直線的方程經(jīng)典題型總結(jié)加練習(xí)題-含答案

（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0180（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，不存在。過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式： 所有直線都有傾斜角，但不是所有直線都有斜率概念考查1、已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（1，3a）的直線與經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，1）和點(diǎn)Q（a，2a）的直線互相垂直，求實(shí)數(shù)a的值。xyxyxyABDOOOOxy2、直線與在同一坐標(biāo)系下可能的圖是（ ）C3、直線必過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A（3，2） B（2，3） C（2，3） D（2，3）4、如果直線（其中均不為0）不通過(guò)第一象限，那么應(yīng)滿足的關(guān)系是（ ）A B C D同號(hào)5、若點(diǎn)A（2，3），B（3，2），直線過(guò)點(diǎn)P（1，1），且與線段AB相交，則的斜率的取值范圍是（ ）A或 B或 C D（3）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則 （4）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離概念考查（1） 求兩平行線：3x+4y=10和：3x+4y=15的距離。（2） 求過(guò)點(diǎn)M（-2，1）且與A（-1，2），B（3，0）兩點(diǎn)距離相等的直線方程。（3） 直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，-5），且與點(diǎn)A（3，-2）和點(diǎn)B（-1,6）的距離之比為1:2，求直線的方程（4） 直線過(guò)點(diǎn)A（0,1），過(guò)點(diǎn)（5,0），如果，且與的距離為5，求、的方程（5）已知點(diǎn)P（2，-1）a、求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線的方程b、求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線的方程，最大距離是多少（5）、求關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的對(duì)稱問(wèn)題的方法。（1）求已知點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。（距離相等，三點(diǎn)同線）（2）求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線。（平行，點(diǎn)到線距離相等）（3）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)。（在垂直線上，距離相等）（4）求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線。（平行：距離相等；相交：過(guò)交點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)稱）概念考查已知直線：y=3x+3，求：（1） 點(diǎn)P（4，5）關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；（2） 直線y=x-2關(guān)于的對(duì)稱直線的方程；（3） 直線關(guān)于點(diǎn)A（3，2）的對(duì)稱直線的方程。（6）直線上動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)距離的最大最小值a. 在直線上求一點(diǎn)P使PA+PB取得最小值時(shí)，若點(diǎn)A、B位于直線的同側(cè)，則作點(diǎn)A（或點(diǎn)B）關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)（或點(diǎn)），連接（或）交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求。若點(diǎn)A、B位于直線的異側(cè)，直接連接AB交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P即為所求?？珊?jiǎn)記“同側(cè)對(duì)稱異側(cè)連”。即兩點(diǎn)位于直線的同側(cè)時(shí)，作其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；兩點(diǎn)位于直線的異側(cè)時(shí)，直接連接兩點(diǎn)即可。 b. 在直線上求一點(diǎn)P使|PA|-|PB|取得最大值時(shí)，方法與a恰好相反，即“異側(cè)對(duì)稱同側(cè)連”。概念考查（1） 已知兩點(diǎn)A（3，-3），B（5,1），直線，在直線上求一點(diǎn)P，使|PA|+|PB|最小。