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(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十二 圓錐曲線的方程與性質(zhì)講義 理(重點(diǎn)生含解析)

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(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十二 圓錐曲線的方程與性質(zhì)講義 理(重點(diǎn)生含解析)

(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十二 圓錐曲線的方程與性質(zhì)講義 理(重點(diǎn)生,含解析)卷卷卷2018直線與拋物線的位置關(guān)系、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算·T8雙曲線的幾何性質(zhì)·T5雙曲線的幾何性質(zhì)·T11雙曲線的幾何性質(zhì)·T11直線的方程及橢圓的幾何性質(zhì)·T12直線與拋物線的位置關(guān)系·T162017直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、基本不等式的應(yīng)用·T10雙曲線的幾何性質(zhì)·T9雙曲線的漸近線及標(biāo)準(zhǔn)方程·T5雙曲線的幾何性質(zhì)·T15拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程·T16橢圓的幾何性質(zhì)·T102016雙曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程·T5雙曲線的定義、離心率問(wèn)題·T11直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的離心率問(wèn)題·T11拋物線與圓的綜合問(wèn)題·T10縱向把握趨勢(shì)卷3年6考,且每年都有2個(gè)小題同時(shí)出現(xiàn),涉及雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì),特別是雙曲線的幾何性質(zhì)及拋物線屬每年必考內(nèi)容預(yù)計(jì)2019年仍會(huì)延續(xù)以上命題方式,注意圓錐曲線與其他問(wèn)題的綜合卷3年5考,且3年均考查了雙曲線的幾何性質(zhì)在2018年高考中考查了橢圓的幾何性質(zhì),且難度較大預(yù)計(jì)2019年仍會(huì)以選擇題或填空題的形式考查雙曲線的幾何性質(zhì)或橢圓的幾何性質(zhì)卷3年5考,涉及雙曲線的幾何性質(zhì)、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系,既有選擇題,也有填空題,難度適中預(yù)計(jì)2019年仍會(huì)以選擇題或填空題的形式考查雙曲線或橢圓的方程及性質(zhì)橫向把握重點(diǎn)1.圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容以選擇題、填空題的形式考查,常出現(xiàn)在第412或1516題的位置,著重考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程,難度中等2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中與交點(diǎn)個(gè)數(shù),弦長(zhǎng)、面積中點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題,一般難度中等.圓錐曲線的定義與方程A2B3C4 D5解析:選B設(shè)|PF2|m,則|PF1|PF2|2a,即m42a.在PF1F2中,由余弦定理得42m22×m×4×cos 120°4(a22)聯(lián)立,解得a3.2已知雙曲線1(b>0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析:選D由題意知雙曲線的漸近線方程為y±x,圓的方程為x2y24,聯(lián)立解得或即第一象限的交點(diǎn)為.由雙曲線和圓的對(duì)稱性,得四邊形ABCD為矩形,其相鄰兩邊長(zhǎng)為,故2b,得b212.故雙曲線的方程為1.3(2018·唐山模擬)過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AF|2|BF|6,則p_.解析:設(shè)直線AB的方程為xmy,A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2,將直線AB的方程代入拋物線方程得y22pmyp20,所以y1y2p2,4x1x2p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,過(guò)A作ACl,垂足為C,過(guò)B作BDl,垂足為D,因?yàn)閨AF|2|BF|6,根據(jù)拋物線的定義知,|AF|AC|x16,|BF|BD|x23,所以x1x23,x1x29p,所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2,即18p720,解得p4.答案:44(2018·合肥質(zhì)檢)拋物線E:y24x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A,過(guò)拋物線E上一點(diǎn)P(在第一象限內(nèi))作l的垂線PQ,垂足為Q.若四邊形AFPQ的周長(zhǎng)為16,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)解析:設(shè)P(x,y),其中x>0,y>0,由拋物線的定義知|PF|PQ|x1.