2020年高考數(shù)學一輪復習 N單元 選修4系列 理

N單元 選修4系列 N1 選修4-1 幾何證明選講15N12020·廣東卷 (幾何證明選講選做題)如圖1­3所示，在平行四邊形ABCD中，點E在AB上且EB2AE，AC與DE交于點F，則_圖1­3159解析 本題考查相似三角形的性質定理，面積比等于相似比的平方EB2AE，AEABCD.又四邊形ABCD是平行四邊形，AEFCDF，9.15N12020·湖北卷 (選修4­1：幾何證明選講)如圖1­3，P為O外一點，過P點作O的兩條切線，切點分別為A，B，過PA的中點Q作割線交O于C，D兩點，若QC1，CD3，則PB_圖1­3154解析 由切線長定理得QA2QC·QD1×(13)4，解得QA2.故PBPA2QA4.12N12020·湖南卷 如圖1­3所示，已知AB，BC是O的兩條弦，AOBC，AB，BC2，則O的半徑等于_圖1­312.解析 設圓的半徑為r，記AO與BC交于點D，依題可知AD1.由相交弦定理可得1×(2r1)×，解得r.22N12020·遼寧卷 選修4­1：幾何證明選講如圖1­7所示，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上點且PGPD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F.(1)求證：AB為圓的直徑；(2)若ACBD，求證：ABED.圖1­722證明：(1)因為PDPG，所以PDGPGD.由于PD為切線，故PDADBA，又因為PGDEGA，所以DBAEGA，所以DBABADEGABAD，從而BDAPFA.又AFEP，所以PFA90°，所以BDA90°，故AB為圓的直徑(2)連接BC，DC.由于AB是直徑，故BDAACB90°.在RtBDA與RtACB中，ABBA，ACBD，從而得RtBDARtACB，于是DABCBA.又因為DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.因為ABEP，所以DCEP，DCE為直角，所以ED為直徑，又由(1)知AB為圓的直徑，所以EDAB.22N12020·新課標全國卷 選修4­1：幾何證明選講如圖1­6，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CBCE.圖1­6(1)證明：DE；(2)設AD不是O的直徑，AD的中點為M，且MBMC，證明：ADE為等邊三角形22證明：(1)由題設知A，B，C，D四點共圓，所以DCBE.由已知得CBEE，故DE.(2)設BC的中點為N，連接MN，則由MBMC知MNBC，故O在直線MN上又AD不是O的直徑，M為AD的中點，故OMAD，即MNAD，所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE，由(1)知，DE，所以ADE為等邊三角形22N12020·新課標全國卷 選修4­1：幾何證明選講如圖1­4，P是O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與O相交于點B，C，PC2PA，D為PC的中點，AD的延長線交O于點E，證明：(1)BEEC；(2)AD·DE2PB2.圖1­422證明：(1)連接AB，AC.由題設知PAPD，故PADPDA.因為PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，從而BEEC.因此BEEC.(2)由切割線定理得PA2PB·PC.因為PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得AD·DEBD·DC，所以AD·DE2PB2.152020·陜西卷 圖1­3BN1(幾何證明選做題)如圖1­3，ABC中，BC6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若AC2AE，則EF_15 B3 解析 B由題意，可知AEFACB，又AA，所以AEFACB，所以.因為AC2AE，BC6，所以EF3.6N12020·天津卷 圖1­2如圖1­2所示，ABC是圓的內(nèi)接三角形，BAC的平分線交圓于點D，交BC于點E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F.在上述條件下，給出下列四個結論：BD平分CBF；FB2FD·FA；AE·CEBE·DE；AF·BDAB·BF.則所有正確結論的序號是()A B C D6D解析 如圖所示，13，24，且12，43，BD平分CBF，ABFBDF.，AB·BFAF·BD.，BF2AF·DF.故正確14N12020·重慶卷 過圓外一點P作圓的切線PA(A為切點)，再作割線PBC依次交圓于B，C.若PA6，AC8，BC9，則AB_144解析 根據(jù)題意，作出圖形如圖所示，由切割線定理，得PA2PB·PCPB·(PBBC)，即36PB·(PB9)PB3，PC12.由弦切角定理知PABPCA，又APBCPA，PABPCA，即AB4.N2 選修4-2 矩陣21N22020·福建卷 ()選修4­2：矩陣與變換已知矩陣A的逆矩陣(1)求矩陣A；(2)求矩陣A1的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量21. ()解：(1)因為矩陣A是矩陣A1的逆矩陣，且2×21×130，所以A .