（浙江專用）2022高考數(shù)學二輪復習 專題三 數(shù)列與不等式 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學案

（浙江專用）2022高考數(shù)學二輪復習 專題三 數(shù)列與不等式 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學案考情考向分析1.等差、等比數(shù)列基本量和性質的考查是高考熱點，經常以小題形式出現(xiàn).2.等差、等比數(shù)列的判定及綜合應用也是高考考查的重點，注意基本量及定義的使用，考查分析問題、解決問題的綜合能力熱點一等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算1.通項公式等差數(shù)列：ana1(n1)d；等比數(shù)列：ana1·qn1.2求和公式等差數(shù)列：Snna1d；等比數(shù)列：Sn3性質若mnpq，在等差數(shù)列中amanapaq；在等比數(shù)列中am·anap·aq.例1(1)(2018·全國)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若3S3S2S4，a12，則a5等于()A12 B10 C10 D12答案B解析設等差數(shù)列an的公差為d，由3S3S2S4，得32a1×d4a1×d，將a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24×(3)10.故選B.(2)(2018·杭州質檢)設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若S480，S28，則公比q_，a5_.答案3162解析由題意可得，S4S2q2S2，代入得q29.等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，q3，解得a12，故a5162.思維升華在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時，若條件和結論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計算，以減少計算量跟蹤演練1(1)(2018·浙江省重點中學聯(lián)考)設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若a12 017，S62S318，則S2 019等于()A2 016 B2 019 C2 017 D2 018答案B解析在等差數(shù)列an中，設公差為d.S62S318，a4a5a6(a1a2a3)9d18.d2，S2 0192 019a12 019×2 0182 019×2 0172 019，故選B.(2)(2018·全國)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.求an的通項公式；記Sn為an的前n項和，若Sm63，求m.解設an的公比為q，由題設得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN*)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.熱點二等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明證明數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)；利用等差中項，即證明2anan1an1(n2，nN*)(2)證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明(nN*)為一常數(shù)；利用等比中項，即證明aan1an1(n2，nN*)例2已知數(shù)列an，bn，其中a13，b11，且滿足an(3an1bn1)，bn(an13bn1)，nN*，n2.(1)求證：數(shù)列anbn為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和Tn.(1)證明anbn(3an1bn1)(an13bn1)2(an1bn1)，又a1b13(1)4，所以anbn是首項為4，公比為2的等比數(shù)列(2)解由(1)知，anbn2n1，又anbn(3an1bn1)(an13bn1)an1bn1，又a1b13(1)2，所以anbn為常數(shù)數(shù)列，anbn2，聯(lián)立得，an2n1，所以，所以Tn(nN*)思維升華(1)判斷一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列，也可以利用通項公式及前n項和公式，但不能作為證明方法(2)aan1an1(n2)是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件，判斷時還要看各項是否為零跟蹤演練2已知an是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項和為Sn，且Sn為an與的等差中項(1)求證：數(shù)列S為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)設bn，求bn的前n項和Tn.(1)證明由題意知2Snan，即2Snana1，(*)當n2時，有anSnSn1，代入(*)式得2Sn(SnSn1)(SnSn1)21，整理得SS1(n2)又當n1時，由(*)式可得a1S11，數(shù)列S是首項為1，公差為1的等差數(shù)列(2)解由(1)可得S1n1n，數(shù)列an的各項都為正數(shù)，Sn，當n2時，anSnSn1，又a1S11滿足上式，an(nN*)(3)解由(2)得bn(1)n()，當n為奇數(shù)時，Tn1(1)()()()，當n為偶數(shù)時，Tn1(1)()()()，數(shù)列bn的前n項和Tn(1)n(nN*)熱點三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題，要從兩個數(shù)列的特征入手，理清它們的關系；數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問題，可以結合數(shù)列的單調性、最值求解例3已知等差數(shù)列an的公差為1，且a2a7a126.(1)求數(shù)列an的通項公式an與其前n項和Sn；(2)將數(shù)列an的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列bn的前3項，記bn的前n項和為Tn，若存在mN*，使得對任意nN*，總有Sn<Tm恒成立，求實數(shù)的取值范圍解(1)由a2a7a126，得a72，a14，an5n，從而Sn(nN*)(2)由題意知b14，b22，b31，設等比數(shù)列bn的公比為q，則q，Tm8，m隨m的增加而減少，Tm為遞增數(shù)列，得4Tm<8.又Sn(n29n)，故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使得對任意nN*，總有Sn<Tm，則10<8，得>2.