根據(jù)題意知|AF|2,|QA|y,則或(舍去)所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)答案:(4,4)系統(tǒng)方法1圓錐曲線的定義(1)橢圓:|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)(2)雙曲線:|PF1|PF2|2a(2a<|F1F2|)(3)拋物線:|PF|PM|,點(diǎn)F不在直線l上,PMl于M.2求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型,后計(jì)算”所謂“定型”,就是確定曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置;所謂“計(jì)算”,就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2,p的值圓錐曲線的幾何性質(zhì)由題知法(2018·陜西質(zhì)檢)過(guò)雙曲線1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作圓x2y2a2的切線FM(切點(diǎn)為M),交y軸于點(diǎn)P.若M為線段FP的中點(diǎn),則雙曲線的離心率是()A. B.C2 D.解析因?yàn)镺MPF,且M為FP的中點(diǎn),所以POF為等腰直角三角形,即PFO45°,則不妨令切線FM的方程為xyc,由圓心到切線的距離等于半徑得a,所以e.答案A(2018·全國(guó)卷)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線上,PF1F2為等腰三角形,F(xiàn)1F2P120°,則C的離心率為()A. B.C. D.解析如圖,作PBx軸于點(diǎn)B.由題意可設(shè)|F1F2|PF2|2,則c1.由F1F2P120°,可得|PB|,|BF2|1,故|AB|a11a2,tan PAB,解得a4,所以e.答案D如圖,過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若F是AC的中點(diǎn),且|AF|4,則線段AB的長(zhǎng)為()A5 B6C. D.學(xué)解題法一:直接法(學(xué)生用書(shū)不提供解題過(guò)程)如圖,設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A作ADl交l于點(diǎn)D,由拋物線的定義知,|AD|AF|4,由F是AC的中點(diǎn),知|AF|2|MF|2p,所以2p4,解得p2,拋物線的方程為y24x.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|x1x114,所以x13,又x1x21,所以x2,所以|AB|x1x2p.法二:性質(zhì)法(學(xué)生用書(shū)提供解題過(guò)程)如圖,設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A作ADl交l于點(diǎn)D,由拋物線的定義知,|AD|AF|4,由F是AC的中點(diǎn),知|AF|2|MF|2p,所以2p4,解得p2,拋物線的方程為y24x.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)?,|AF|4,所以|BF|,所以|AB|AF|BF|4.答案C類題通法1橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍,關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關(guān)系或不等關(guān)系,然后把b用a,c代換,求的值或范圍2雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法:把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號(hào)右邊的1改為0,分解因式可得(2)用法:可得或的值利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程利用e求離心率3拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)若線段AB為拋物線y22px(p>0)過(guò)焦點(diǎn)F的一條弦,A(x1,y1),B(x2,y2),則(1)x1x2,y1y2p2;(2)焦半徑|AF|x1;(3);(4)弦長(zhǎng)lx1x2p.當(dāng)弦ABx軸時(shí),弦長(zhǎng)最短為2p,此時(shí)的弦又叫通徑應(yīng)用通關(guān)1(2018·全國(guó)卷)已知雙曲線C:y21,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為C的右焦點(diǎn),過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N.若OMN為直角三角形,則|MN|()A. B3C2 D4解析:選B法一:由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y±x.設(shè)兩條漸近線的夾角為2,則有tan ,所以30°.所以MON260°.又OMN為直角三角形,由于雙曲線具有對(duì)稱性,不妨設(shè)MNON,如圖所示在RtONF中,|OF|2,則|ON|.在RtOMN中,|MN|ON|·tan 2·tan 60°3.故選B.法二:因?yàn)殡p曲線y21的漸近線方程為y±x,所以MON60°.不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線與直線yx交于點(diǎn)M,由OMN為直角三角形,不妨設(shè)OMN90°,則MFO60°,又直線MN過(guò)點(diǎn)F(2,0),所以直線MN的方程為y(x2),由得所以M,所以|OM| ,所以|MN|OM|3,故選B.2(2018·貴陽(yáng)模擬)過(guò)雙曲線1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作圓x2y2a2的切線FM,切點(diǎn)為M,交y軸于點(diǎn)P,若,且雙曲線的離心率e,則()A1 B2C3 D4解析:選B如圖,|OF|c,|OM|a,OMPF,所以|MF|b,根據(jù)射影定理得|PF|,所以|PM|b,所以.因?yàn)閑212,所以.所以2.3已知橢圓x21(0<b<1)的左焦點(diǎn)為F,左、右頂點(diǎn)分別為A,C,上頂點(diǎn)為B.