2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第3講 推理與證明教案

第3講推理與證明自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2020·江西)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10A28B76C123D199解析觀察規(guī)律，歸納推理從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10b10123.答案C2(2020·福建)某地區(qū)規(guī)劃道路建設(shè)，考慮道路鋪設(shè)方案方案設(shè)計(jì)圖中，點(diǎn)表示城市，兩點(diǎn)之間連線表示兩城市間可鋪設(shè)道路，連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設(shè)道路的費(fèi)用，要求從任一城市都能到達(dá)其余各城市，并且鋪設(shè)道路的總費(fèi)用最小例如：在三個(gè)城市道路設(shè)計(jì)中，若城市間可鋪設(shè)道路的線路圖如圖(1)，則最優(yōu)設(shè)計(jì)方案如圖(2)，此時(shí)鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為10.現(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設(shè)道路的線路圖如圖(3)，則鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為_解析根據(jù)題目中圖(3)給出的信息及題意，要求的是鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用，且從任一城市都能到達(dá)其余各城市，可將圖(3)調(diào)整為如圖所示的結(jié)構(gòu)(線段下方的數(shù)字為兩城市之間鋪設(shè)道路的費(fèi)用)此時(shí)鋪設(shè)道路的總費(fèi)用為23123516.答案16考題分析具備一定的推理與證明能力是高考的一項(xiàng)基本要求歸納推理是高考考查的熱點(diǎn)，這類題目具有很好的區(qū)分度，考查形式一般為選擇題或填空題網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：合情推理【例1】(1)(2020·武昌模擬)設(shè)fk(x)sin2kxcos2kx(xR)，利用三角變換，估計(jì)fk(x)在k1,2,3時(shí)的取值情況，對(duì)kN時(shí)推測(cè)fk(x)的取值范圍是_(結(jié)果用k表示)(2)在平面幾何里，有“若ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積為SABC(abc)r”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為r，則四面體的體積為_”審題導(dǎo)引(1)由f1(x)、f2(x)、f3(x)的取值范圍觀察規(guī)律可得；(2)注意發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律總結(jié)出共性加以推廣，或?qū)⒔Y(jié)論類比到其他方面，得出結(jié)論規(guī)范解答(1)當(dāng)k1，f1(x)sin2xcos2x1.當(dāng)k2時(shí)，f2(x)sin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x1sin22x.0sin22x1，f2(x).當(dāng)k3時(shí)，f3(x)sin6xcos6x(sin2xcos2x)(sin4xsin2xcos2xcos4x)13sin2xcos2x1sin22x.0sin22x1，f3(x)，故可推測(cè)fk(x)1.(2)三角形的面積類比為四面體的體積，三角形的邊長(zhǎng)類比為四面體四個(gè)面的面積，內(nèi)切圓半徑類比為內(nèi)切球的半徑二維圖形中類比為三維圖形中的，得V四面體ABCD(S1S2S3S4)r.故填V四面體ABCD(S1S2S3S4)r.答案(1)fk(x)1(2)V四面體ABCD(S1S2S3S4)r【規(guī)律總結(jié)】歸納推理與類比推理之區(qū)別(1)歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理在進(jìn)行歸納時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論(2)類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對(duì)象之間的推理，其中一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì)，則另一個(gè)對(duì)象也具有類似的性質(zhì)在進(jìn)行類比時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過(guò)程，然后類比推導(dǎo)類比對(duì)象的性質(zhì)【變式訓(xùn)練】1若數(shù)列an(nN)是等差數(shù)列，則有通項(xiàng)為bn(nN)的數(shù)列bn也為等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，若數(shù)列cn是等比數(shù)列，且cn0，則有通項(xiàng)為dn_(nN)的數(shù)列dn也是等比數(shù)列解析cn是等比數(shù)列，且cn0，lg