(jīng)檢驗a1不符合題意，舍去，a1符合題意綜上，a1.(2)()2162162，當(dāng)t4時，()2有最大值32.又0，所以的最大值為4.5(2019·石家莊市模擬(一)設(shè)函數(shù)f(x)|1x|x3|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若函數(shù)f(x)的最大值為m，正實數(shù)p，q滿足p2qm，求的最小值解：(1)不等式可化為或或，解得x，所以f(x)1的解集為x|x(2)法一：因為|1x|x3|1xx3|4，所以m4，p2q4，所以(p2)2q6，()(p22q)(4)(42)，當(dāng)且僅當(dāng)p22q3，即時取“”，所以的最小值為.法二：因為|1x|x3|1xx3|4，所以m4，p2q4，所以p42q，q(0，2)，因為q(0，2)，所以當(dāng)q時，取得最小值.6(2019·成都第一次診斷性檢測)已知函數(shù)f(x)|2x1|1|.(1)求不等式f(x)3<0的解集；(2)若關(guān)于x的方程f(x)m22m0無實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)由題意，知f(x)|2x1|1|由f(x)3<0，可得或或，解得<x<.所以原不等式的解集為(，)(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的值域為，)若關(guān)于x的方程f(x)m22m無實數(shù)解，則m22m<0，解得2<m<0.所以實數(shù)m的取值范圍為(2，0)7已知f(x)2|x|x1|.(1)解關(guān)于x的不等式f(x)>4；(2)對于任意正數(shù)m，n，求使得不等式f(x)2nm恒成立的x的取值集合M.解：(1)當(dāng)x0時，不等式化為2x1x>4，所以x<1；當(dāng)0<x<1時，不等式化為2x1x>4，解得x>3，無解；當(dāng)x1時，不等式化為2xx1>4，所以x>，綜上，不等式f(x)>4的解集為(，1)(，)(2)因為2mn2mn4，當(dāng)且僅當(dāng)mn1時“”成立，所以2|x|x1|4，由(1)知x的取值集合M為1，8(2019·沈陽市質(zhì)量監(jiān)測(一)設(shè)a>b>0，且ab2，記的最小值為M.(1)求M的值，并寫出此時a，b的值；(2)解關(guān)于x的不等式：|3x3|x2|>M.解：(1)因為a>b>0，所以ab>0，>0，根據(jù)基本不等式有ab4，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以M的值為4，此時a1，b1.(2)當(dāng)x1時，原不等式等價于(3x3)(2x)>4，解得x<；當(dāng)1<x<2時，原不等式等價于(3x3)(2x)>4，解得<x<2；當(dāng)x2時，原不等式等價于(3x3)(x2)>4，解得x2.綜上所述，原不等式的解集為(，)(，)- 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