過(guò)F,B,C三點(diǎn)作圓P,其中圓心P的坐標(biāo)為(m,n),當(dāng)mn>0時(shí),橢圓的離心率的取值范圍為()A. B.C. D.解析:選A由題意知F,B,C的坐標(biāo)分別為(c,0),(0,b),(1,0),則FC,BC的垂直平分線分別為x,y,聯(lián)立解得mn>0,即bbcb2c>0,整理得(1b)(bc)>0,b>c,從而b2>c2,即a2>2c2,e2<,又e>0,0<e<.4(2019屆高三·武漢調(diào)研)過(guò)拋物線C:y24x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于P,Q兩點(diǎn),與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M,且3,則|_.解析:過(guò)點(diǎn)P作PP1垂直準(zhǔn)線于P1,由3,得|PM|2|PF|,又由拋物線的定義知|PF|PP1|,所以|PM|2|PP1|.由三角形相似得,所以|PP1|,所以|.答案:直線與圓錐曲線的位置關(guān)系多維例析角度一直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率e<.以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為8,面積為2.(1)求橢圓C的方程;(2)若點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C上一點(diǎn),直線l的方程為3x0x4y0y120,求證:直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)解(1)依題意,設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0),焦距為2c,由題設(shè)條件知,4a8,a2,2××2c×b2,b2c2a24,所以b,c1或b1,c(經(jīng)檢驗(yàn)不合題意,舍去),故橢圓C的方程為1.(2)證明:當(dāng)y00時(shí),由1,可得x0±2,當(dāng)x02,y00時(shí),直線l的方程為x2,直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)(2,0)當(dāng)x02,y00時(shí),直線l的方程為x2,直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)(2,0)當(dāng)y00時(shí),直線l的方程為y,聯(lián)立消去y,得(4y3x)x224x0x4816y0.由點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C上一點(diǎn),得1,可得4y3x12.于是方程可以化簡(jiǎn)為x22x0xx0,解得xx0,將xx0代入方程y可得yy0,故直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P(x0,y0),綜上,直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)為P(x0,y0)類題通法直線與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的解題策略判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo),也可利用消元后的一元二次方程的判別式來(lái)確定,需注意利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0.并且解題時(shí)注意應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求、整體代換的技巧角度二弦長(zhǎng)及面積問(wèn)題(2018·蘭州檢測(cè))已知橢圓K:1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,其離心率e,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的半焦距為半徑的圓與直線xy20相切(1)求K的方程;(2)過(guò)F2的直線l交K于A,B兩點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),連接OM并延長(zhǎng)交K于點(diǎn)C,若四邊形OACB的面積S滿足:a2S,求直線l的斜率解(1)由題意得解得故橢圓K的方程為y21.(2)由于直線l的傾斜角不可為零,所以設(shè)直線l的方程為myx1,與y21聯(lián)立并化簡(jiǎn)可得(m22)y22my10.設(shè)M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2,y1y2,可得y0,x0my01.設(shè)C(x,y),又 (>0),所以xx0,yy0.因?yàn)镃在K上,故21m222.設(shè)h1為點(diǎn)O到直線l的距離,h2為點(diǎn)C到直線l的距離,則h2(1)h1.又由點(diǎn)到直線的距離公式得,h1.而|AB|·,所以S|AB|(h1h2)·.由題意知,S,所以.將代入式得m±1,所以直線l的斜率為±1.類題通法弦長(zhǎng)問(wèn)題的解題策略(1)在涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中,應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng);涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題,可考慮用圓錐曲線的定義求解(2)弦長(zhǎng)計(jì)算公式:直線AB與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長(zhǎng)|AB|· ·,其中k為弦AB所在直線的斜率角度三弦的中點(diǎn)問(wèn)題已知拋物線C:y22x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn)(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明:ARFQ;(2)若PQF的面積是ABF面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程解由題意可知F,設(shè)l1:ya,l2:yb,則ab0,且A,B,P,Q,R.