2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)案 理（含解析）新人教A版

第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用2019考綱考題考情1三種函數(shù)模型性質(zhì)比較2.幾種常見的函數(shù)模型 “直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對(duì)數(shù)增長”先快后慢，其增長速度緩慢。一、走進(jìn)教材1(必修1P107A組T1改編)在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()Ay2xByx21Cy2x2 Dylog2x解析根據(jù)x0.50，y0.99，代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x2.01，y0.98，代入計(jì)算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)ylog2x，可知滿足題意。故選D。答案D二、走近高考2(2018·浙江高考)我國古代數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何?！痹O(shè)雞翁、雞母、雞雛個(gè)數(shù)分別為x，y，z，則當(dāng)z81時(shí)，x_，y_。解析因?yàn)閦81，所以解得答案8113(2017·北京高考)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080。下列各數(shù)中與最接近的是(參考數(shù)據(jù)：lg30.48)()A1033B1053C1073D1093解析因?yàn)?gt;0，所以lglglg3361lg1080361lg38093.28。所以1093。故選D。答案D三、走出誤區(qū)微提醒：對(duì)三種函數(shù)增長速度的理解不深致錯(cuò)；建立函數(shù)模型出錯(cuò)；計(jì)算出錯(cuò)。4已知f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時(shí)，對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是()Af(x)>g(x)>h(x) Bg(x)>f(x)>h(x)Cg(x)>h(x)>f(x) Df(x)>h(x)>g(x)解析由圖象知，當(dāng)x(4，)時(shí)，增長速度由大到小依次為g(x)>f(x)>h(x)。故選B。答案B5生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)x22x20(萬元)。1萬件售價(jià)是20萬元，為獲取最大利潤，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為()A36萬件 B18萬件C22萬件 D9萬件解析利潤L(x)20xC(x)(x18)2142，當(dāng)x18萬件時(shí)，L(x)有最大值。故選B。答案B6一個(gè)容器裝有細(xì)砂a cm3，細(xì)砂從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)砂量為yaebtcm3，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的細(xì)砂，則再經(jīng)過_min，容器中的細(xì)砂只有開始時(shí)的八分之一。解析當(dāng)t0時(shí)，ya，當(dāng)t8時(shí)，yae8ba，所以e8b，容器中的細(xì)砂只有開始時(shí)的八分之一時(shí)，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，則t24，所以再經(jīng)過16 min容器中的細(xì)砂只有開始時(shí)的八分之一。答案16考點(diǎn)一用函數(shù)圖象的變化刻畫變化過程【例1】(2017·全國卷)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖。根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)解析通過題圖可知A不正確，并不是逐月增加，但是每一年是遞增的，所以B正確。從圖觀察C是正確的，D也正確，1月至6月比較平穩(wěn)，7月至12月波動(dòng)比較大。故選A。答案A當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案?！咀兪接?xùn)練】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1 L 汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況。下列敘述中正確的是()A消耗1 L汽油，乙車最多可行駛5 kmB以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80 km/h的速度行駛1 h，消耗10 L汽油D某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80 km/h，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油解析對(duì)于A選項(xiàng)：由題圖可知，當(dāng)乙車速度大于40 km/h時(shí)，乙車每消耗1 L汽油，行駛里程都超過5 km，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：由題意可知，以相同速度行駛相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三輛車中甲車耗油最少，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：甲車以80 km/h的速度行駛時(shí)，燃油效率為10 km/L，則行駛1 h，消耗了汽油80×1÷108(L)，則C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：速度在80 km/h以下時(shí)，丙車比乙車燃油效率更高，所以更省油，故D對(duì)。答案D考點(diǎn)二已知函數(shù)模型的實(shí)際問題【例2】某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)。已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克。(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。解(1)因?yàn)閤5時(shí)，y11，所以1011，a2。(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y10(x6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3<x<6。從而，f(x)30(x4)(x6)。于是，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)極大值42由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)。所以，當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42。即當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。求解已給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)1認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)。2根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)。3利用該模型求解實(shí)際問題?！咀兪接?xùn)練】某食品的保鮮時(shí)間y(單位：h)與儲(chǔ)藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))。若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192 h，在22 的保鮮時(shí)間是48 h，則該食品在33 的保鮮時(shí)間是_ h。解析依題意有192eb,48e22kbe22k·eb，所以e22k，所以e11k或(舍去)，于是該食品在33 的保鮮時(shí)間是e33kb(e11k)3·eb3×19224(h)。答案24考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型的實(shí)際問題微點(diǎn)小專題方向1：構(gòu)建二次函數(shù)模型【例3】某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y14.1x0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y22x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A10.5萬元B11萬元C43萬元D43.025萬元解析設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16x)輛，所以可得利潤y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x)20.1×32。因?yàn)閤0,16，且xN，所以當(dāng)x10或11時(shí)，總利潤取得最大值43萬元。故選C。答案C方向2：構(gòu)建分段函數(shù)模型【例4】“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn)。研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí)，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù)。當(dāng)x不超過4尾/立方米時(shí)，v的值為2千克/年；當(dāng)4<x20時(shí)，v是x的一次函數(shù)，當(dāng)x達(dá)到20尾/立方米時(shí)，因缺氧等原因，v的值為0千克/年。(1)當(dāng)0<x20時(shí)，求函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)解析式。(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時(shí)，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達(dá)到最大？求出最大值。解(1)由題意得當(dāng)0<x4時(shí)，v2；當(dāng)4<x20時(shí)，設(shè)vaxb，顯然vaxb在(4,20內(nèi)是減函數(shù)，由已知得解得所以vx，故函數(shù)v(2)設(shè)年生長量為f(x)千克/立方米，依題意并由(1)可得f(x)當(dāng)0<x4時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故f(x)maxf(4)4×28；當(dāng)4<x20時(shí)，f(x)x2x(x220x)(x10)2，f(x)maxf(10)12.5。所以當(dāng)0<x20時(shí)，f(x)的最大值為12.5。即當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時(shí)，魚的年生長量可以達(dá)到最大，最大值為12.5千克/立方米。方向3：構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型【例5】(1)世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長率約是(參考數(shù)據(jù)lg 20.301 0,100.007 51.017)()A1.5% B1.6%C1.7% D1.8%(2)十三屆全國人大一次會(huì)議政府工作報(bào)告指出：過去五年來，我國經(jīng)濟(jì)實(shí)力躍上新臺(tái)階。國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增加到82.7萬億元，年均增長7.1%，占世界經(jīng)濟(jì)比重從11.4%提高到15%左右，對(duì)世界經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)率超過30%,2018年發(fā)展的預(yù)期目標(biāo)是國內(nèi)生產(chǎn)總值增長6.5%左右。如果從2018年開始，以后每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按6.5%的增長率增長，那么2020年的國內(nèi)生產(chǎn)總值約為(提示：1.06531.208)()A93.8萬億元B99.9萬億元C97萬億元D106.39萬億元解析(1)設(shè)每年人口平均增長率為x，則(1x)402，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，則40lg(1x)lg2，所以lg(1x)0.007 5，所以100.007 51x，得1x1.017，所以x1.7%。故選C。(2)由題意可知，2020年我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為：82.7×(16.5%)399.9(萬億元)。故選B。答案(1)C(2)B解函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，首先應(yīng)考慮該題考查的是何種函數(shù)，然后根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式(注意定義域)，并進(jìn)行相關(guān)求解，最后結(jié)合實(shí)際意義作答。以上過程可簡潔表述為：8