cn是等差數(shù)列，令dn，則lg dn，由題意知lg dn為等差數(shù)列，dn為等比數(shù)列答案2平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條都不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，試歸納它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)解析n2時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)：f(2)1.n3時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)：f(3)3.n4時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)：f(4)6.n5時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)：f(5)10.猜想歸納：f(n)n(n1)(n2)考點(diǎn)二：演繹推理【例2】求證：a，b，c為正實(shí)數(shù)的充要條件是abc0，且abbcca0和abc0.審題導(dǎo)引由a、b、c為正實(shí)數(shù)，顯然易得abc0，abbcca0，abc0，即“必要性”的證明用直接法易于完成證明“充分性”時(shí)，要綜合三個(gè)不等式推出a、b、c是正實(shí)數(shù)，有些難度、需用反證法規(guī)范解答(1)證必要性(直接證法)：因?yàn)閍、b、c為正實(shí)數(shù)，所以abc0，abbcca0，abc0.所以必要性成立(2)證充分性(反證法)：假設(shè)a、b、c不全為正實(shí)數(shù)(原結(jié)論是a、b、c都是正實(shí)數(shù))，由于abc0，則它們只能是二負(fù)一正不妨設(shè)a0，b0，c0，又由于abbcac0a(bc)bc0，因?yàn)閎c0，所以a(bc)0.又a0，所以bc0.而abc0，所以a(bc)0.所以a0，與a0的假設(shè)矛盾故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即a、b、c均為正實(shí)數(shù)【規(guī)律總結(jié)】1演繹推理問題的處理方法從思維過(guò)程的指向來(lái)看，演繹推理是以某一類事物的一般判斷為前提，而作出關(guān)于該類事物的判斷的思維形式，因此是從一般到特殊的推理數(shù)學(xué)中的演繹法一般是以三段論的格式進(jìn)行的三段論由大前提、小前提和結(jié)論三個(gè)命題組成，大前提是一個(gè)一般性原理，小前提給出了適合于這個(gè)原理的一個(gè)特殊情形，結(jié)論則是大前提和小前提的邏輯結(jié)果2適用反證法證明的六種題型反證法是一種重要的間接證明方法，適用反證法證明的題型有：(1)易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；(2)否定性命題；(3)唯一性命題；(4)至少至多型命題；(5)一些基本定理；(6)必然性命題等 【變式訓(xùn)練】3若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對(duì)于D上的n個(gè)值x1，x2，xn，總滿足f(x1)f(x2)f(xn)f，稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù)現(xiàn)已知f(x)sin x在(0，)上是凸函數(shù)，則在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析因?yàn)橥购瘮?shù)滿足f(x1)f(x2)f(xn)f，(大前提)f(x)sin x在(0，)上是凸函數(shù)，(小前提)所以f(A)f(B)f(C)3f，(結(jié)論)即sin Asin Bsin C3sin .因此sin Asin Bsin C的最大值是.考點(diǎn)三：數(shù)學(xué)歸納法【例3】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S(an2)Sn10,1Snanbn(nN)(1)求a1，a2的值和數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若正項(xiàng)數(shù)列cn滿足：cn(nN，0a1)，求證： 1.審題導(dǎo)引(1)由于S(an2)Sn10中含有S，通過(guò)升降角標(biāo)的方法無(wú)法把Sn轉(zhuǎn)化為an，這樣就需要把a(bǔ)n轉(zhuǎn)化為SnSn1(n2)，通過(guò)探求Sn，然后根據(jù)求得的Sn求an的通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)(1)求得的結(jié)果，根據(jù)的結(jié)構(gòu)確定放縮的方法求證規(guī)范解答(1)S(a12)S110a1，S(a22)S210a2.S(an2)Sn10，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，代入式，得SnSn12Sn10，又由S1，S2a1a2，S3.猜想Sn.