(1)證明:記過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線為l,則l的方程為2x(ab)yab0.因?yàn)辄c(diǎn)F在線段AB上,所以ab10,記直線AR的斜率為k1,直線FQ的斜率為k2,所以k1,k2b,又因?yàn)閍b10,所以k1b,所以k1k2,即ARFQ.(2)設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0),所以SABF|ab|FD|ab|×,又SPQF,所以由題意可得SPQF2SABF,即2××|ab|×,解得x10(舍去)或x11.設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),由kABkDE,可得(x1)又,所以y2x1(x1)當(dāng)AB與x軸垂直時(shí),E與D重合,所以所求軌跡方程為y2x1.類題通法弦中點(diǎn)及弦問(wèn)題的解題策略(1)對(duì)于弦的中點(diǎn)問(wèn)題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解,在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí),要注意使用條件>0,在用“點(diǎn)差法”時(shí),要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交(2)圓錐曲線以P(x0,y0)(y00)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率分別是k,k,k(拋物線y22px)其中k(x1x2),(x1,y1),(x2,y2)為弦的端點(diǎn)坐標(biāo)綜合訓(xùn)練1(2019屆高三·山西八校聯(lián)考)如圖,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸在x軸上,上頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,線段OF1,OF2的中點(diǎn)分別為B1,B2,且AB1B2是面積為4的直角三角形(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)B1作直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使得PB2QB2,求直線l的方程解:(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0),右焦點(diǎn)為F2(c,0)因?yàn)锳B1B2是直角三角形,且|AB1|AB2|,所以B1AB290°,因此|OA|OB2|,得b.由c2a2b2,得4b2a2b2,故a25b2,c24b2,所以離心率e.在RtAB1B2中,OAB1B2,故SAB1B2·|B1B2|·|OA|OB2|·|OA|·bb2.由題設(shè)條件SAB1B24,得b24,所以a25b220.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由(1)知B1(2,0),B2(2,0)由題意知直線l的斜率存在且不為0,故可設(shè)直線l的方程為xmy2,代入橢圓方程并整理得(m25)y24my160.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1y2,y1y2,又(x12,y1), (x22,y2),所以·(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616,由PB2QB2,得·0,即16m2640,解得m±2.所以滿足條件的直線l有兩條,其方程分別為x2y20和x2y20.2.(2018·惠州調(diào)研)如圖,橢圓C:1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(2,0),左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過(guò)點(diǎn)A且斜率為的直線與y軸交于點(diǎn)P,與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)B,且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為點(diǎn)F1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)P且斜率大于的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn)(|PM|>|PN|),若SPAMSPBN,求實(shí)數(shù)的取值范圍解:(1)因?yàn)锽F1x軸,所以點(diǎn)B,所以解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)因?yàn)?>2),所以.由(1)可知P(0,1),設(shè)直線MN:ykx1,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立化簡(jiǎn)得(4k23)x28kx80.則x1x2,x1x2.又(x1,y11), (x2,y21),則x1x2,即,所以22,即.因?yàn)閗>,所以(1,4),則1<<4且>24<<42.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為(4,42) 重難增分圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)的綜合問(wèn)題典例細(xì)解(2017·全國(guó)卷)設(shè)A,B是橢圓C:1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)若C上存在點(diǎn)M滿足AMB120°,則m的取值范圍是()A(0,19,)B(0, 9,)C(0,14,) D(0, 4,)解析當(dāng)0m3時(shí),焦點(diǎn)在x軸上,要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120°,則tan 60°,即,解得0m1.