（2） 求一點(diǎn)P，使|PA|-|PB|最大直線的方程經(jīng)典例題經(jīng)典例題透析類型一：求規(guī)定形式的直線方程1(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，5)，斜率是4直線的點(diǎn)斜式方程；(2)求傾斜角是，在軸上的截距是5；直線的斜截式方程；(3)求過(guò)A(-2，-2)，B(2，2)兩點(diǎn)直線的兩點(diǎn)式方程；(4)求過(guò)A(-3，0)， B(0，2)兩點(diǎn)直線的截距式方程.思路點(diǎn)撥：直線方程有點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式，要根據(jù)條件寫出直線方程.解：(1)由于直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，5)，斜率是4，由直線的點(diǎn)斜式可得；(2)；.總結(jié)升華：寫規(guī)定形式的方程，要注意方程的形式.舉一反三：【變式1】(1)寫出傾斜角是，在軸上的截距是-2直線的斜截式方程；(2)求過(guò)A(-2，-3)，B(-5，-6)兩點(diǎn)直線的兩點(diǎn)式方程；(3)求過(guò)A(1，0)， B(0，-4)兩點(diǎn)直線的截距式方程.【答案】(1)；.類型二：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問(wèn)題2過(guò)點(diǎn)P(2，1)作直線與x軸、y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，求AOB面積的最小值及此時(shí)直線的方程.思路點(diǎn)撥：因直線已經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(2，1)，只缺斜率，可先設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，且易知k<0，再用k表示A、B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)及不等式知識(shí)求解.解析：解法一：設(shè)直線的方程為:y-1=k(x-2)，令y=0，得:x=；令x=0，得y=1-2k，與x軸、y軸的交點(diǎn)均在正半軸上，>0且1-2k>0故k<0，AOB的面積當(dāng)且僅當(dāng)-4k=-，即k=-時(shí)，S取最小值4，故所求方程為y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.總結(jié)升華：解法一與解法二選取了直線方程的不同形式，解法三考慮到圖形的直觀性，利用了形數(shù)結(jié)合的思想，體現(xiàn)了解題的“靈活性”. 已知直線過(guò)一點(diǎn)時(shí)，常設(shè)其點(diǎn)斜式方程，但需注意斜率不存在的直線不能用點(diǎn)斜式表示，從而使用點(diǎn)斜式或斜截式方程時(shí)，要考慮斜率不存在的情況，以免丟解. 而直線在坐標(biāo)軸上的截距，可正、可負(fù)，也可以為零，不能與距離混為一談，注意如何由直線方程求其在坐標(biāo)軸上的截距.類型三：斜率問(wèn)題3求過(guò)點(diǎn)，且與軸的交點(diǎn)到點(diǎn)的距離為5的直線方程.思路點(diǎn)撥：要對(duì)直線是否存在斜率的不同情況加以分類解析，結(jié)合題目中的相關(guān)條件設(shè)出對(duì)應(yīng)的直線方程，然后求解.解析：(1)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，因?yàn)橹本€與軸相交，所以，設(shè)直線的斜率為， 已知直線過(guò)點(diǎn)，代入點(diǎn)斜式方程，得， 所以直線與軸的交點(diǎn)為則有，解得， 故所求直線方程為；(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且垂直于軸的直線與軸的交點(diǎn)(-4，0)到的距離也恰好 為5，所以直線也滿足條件.綜上所述，所求直線方程為或.總結(jié)升華：解答此類問(wèn)題時(shí)，容易忽視直線斜率不存在時(shí)的情況，同學(xué)們?cè)趯?shí)際解答時(shí)要全面考慮.斜率不存在的直線(即垂直于軸的直線)不能用點(diǎn)斜式、斜截式方程求解，點(diǎn)斜式、斜截式方程的使用條件是直線斜率必須存在.因此，用點(diǎn)斜式、斜截式方程求解直線方程時(shí)要考慮斜率不存在的情況，以免丟解.類型四：截距問(wèn)題4求過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.思路點(diǎn)撥：要對(duì)直線截距的不同情況加以分類解析，結(jié)合題目中的相關(guān)條件設(shè)出對(duì)應(yīng)的直線方程，然后求解.直線在兩軸上截距相等，直接考慮截距式方程，也可以用由圖形性質(zhì)，得到k=-1時(shí)截距相等，從而選用點(diǎn)斜式. 解題時(shí)特別要注意截距都是0的情況，這時(shí)選用函數(shù).解析：(1)當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)代入得，解得，故所求直線方程為；(2)當(dāng)截距為0時(shí)，直線方程為綜上所述，所求直線方程為或.總結(jié)升華：注意截距與距離的區(qū)別，截距可正、可負(fù)、可為零，不可與距離混為一談.截距式方程的使用條件是直線在軸、軸上的截距都存在且不為零，垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線不能用該方程求解，因此用截距式方程要考慮截距為零的情況.解答此類問(wèn)題時(shí)，容易遺漏所求直線在在軸、軸上的截距為0的情況，在實(shí)際解答時(shí)要全面考慮.