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，Sk，則nk1時(shí)，Sk1Sk2Sk110，Sk1成立綜合，可知猜想成立所以當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，當(dāng)n1時(shí)也滿足，故an(nN)(2)證明由(1)，得bnn，cn，則 11.【規(guī)律總結(jié)】使用數(shù)學(xué)歸納法需要注意的三個(gè)問題在使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)還要明確：(1)數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，其中前兩步在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，二者缺一不可；(2)在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，要注意起點(diǎn)n，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清題目；(3)第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清楚由k到k1時(shí)命題變化的情況【變式訓(xùn)練】4(2020·青島二模)已知集合Axx2n1，nN，Bxx6n3，nN，設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若an的任一項(xiàng)anAB且首項(xiàng)a1是AB中的最大數(shù)，750S10300.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn令Tn24(b2b4b6b2n)，試比較Tn與的大小解析(1)根據(jù)題設(shè)可得：集合A中所有的元素可以組成以3為首項(xiàng)，2為公差的遞減等差數(shù)列；集合B中所有的元素可以組成以3為首項(xiàng)，6為公差的遞減等差數(shù)列由此可得，對(duì)任意的nN，有ABB，AB中的最大數(shù)為3，即a13，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則an3(n1)d，S1045d30，750S10300，75045d30300，即16d6，由于B中所有的元素可以組成以3為首項(xiàng)，6為公差的遞減等差數(shù)列，所以d6m(mZ，m0)，由166m6m2，所以d12，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an912n(nN)(2)bnn，Tn24(b2b4b6b2n)24×24，Tn24，于是確定Tn與的大小關(guān)系等價(jià)于比較2n與2n1的大小，由22×11,222×21,232×31,242×41，可猜想當(dāng)n3時(shí)，2n2n1，證明如下：證法一當(dāng)n3時(shí)，由上驗(yàn)算可知成立假設(shè)nk時(shí)，2k2k1，則2k12·2k2(2k1)4k22(k1)1(2k1)2(k1)1，所以當(dāng)nk1時(shí)猜想也成立根據(jù)可知，對(duì)一切n3的正整數(shù)，都有2n2n1，當(dāng)n1,2時(shí)，Tn，當(dāng)n3時(shí)，Tn.證法二當(dāng)n3時(shí)，2n(11)nCCCCCCCC2n22n1，當(dāng)n1,2時(shí)，Tn，當(dāng)n3時(shí)，Tn.名師押題高考【押題1】已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，則第60個(gè)整數(shù)對(duì)是A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)解析依題意，就每組整數(shù)對(duì)的和相同的分為一組，不難得知每組整數(shù)對(duì)的和為n1，且每組共有n個(gè)整數(shù)對(duì)，這樣的前n組一共有個(gè)整數(shù)對(duì)，注意到60，因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)處于第11組(每對(duì)整數(shù)對(duì)的和為12的組)的第5個(gè)位置，結(jié)合題意可知每對(duì)整數(shù)對(duì)的和為12的組中的各對(duì)數(shù)依次為(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)是(5,7)故選B.答案B押題依據(jù)能用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理是高考對(duì)合情推理的基本要求相比較而言，歸納推理是高考的一個(gè)熱點(diǎn)本題體現(xiàn)了歸納對(duì)推理的思想，需從所給的數(shù)對(duì)中總結(jié)歸納出其規(guī)律，進(jìn)而推導(dǎo)出第60個(gè)整數(shù)對(duì)題目不難，體現(xiàn)了高考的熱點(diǎn)，故押此題押題2】已知命題：“若數(shù)列an為等差數(shù)列，且ama，anb(mn，m，nN)，則amn.”現(xiàn)已知數(shù)列bn(bn0，nN)為等比數(shù)列，且bma，bnb(mn，m，nN)，若類比上述結(jié)論，則可得到bmn_.解析由題意類比可得bmn.答案押題依據(jù)歸納和類比是兩種重要的思維形式，是高考的熱點(diǎn)，通常以選擇題或填空題的形式考查本題以數(shù)列知識(shí)為背景，考查類比推理，題目不難，但具有較好的代表性，故押此題