當(dāng)m3時(shí),焦點(diǎn)在y軸上,要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120°,則tan 60°,即,解得m9.故m的取值范圍為(0,19,)答案A啟思維本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的對(duì)稱性,求解本題時(shí),要注意橢圓的長(zhǎng)軸所在的坐標(biāo)軸,題目中只說(shuō)A,B為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),并未說(shuō)明橢圓長(zhǎng)軸所在的坐標(biāo)軸,因此,需要根據(jù)m與3的大小關(guān)系,討論橢圓長(zhǎng)軸所在的坐標(biāo)軸(2017·全國(guó)卷)過(guò)拋物線C:y24x的焦點(diǎn)F,且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上且MNl,則M到直線NF的距離為()A. B2C2 D3解析法一:依題意,得直線FM的傾斜角為60°,則|MN|MF|cos 60°2,由拋物線的定義,得|MN|MF|4.又NMF等于直線FM的傾斜角,即NMF60°,因此MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,所以點(diǎn)M到直線NF的距離為4×2.法二:由題意,得F(1,0),則直線FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x軸的上方,得M(3,2),由MNl,得|MN|MF|314.又NMF等于直線FM的傾斜角,即NMF60°,因此MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,所以點(diǎn)M到直線NF的距離為4×2.答案C啟思維本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)涉及拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的有關(guān)問(wèn)題,應(yīng)充分利用拋物線的定義求解本題中直線的傾斜角為特殊角60°,通過(guò)解三角形更快捷(2016·全國(guó)卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C:1(ab0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左、右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn),且PFx軸過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn),則C的離心率為()A. B.C. D.解析如圖所示,由題意得A(a,0),B(a,0),F(xiàn)(c,0)設(shè)E(0,m),由PFOE,得,則|MF|.又由OEMF,得,則|MF|.由得ac(ac),即a3c,所以e.答案A啟思維本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,解決本題時(shí),要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用綜合訓(xùn)練1(2018·福州模擬)已知雙曲線E:1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)M,N在E上,MNF1F2,|MN|F1F2|,線段F2M交E于點(diǎn)Q,且,則E的離心率為()A. B.C2 D.解析:選B設(shè)雙曲線E的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),MNF1F2,|MN|F1F2|,|MN|c,不妨設(shè)M.,Q是線段F2M的中點(diǎn),Q.把M,Q分別代入E的方程1(a>0,b>0),可得15,e.2已知點(diǎn)A(2,3)在拋物線C:y22px(p>0)的準(zhǔn)線上,過(guò)點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為()A. B.C. D.解析:選D拋物線y22px的準(zhǔn)線為直線x,因?yàn)辄c(diǎn)A(2,3)在準(zhǔn)線上,所以2,即p4,從而C:y28x,焦點(diǎn)為F(2,0)設(shè)切線方程為y3k(x2),代入y28x,消去x,化簡(jiǎn)得y2y2k30(k0),由14××(2k3)0,得k2或k,因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限,所以k.將k代入中得y8,再將y8代入y28x中,得x8,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,8),所以直線BF的斜率為.3.(2018·石家莊模擬)如圖,兩個(gè)橢圓的方程分別為1(a>b>0)和1(a>b>0,m>1),從大橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別向小橢圓引切線AC,BD,若AC,BD的斜率之積恒為,則大橢圓的離心率為()A. B.C. D.解析:選A易知大橢圓和小橢圓的離心率相等大橢圓的方程為1,則A(ma,0),B(0,mb),設(shè)切線AC的方程為yk1(xma),聯(lián)立消去y,得(a2kb2)x22mka3xm2ka4a2b20,由(2mka3)24(ka2b2)(m2ka4a2b2)0,化簡(jiǎn)得ka2m2ka2b20k·,設(shè)直線BD的斜率為k2,同理可得k(m21),kk··(m21)2,e .