即實數(shù)的取值范圍為(2，)思維升華(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便(2)數(shù)列的項或前n項和可以看作關于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質求解數(shù)列問題(3)數(shù)列中的恒成立問題可以通過分離參數(shù)，通過求數(shù)列的值域求解跟蹤演練3已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn13(an1)，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設數(shù)列bn滿足an1若bnt對于任意正整數(shù)n都成立，求實數(shù)t的取值范圍解(1)由已知得Sn3an2，令n1，得a11，又an1Sn1Sn3an13an，得an1an，所以數(shù)列an是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以ann1(nN*)(2)由an1 得bnn1n·n1，所以bn1bn(n1)·nn·n1(2n)，所以(bn)maxb2b3，所以t.即t的取值范圍為.真題體驗1(2017·全國改編)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若a4a524，S648，則an的公差為_答案4解析設an的公差為d，由得解得d4.2(2017·浙江改編)已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4S6>2S5”的_條件答案充要解析方法一數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，S44a16d，S55a110d，S66a115d，S4S610a121d,2S510a120d.若d>0，則21d>20d,10a121d>10a120d，即S4S6>2S5.若S4S6>2S5，則10a121d>10a120d，即21d>20d，d>0.“d>0”是“S4S6>2S5”的充要條件方法二S4S6>2S5S4S4a5a6>2(S4a5)a6>a5a5d>a5d>0.“d>0”是“S4S6>2S5”的充要條件3(2017·北京)若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11，a4b48，則_.答案1解析設等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，則由a4a13d，得d3，由b4b1q3，得q38，q2.1.4(2017·江蘇)等比數(shù)列an的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn，已知S3，S6，則a8_.答案32解析設an的首項為a1，公比為q，則解得所以a8×272532.押題預測1設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1>0，a3a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為()A6 B7C12 D13押題依據(jù)等差數(shù)列的性質和前n項和是數(shù)列最基本的知識點，也是高考的熱點，可以考查學生靈活變換的能力答案C解析a1>0，a6a7<0，a6>0，a7<0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3a10a1a12>0，a1a132a7<0，S12>0，S13<0，滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12.2在等比數(shù)列an中，a33a22，且5a4為12a3和2a5的等差中項，則an的公比等于()A3 B2或3C2 D6押題依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題可反映知識運用的綜合性和靈活性，是高考出題的重點答案C解析設公比為q,5a4為12a3和2a5的等差中項，可得10a412a32a5，10a3q12a32a3q2，得10q122q2，解得q2或3.又a33a22，所以a2q3a22，即a2(q3)2，所以q2.3已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5，存在兩項am，an使得4a1，則的最小值為()A. B.C. D.押題依據(jù)本題在數(shù)列、方程、不等式的交匯處命題，綜合考查學生應用數(shù)學的能力，是高考命題的方向答案A解析由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4，整理得q2q20，解得q2或q1(不合題意，舍去)又由4a1，得aman16a，即a2mn216a，即有mn24，亦即mn6，那么(mn)，當且僅當，即n2m4時取等號4定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等比數(shù)列an，f(an)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為()A BC D押題依據(jù)先定義一個新數(shù)列，然后要求根據(jù)定義的條件推斷這個新數(shù)列的一些性質或者判斷一個數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問題是近年來高考中逐漸興起的一類問題，這類問題一般形式新穎，難度不大，常給人耳目一新的感覺答案C解析由等比數(shù)列的性質得，anan2a.f(an)f(an2)aa(a)2f(an1)2；f(an)f(an2)f(an1)2；f(an)f(an2)f(an1)2；f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f(an1)2.A組專題通關1在正項等比數(shù)列an中，已知a3a564，則a1a7的最小值為()A64 B32C16 D8答案C解析在正項等比數(shù)列an中，a3a564，a3a5a1a764，a1a7222×816，當且僅當a1a78時取等號，a1a7的最小值為16，故選C.2(2018·嘉興市、麗水市模擬)已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且a81，則2|a9|a10|的最小值為()A3 B2C1 D0答案C解析因為數(shù)列an為等差數(shù)列，所以2a9a8a10，則2|a9|a8a10|a8|a10|，所以2|a9|a10|a8|1，當且僅當a10<0且|a10|a8|1時，等號成立，故選C.3(2018·諸暨市高考適應性考試)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，公差d不等于零，若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則()Aa1d>0，dS3>0Ba1d>0，dS3<0Ca1d<0，dS3>0Da1d<0，dS3<0答案C解析因為數(shù)列an為等差數(shù)列，且a2，a3，a6構成等比數(shù)列，所以aa2a6，即(a12d)2(a1d)(a15d)，結合d0化簡得d2a10，則a1d2a<0，dS3d(a1a1da12d)2a1(a1a12a1a14a1)6a>0，故選C.4(2018·浙江省溫州六校協(xié)作體聯(lián)考)設an是公比為實數(shù)q的等比數(shù)列，首項a164，對于nN*，an2bn，當且僅當n4時，數(shù)列bn的前n項和取得最大值，則q的取值范圍是()A. B. C. D.