2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元能力測(cè)試卷6
第六章單元能力測(cè)試一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1已知O、A、B是平面上的三個(gè)點(diǎn),直線AB上有一點(diǎn)C,滿足20,則等于()A2B2C. D答案A解析22(),2.故選A2已知平面向量a(x,1),b(x,x2),則向量ab()A平行于x軸B平行于第一、三象限的角平分線C平行于y軸D平行于第二、四象限的角平分線答案C解析ab(xx,1x2)(0,1x2),易知ab平行于y軸3設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),2,則()A.0 B.0C.0 D.0答案B解析如圖,根據(jù)向量加法的幾何意義2P是AC的中點(diǎn),故0.4設(shè)向量a(3,),b為單位向量,且ab,則b()A(,)或(,)B(,)C(,)D(,)或(,)答案D解析設(shè)b(x,y),由ab可得3yx0,又x2y21,得b(,)或b(,),故選D.5已知A、B是以原點(diǎn)O為圓心的單位圓上兩點(diǎn),且|1,則·等于()A. BC. D答案B解析·1×1×cos120°.6復(fù)數(shù)等于()A1i B1iC1i D1i答案B7復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是()A.i B.iC1i D1i答案B解析zi,i,故選B.8已知向量a(x1,2),b(4,y),若ab,則9x3y的最小值為()A2 B6C12 D3答案B解析ab,a·b4(x1)2y0.2xy2.9x3y2269已知|a|2|b|0,且關(guān)于x的方程x2|a|xa·b0有實(shí)根,則a與b的夾角的取值范圍是()A0, B,C, D,答案B解析|a|2|b|0,且關(guān)于x的方程x2|a|xa·b0有實(shí)根,則|a|24a·b0,設(shè)向量a·b的夾角為,cos,10已知三點(diǎn)A(2,3),B(1,1),C(6,k),其中k為常數(shù)若|,則與的夾角的余弦值為()A B0或C. D0或答案D解析由|解得k0或6,當(dāng)k0時(shí),與的夾角為,其余弦值為0;當(dāng)k6時(shí),與的夾角余弦值為11若O為平面內(nèi)任一點(diǎn)且(2)·()0,則ABC是()A直角三角形或等腰三角形B等腰直角三角形C等腰三角形但不一定是直角三角形D直角三角形但不一定是等腰三角形答案C解析由(2)()0得()·()0,0,即|,ABAC.12平面向量也叫二維向量,二維向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算可以推廣到n(n3)維向量,n維向量可用(x1,x2,x3,x4,xn)表示設(shè)a(a1,a2,a3,a4,an),b(b1,b2,b3,b4,bn),規(guī)定向量a與b夾角的余弦為cos.已知n維向量a,b,當(dāng)a(1,1,1,1,1),b(1,1,1,1,1,1)時(shí),cos等于()A. B.C. D.答案D解析ibi(n2)2n4.n,n.cos.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在題中橫線上)13已知a3i,則a_.答案23i14若平面向量a,b滿足|ab|1,ab平行于x軸,b(2,1),則a_.答案(1,1)或(3,1)解析設(shè)a(x,y),b(2,1),則ab(x2,y1),ab平行于x軸,y10,y1,故ab(x2,0),又|ab|1,|x2|1,x1或x3,a(1,1)或a(3,1)15已知直線xya與圓x2y24交于A、B兩點(diǎn),且|,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為_答案±2解析如圖,作平行四邊形OADB,則,|.又|,四邊形OADB為正方形,易知|為直線在y軸上的截距大小,a2.驗(yàn)證a2時(shí),成立16如圖,正六邊形ABCDEF中,P是CDE內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)設(shè)(,R),則的取值范圍是_答案3,4解析當(dāng)P與C或E重合時(shí),AF2或2,3當(dāng)P在直線EC上時(shí),因E,P,C共線,所以3;當(dāng)P與D重合時(shí),22,4.故的范圍是3,4三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17(本小題滿分10分)(2020·江蘇卷,文)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,2),B(2,3),C(2,1)(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng);(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(t)·0,求t的值解析(1)由題設(shè)知(3,5),(1,1),則(2,6),(4,4)所以|2,|4.故所求的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為4,2.(2)由題設(shè)知(2,1),t(32t,5t)由(t)·0,得(32t,5t)·(2,1)0,從而5t11,所以t.18(本小題滿分12分)已知a(1,2),b(1,1),且a與ab的夾角為銳角,求實(shí)數(shù)的取值范圍解析a與ab均不是零向量,夾角為銳角,a·(ab)>0,3>5,>.當(dāng)a與ab共線時(shí),abma,即(1,2)m(1,2),得0,即當(dāng)0時(shí),a與ab共線,0.故>且0.小結(jié)由a與ab的夾角為銳角,可得a·(ab)>0,但由a·(ab)>0,并不能推得a與ab的夾角為銳角,如0時(shí),a·(a·b)>0,但此時(shí)夾角為0,所以a·(ab)>0僅是a與ab夾角為銳角的必要條件,而不是充分條件19(本小題滿分12分)(2020·鹽城一模)已知向量a(sin,),b(1,cos),(,)(1)求ab,求;(2)求|ab|的最大值解析(1)因?yàn)閍b,所以sincos0.得tan.又(,),所以.(2)因?yàn)閨ab|2(sin1)2(cos)254sin()所以當(dāng)時(shí),|ab|2的最大值為549.故|ab|的最大值為320(本小題滿分12分)已知向量a(,),b(2,cos2x)(1)若x(0,試判斷a與b能否平行?(2)若x(0,求函數(shù)f(x)a·b的最小值解析(1)若a與b平行,則有·cos2x·2,因?yàn)閤(0,sinx0,所以得cos2x2,這與|cos2x|1相矛盾,故a與b不能平行(2)由于f(x)a·b2sinx,又因?yàn)閤(0,所以sinx(0,于是2sinx22,當(dāng)2sinx,即sinx時(shí)取等號(hào)故函數(shù)f(x)的最小值等于2.21(本小題滿分12分)若a,b是兩個(gè)不共線的非零向量,tR.(1)若a,b起點(diǎn)相同,t為何值時(shí),a,tb,(ab)三向量的終點(diǎn)在一直線上?(2)若|a|b|且a與b夾角為60°,t為何值時(shí),|atb|的值最小?解(1)設(shè)atbma(ab),mR,化簡(jiǎn)得(m1)a(t)b,a與b不共線,t時(shí),a,tb,(ab)的終點(diǎn)在一直線上(2)|atb|2(atb)2|a|2t2|b|22t|a|b|cos60°(1t2t)|a|2.當(dāng)t時(shí),|atb|有最小值|a|.22(本小題滿分12分)在ABC中,A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,且滿足(2ac)cosBbcosC.(1)求B的大小(2)設(shè)m(sinA,cos2A),n(4k,1)(k>1),且m·n的最大值是5,求k的值解析(1)(2ac)cosBbcosC,(2sinAsinC)cosBsinBcosC,即2sinAcosBsinBcosCsinCcosBsin(BC)ABC,2sinAcosBsinA.0<A<,sinA0,cosB.0<B<,B.(2)m·n4ksinAcos2A2sin2A4ksinA1,A(0,),設(shè)sinAt,則t(0,1則m·n2t24kt12(tk)212k2,t(0,1k>1,t1時(shí),m·n取最大值依題意得(m·n)max24k15,k.