專題跟蹤檢測(cè)(對(duì)應(yīng)配套卷P193)一、全練保分考法保大分1直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的,則該橢圓的離心率為()A.B.C. D.解析:選B不妨設(shè)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)B(0,b)和一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0),則直線l的方程為1,即bxcybc0.由題意知×2b,解得,即e.故選B.2(2019屆高三·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)已知F為雙曲線C:1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),其關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線上,則雙曲線C的離心率為()A. B.C2 D.解析:選C依題意,設(shè)雙曲線的漸近線yx的傾斜角為,則有3,tan ,雙曲線C的離心率e 2.3(2019屆高三·南寧、柳州名校聯(lián)考)已知雙曲線1(b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y28x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±3x Dy±x解析:選B由題意知,拋物線的焦點(diǎn)是(2,0),即雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),則c2,且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,所以3b22,即b1,于是雙曲線的漸近線方程為y±x.4(2018·昆明調(diào)研)過(guò)拋物線C:y22px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),過(guò)線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M,若|MN|AB|,則l的傾斜角為()A15° B30°C45° D60°解析:選B分別過(guò)A,B,N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A,B,Q,由拋物線的定義知|AF|AA|,|BF|BB|,|NQ|(|AA|BB|)|AB|,因?yàn)閨MN|AB|,所以|NQ|MN|,所以MNQ60°,即直線MN的傾斜角為120°,又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角,所以直線l的傾斜角為30°.5(2018·南昌模擬)已知F1,F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且F1PF2,則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為()A. B.C1 D.解析:選B如圖,設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓和雙曲線的左、右焦點(diǎn),P是第一象限的點(diǎn),橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2,則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a1,|PF1|PF2|2a2,|PF1|a1a2,|PF2|a1a2.設(shè)|F1F2|2c,又F1PF2,則在PF1F2中,由余弦定理得,4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos ,化簡(jiǎn)得(2)a(2)a4c2,設(shè)橢圓的離心率為e1,雙曲線的離心率為e2,4,又2,4,即e1·e2,橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為.6(2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2y21的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F1作F1PF2的平分線的垂線,垂足為H,則|OH|()A1 B2C4 D.解析:選A不妨設(shè)P在雙曲線的左支,如圖,延長(zhǎng)F1H交PF2于點(diǎn)M,由于PH既是F1PF2的平分線又垂直于F1M,故PF1M為等腰三角形,|PF1|PM|且H為F1M的中點(diǎn),所以O(shè)H為MF1F2的中位線,所以|OH|MF2|(|PF2|PM|)(|PF2|PF1|)1.7已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y28x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|_.解析:拋物線C:y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),準(zhǔn)線方程為x2.從而橢圓E的半焦距c2.可設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0),因?yàn)殡x心率e,所以a4,所以b2a2c212.由題意知|AB|2×6.答案:68(2018·南寧模擬)已知橢圓1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是xy50,弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(4,1),則橢圓的離心率是_解析:設(shè)直線xy50與橢圓1相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),因?yàn)锳B的中點(diǎn)M(4,1),所以x1x28,y1y22.易知直線AB的斜率k1.由兩式相減得,0,所以·,所以,于是橢圓的離心率e.