答案C解析由題意得2bn1bnq>0，所以bn1bnlog2q為常數(shù)，又因為a164，所以b16，所以數(shù)列bn為首項為6，公差為log2q的等差數(shù)列，又因為當且僅當n4時，數(shù)列bn的前n項和取得最大值，所以解得<q<，故選C.5(2018·浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)已知正項數(shù)列an中，a11，a22，an(n2)，則a6等于()A2 B4 C16 D45答案B解析由an得a，即aaaa(n2)，所以數(shù)列a為等差數(shù)列，且首項為a1，公差為daa3，則aa5d16，又因為數(shù)列an為正項數(shù)列，所以a64，故選B.6已知等差數(shù)列an的公差不為0，a11，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，設an的前n項和為Sn，則Sn_.答案(nN*)解析設等差數(shù)列an的公差為d.a2，a4，a8成等比數(shù)列，aa2·a8，即(a13d)2(a1d)·(a17d)，(13d)2(1d)·(17d)，解得d1或d0(舍)Snna1d(nN*)7等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a28，且SnS7，則公差d的取值范圍是_答案解析a28a1d，a18d，Snna1d(8d)nddn2n，對稱軸為n，SnS7，S7為Sn的最大值，由二次函數(shù)的性質可得，得d，即d的取值范圍是.8(2018·浙江省金華十校模擬)已知等差數(shù)列an滿足：a4>0，a5<0，數(shù)列的前n項和為Sn，則的取值范圍是_答案解析因為在等差數(shù)列an中，a4>0，a5<0，所以等差數(shù)列an的公差d<0，且解得3d<a1<4d，所以.9(2018·浙江省杭州第二中學等五校聯(lián)考)已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若1，S5，S10成等差數(shù)列，則S102S5_，S15S10的最小值為_答案14解析因為1，S5，S10成等差數(shù)列，所以2S51S10，則S102S51.又由等比數(shù)列的性質得S5，S10S5，S15S10成等比數(shù)列，且已知an>0，所以S15S10S52224，當且僅當S5，即S51時等號成立，所以S15S10的最小值為4.10(2018·天津)設an是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Sn(nN*)，bn是等差數(shù)列已知a11，a3a22，a4b3b5，a5b42b6.(1)求an和bn的通項公式；(2)設數(shù)列Sn的前n項和為Tn(nN*)，求Tn；證明：2(nN*)(1)解設等比數(shù)列an的公比為q.由a11，a3a22，可得q2q20.由q>0，可得q2，故an2n1.設等差數(shù)列bn的公差為d.由a4b3b5，可得b13d4.由a5b42b6，可得3b113d16，從而b11，d1，故bnn.所以數(shù)列an的通項公式為an2n1(nN*)，數(shù)列bn的通項公式為bnn(nN*)(2)解由(1)得Sn2n1，故Tn(2k1)knn2n1n2(nN*)證明因為，所以2(nN*)B組能力提高11(2018·浙江省名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)已有正項數(shù)列an是單調遞增的等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且滿足a1b1，a5b5，則以下結論：a3<b3；a3>b3；a6<b6；a6>b6，正確的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案B解析設數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，則由a5b5得a14db1q4，又a1b1，所以d.因為數(shù)列an為正項單調遞增數(shù)列，所以a1>0，d>0，則q41>0，解得q>1或q<1.當q>1時，an可以看作是直線上的點的縱坐標，bn可以看作是指數(shù)函數(shù)圖象上的點的縱坐標，則易得此時a6<b6；當q<1時，b6<0，此時a6>b6，錯誤由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質易得a3，bb1b5a1a5，則ab2a1a52>0，所以a3>b3，錯誤，正確綜上所述，正確結論的個數(shù)為1.故選B.12已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a115，且滿足an1an4n216n15，已知n，mN*，n>m，則SnSm的最小值為()A B C14 D28答案C解析根據(jù)題意可知(2n5)an1(2n3)an(2n5)(2n3)，式子左、右兩端同除以(2n5)(2n3)，可得1，即1，所以數(shù)列是以5為首項，以1為公差的等差數(shù)列，所以5(n1)·1n6，即an(n6)(2n5)，由此可以判斷出a3，a4，a5這三項是負數(shù)，從而得到當n5，m2時，SnSm取得最小值，且SnSmS5S2a3a4a536514.13已知數(shù)列an滿足a13，an12ann1，數(shù)列bn滿足b12，bn1bnann.(1)證明：ann為等比數(shù)列；(2)數(shù)列cn滿足cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.(1)證明an12ann1，an1(n1)2(ann)，又a112，ann是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)知ann(a11)·2n12n，bn1bnann，bn1bn2n，累加得到bn22n (n2)當n1時，b12，bn2n，cn.Tn.14設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a(a1,1)，b(1，a10)，若a·b24，且S11143，數(shù)列bn的前n項和為Tn，且滿足Tn(a11)(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式及數(shù)列的前n項和Mn；(2)是否存在非零實數(shù)，使得數(shù)列bn為等比數(shù)列？并說明理由解(1)設數(shù)列an的公差為d，由a(a1,1)，b(1，a10)，a·b24，得a1a1024，又S11143，解得a13，d2，因此數(shù)列an的通項公式是an2n1(nN*)，所以，所以Mn(nN*)(2)因為Tn(a11)(nN*)，且a13，所以Tn，當n1時，b1；當n2時，bnTnTn1，此時有4，若bn是等比數(shù)列，則有4，而b1，b2，彼此相矛盾，故不存在非零實數(shù)使數(shù)列bn為等比數(shù)列