答案:9(2019屆高三·惠州調(diào)研)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)其中一個(gè)焦點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M,若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi),則雙曲線離心率的取值范圍是_解析:如圖,不妨設(shè)F1(0,c),F(xiàn)2(0,c),則過(guò)點(diǎn)F1與漸近線yx平行的直線為yxc,聯(lián)立解得即M.因?yàn)辄c(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓x2y2c2內(nèi),故22<c2,化簡(jiǎn)得b2<3a2,即c2a2<3a2,解得<2,又雙曲線的離心率e1,所以雙曲線離心率的取值范圍是(1,2)答案:(1,2)10(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為B,若BF1F2的周長(zhǎng)為6,且點(diǎn)F1到直線BF2的距離為B.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)A1,A2是橢圓C長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),P是橢圓C上不同于A1,A2的任意一點(diǎn),直線A1P交直線xm于點(diǎn)M,若以MP為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A2,求實(shí)數(shù)m的值解:(1)由題意得F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),B(0,b),則2a2c6.直線BF2的方程為bxcybc0,所以b,即2ca.又a2b2c2,所以由可得a2,b,所以橢圓C的方程為1.(2)不妨設(shè)A1(2,0),A2(2,0),P(x0,y0),則直線A1P的方程為y(x2),所以M.又點(diǎn)P在橢圓C上,所以y3.若以MP為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A2,則A2MA2P,即·0,所以·(x02,y0)(m2)(x02)(m2)(m2)(x02)(m2)(x02)0.又點(diǎn)P不同于點(diǎn)A1,A2,所以x0±2,所以m0,解得m14.11(2018·唐山模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中,長(zhǎng)為1的線段的兩端點(diǎn)C,D分別在x軸、y軸上滑動(dòng), .記點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線與曲線E相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時(shí),求四邊形AOBM的面積解:(1)設(shè)C(m,0),D(0,n),P(x,y)由 ,得(xm,y)(x,ny),所以得由|1,得m2n2(1)2,所以(1)2x2y2(1)2,整理,得曲線E的方程為x21.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由,知點(diǎn)M坐標(biāo)為(x1x2,y1y2)由題意知,直線AB的斜率存在設(shè)直線AB的方程為ykx1,代入曲線E的方程,得(k22)x22kx10,則x1x2,x1x2.y1y2k(x1x2)2.由點(diǎn)M在曲線E上,知(x1x2)21,即1,解得k22.所以|AB|x1x2|,又原點(diǎn)到直線AB的距離d,所以平行四邊形OAMB的面積S|AB|·d.12(2019屆高三·洛陽(yáng)第一次統(tǒng)考)已知短軸長(zhǎng)為2的橢圓E:1(a>b>0),直線n的橫、縱截距分別為a,1,且原點(diǎn)O到直線n的距離為.(1)求橢圓E的方程;(2)直線l經(jīng)過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F且與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),若橢圓E上存在一點(diǎn)C滿足 2 0,求直線l的方程解:(1)橢圓E的短軸長(zhǎng)為2,b1.依題意設(shè)直線n的方程為y1,由,解得a,故橢圓E的方程為y21.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),顯然不符合題意當(dāng)直線l的斜率不為0或直線l的斜率不存在時(shí),F(xiàn)(,0),設(shè)直線l的方程為xty,由消去x,得(t23)y22ty10,y1y2,y1y2, 20,x3x1x2,y3y1y2,又點(diǎn)C在橢圓E上,y221,又y1,y1,x1x2y1y20,將x1ty1,x2ty2及代入得t21,即t1或t1.故直線l的方程為xy0或xy0.二、強(qiáng)化壓軸考法拉開(kāi)分1(2018·全國(guó)卷)設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn)過(guò)F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若|PF1|OP|,則C的離心率為()A. B2C. D.解析:選C法一:不妨設(shè)一條漸近線的方程為yx,則F2到y(tǒng)x的距離db.在RtF2PO中,|F2O|c,所以|PO|a,所以|PF1|a,又|F1O|c,所以在F1PO與RtF2PO中,根據(jù)余弦定理得cosPOF1cosPOF2,即3a2c2(a)20,得3a2c2,所以e.法二:如圖,過(guò)點(diǎn)F1向OP的反向延長(zhǎng)線作垂線,垂足為P,連接PF2,由題意可知,四邊形PF1PF2為平行四邊形,且PPF2是直角三角形因?yàn)閨F2P|b,|F2O|c,所以|OP|a.又|PF1|a|F2P|,|PP|2a,所以|F2P|ab,所以ca,所以e.2(2018·合肥質(zhì)檢)已知橢圓M:y21,圓C:x2y26a2在第一象限有公共點(diǎn)P,設(shè)圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為k1,橢圓M在點(diǎn)P處的切線斜率為k2,則的取值范圍為()A(1,6) B(1,5)C(3,6) D(3,5)解析:選D由于橢圓M:y21,圓C:x2y26a2在第一象限有公共點(diǎn)P,所以解得3<a2<5.設(shè)橢圓M:y21與圓C:x2y26a2在第一象限的公共點(diǎn)P(x0,y0),則橢圓M在點(diǎn)P處的切線方程為y0y1,圓C在P處的切線方程為x0xy0y6a2,所以k1,k2,a2,所以(3,5)3(2019屆高三·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)一條動(dòng)直線l與拋物線C:x24y相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若2,則()242的最大值為()A24 B16C8 D16解析:選B由2知G是線段AB的中點(diǎn),(),()242()2()24·.由A,B是動(dòng)直線l與拋物線C:x24y的交點(diǎn),不妨設(shè)A,B,4·44 164216,()242的最大值為16.4(2018·合肥檢測(cè))已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F,直線l過(guò)點(diǎn)F交拋物線于A,B兩點(diǎn),且|AF|3|FB|.直線l1,l2分別過(guò)點(diǎn)A,B,且與x軸平行,在直線l1,l2上分別取點(diǎn)M,N(M,N分別在點(diǎn)A,B的右側(cè)),分別作ABN和BAM的角平分線并相交于點(diǎn)P,則PAB的面積為()A. B.C. D.解析:選C因?yàn)閽佄锞€方程為y24x,所以其焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x1,如圖所示,不妨設(shè)點(diǎn)B在x軸上方,過(guò)點(diǎn)B向l1作垂線,垂足為C.設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),因?yàn)閨AF|3|FB|,所以xA13(xB1),所以xAxB2(xB1)2|FB|,所以cosBAC,所以BAC60°,因?yàn)锳P,BP分別為BAM與ABN的角平分線,所以BAP60°,ABP30°,所以APB90°,所以|AP|2|FB|2xB2,所以SPAB|AP|AB|sin 60°×2(xB1)×4(xB1)×2(xB1)2.由BAC60°,F(xiàn)(1,0)可得直線AB的方程為y(x1),聯(lián)立解得x或x3,易知xB,所以SPAB2×2.5已知等腰梯形ABCD中,ABCD,AB2CD4,BAD60°,雙曲線以A,B為焦點(diǎn),且與線段CD(包括端點(diǎn)C,D)有兩個(gè)交點(diǎn),則該雙曲線的離心率的取值范圍是_解析:以AB所在直線為x軸,AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O且垂直于AB的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則A(2,0),B(2,0),C(1,)設(shè)以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線方程為1(a>0,b>0),則c2.由a2b2c2,得b24a2,當(dāng)x1時(shí),y2a25.要使雙曲線與線段CD(包括端點(diǎn)C,D)有兩個(gè)交點(diǎn),則a253,解得a242或0a242,由a242得a12,舍去,a242,即0a1.雙曲線的離心率e1.即該雙曲線的離心率的取值范圍是1,)答案:1,)6(2018·洛陽(yáng)統(tǒng)考)已知F1,F(xiàn)2分別為雙曲線C:1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),P(x0,y0)是雙曲線C右支上的一點(diǎn),連接PF1并過(guò)F1作垂直于PF1的直線交雙曲線左支于R,Q,其中R(x0,y0),QF1P為等腰三角形,則雙曲線C的離心率為_(kāi)解析:設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接OP,OR,F(xiàn)2P,F(xiàn)2R,因?yàn)镻,R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以|OP|OR|,又|OF1|OF2|,PF1RQ,故四邊形F1RF2P為矩形設(shè)|PF1|m,由雙曲線的定義,得|PF2|m2a.法一:因?yàn)镼F1P為等腰直角三角形,所以|QF1|PF1|m,|PQ|m,連接QF2,則|QF2|m2a.在QPF2中,QPF245°90°135°,由余弦定理得(m2a)2(m2a)2(m)22(m2a)·m·cos 135°,化簡(jiǎn)得m3a.在RtF1PF2中,|PF1|3a,|PF2|a,|F1F2|2c,所以(3a)2a2(2c)2,即5a22c2,即雙曲線的離心率為.法二:因?yàn)镼F1P為等腰直角三角形,所以|QF1|PF1|m,連接QF2,則在RtQRF2中,|RQ|2m2a,|RF2|m,|QF2|m2a,由勾股定理得(2m2a)2m2(m2a)2,化簡(jiǎn)得m3a.在RtF1PF2中,|PF1|3a,|PF2|a,|F1F2|2c,所以(3a)2a2(2c)2,即5a22c2,即雙曲線的離心率為.答案:

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本文((通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十二 圓錐曲線的方程與性質(zhì)講義 理(重點(diǎn)生含解析))為本站會(huì)員(xt****7)主動(dòng)上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請(qǐng)立即通知裝配圖網(wǎng)(點(diǎn)擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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