(2)矩陣A1的特征多項式為f()243(1)(3)，令f()0，得矩陣A1的特征值為11或23，所以1)是矩陣A1的屬于特征值11的一個特征向量，2)是矩陣A1的屬于特征值23的一個特征向量N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程13N32020·天津卷 在以O為極點的極坐標系中，圓4sin 和直線sin a相交于A，B兩點若AOB是等邊三角形，則a的值為_133解析 將4sin 與sin a轉化為直角坐標方程分別為x2(y2)24與ya.聯(lián)立得x2a24a，且0<a<4.AOB為等邊三角形，a23(a24a)，解得a3或a0(舍)4N32020·安徽卷 以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程是4cos ，則直線l被圓C截得的弦長為()A. B2C. D24D解析 直線l的普通方程為yx4，圓C的直角坐標方程是(x2)2y24，圓心(2，0)到直線l的距離d，所以直線l被圓C截得的弦長為22 .3N32020·北京卷 曲線(為參數(shù))的對稱中心()A在直線y2x上 B在直線y2x上C在直線yx1上 D在直線yx1上3B解析 曲線方程消參化為(x1)2(y2)21，其對稱中心點為(1，2)，驗證知其在直線y2x上21 N3 2020·福建卷 ()選修4­4：坐標系與參數(shù)方程已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求直線l和圓C的普通方程；(2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍21. ()解：(1)直線l的普通方程為2xy2a0，圓C的普通方程為x2y216.(2)因為直線l與圓C有公共點，故圓C的圓心到直線l的距離d4，解得2a2.14N32020·廣東卷 (坐標系與參數(shù)方程選做題)在極坐標系中，曲線C1和C2的方程分別為sin2cos 和sin 1.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，則曲線C1和C2交點的直角坐標為_14(1，1)解析 本題主要考查將極坐標方程化為直角坐標方程的方法將曲線C1的方程sin 2cos 化為直角坐標方程為y2x，將曲線C2的方程sin 1化為直角坐標方程為y1.由解得故曲線C1和C2交點的直角坐標為(1，1)16N32020·湖北卷 (選修4­4：坐標系與參數(shù)方程)已知曲線C1的參數(shù)方程是(t為參數(shù))以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程是2，則C1與C2交點的直角坐標為_16.解析 由消去t得yx(x0)，即曲線C1的普通方程是yx(x0)；由2，得24，得x2y24，即曲線C2的直角坐標方程是x2y24.聯(lián)立解得故曲線C1與C2的交點坐標為.11N32020·湖南卷 在平面直角坐標系中，傾斜角為的直線l與曲線C：(為參數(shù))交于A，B兩點，且|AB|2.以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則直線l的極坐標方程是_11cos sin 1解析 依題意可設直線l：yxb，曲線C：的普通方程為(x2)2(y1)21.由|AB|2可知圓心(2，1)在直線l：yxb上，即l：yx1，所以l的極坐標方程是cos sin 10.11N32020·江西卷 (2)(坐標系與參數(shù)方程選做題)若以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段y1x(0x1)的極坐標方程為()A，0B，0Ccos sin ，0Dcos sin ，011(2)A解析 依題意，方程y1x的極坐標方程為(cos sin )1，整理得.因為0x1，所以 0y1，結合圖形可知，0.23N32020·遼寧卷 選修4­4：坐標系與參數(shù)方程將圓x2y21上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(1)寫出C的參數(shù)方程；(2)設直線l：2xy20與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程23解：(1)設(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)镃上點(x，y)，依題意，得由xy1得x21，即曲線C的方程為x21.故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)由解得或不妨設P1(1，0)，P2(0，2)，則線段P1P2的中點坐標為，所求直線的斜率k，于是所求直線方程為y1，化為極坐標方程，并整理得2cos 4sin 3，即.23N32020·新課標全國卷 選修4­4：坐標系與參數(shù)方程已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值23解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點P(2cos ，3sin )到l的距離d|4cos 3sin 6|，則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan .當sin()1時，|PA|取得最大值，最大值為.當sin()1時，|PA|取得最小值，最小值為.23N32020·新課標全國卷 選修4­4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為2cos ，.(1)求C的參數(shù)方程；(2)設點D在C上，C在D處的切線與直線l：yx2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標23解：(1)C的普通方程為(x1)2y21(0y1)可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0t)(2)設D(1cos t，sin t)由(1)知C是以G(1，0)為圓心，1為半徑的上半圓因為C在點D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐標為，即.152020·陜西卷 CN3(坐標系與參數(shù)方程選做題)在極坐標系中，點到直線sin1的距離是_15C1解析 C點的極坐標可化為xcos 2cos，ysin 2sin1，即點在平面直角坐標系中的坐標為(，1)直線sinsin coscos sin1，即該直線在直角坐標系中的方程為xy20，由點到直線的距離公式得所求距離為d1.自選模塊2N32020·浙江卷 (1)在極坐標系Ox中，設集合A(，)|0，0cos ，求集合A所表示區(qū)域的面積；(2)在直角坐標系xOy中，直線l：(t為參數(shù))，曲線C：(為參數(shù))，其中a0.若曲線C上所有點均在直線l的右下方，求a的取值范圍解：(1)在cos 兩邊同乘，得2cos .化成直角坐標方程，得x2y2x，即y2.所以集合A所表示的區(qū)域為：由射線yx(x0)，y0(x0)，圓y2所圍成的區(qū)域，如圖所示的陰影部分，所求面積為.(2)由題意知，直線l的普通方程為xy40.因為曲線C上所有點均在直線l的右下方，故對R，有acos 2sin 40恒成立，即cos()4恒成立，所以4.又a0，得0a2 .15N32020·重慶卷 已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為sin24cos 0(0，0<2)，則直線l與曲線C的公共點的極徑_15. 解析 由題意，得直線l的普通方程為xy10，曲線C的平面直角坐標方程為y24x，聯(lián)立直線l與曲線C的方程，解得所以直線l與曲線C的公共點的極徑.N4 選修4-5 不等式選講21 N42020·福建卷 ()選修4­5：不等式選講已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實數(shù)，且滿足pqra，求證：p2q2r23.21. ()解：(1)因為|x1|x2|(x1)(x2)|3，當且僅當1x2時，等號成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)由(1)知pqr3，又p，q，r是正實數(shù)，所以(p2q2r2)(121212)(p×1q×1r×1)2(pqr)29，即p2q2r23.8N4、J22020·廣東卷 設集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么集合A中滿足條件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素個數(shù)為()A60 B90 C120 D1308D解析 本題考查排列組合等知識，考查的是用排列組合思想去解決問題，主要根據(jù)范圍利用分類討論思想求解由“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”考慮x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，設集合M0，N1，1當x1，x2，x3，x4，x5中有2個取值為0時，另外3個從N中取，共有C×23種方法；當x1，x2，x3，x4，x5中有3個取值為0時，另外2個從N中取，共有C×22種方法；當x1，x2，x3，x4，x5中有4個取值為0時，另外1個從N中取，共有C×2種方法故總共有C×23C×22C×2130種方法，即滿足題意的元素個數(shù)為130.9N42020·廣東卷 不等式|x1|x2|5的解集為_9(，32，)解析 本題考查絕對值不等式的解法|x1|x2|5的幾何意義是數(shù)軸上的點到1與2的距離之和大于等于5的實數(shù)，所以不等式的解為x3或x2，即不等式的解集為(，32，)13N42020·湖南卷 若關于x的不等式|ax2|3的解集為，則a_133解析 依題意可得3ax23，即1ax5 ，而x，即13x5，所以a3.11N42020·江西卷 (1)(不等式選做題)對任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值為()A1 B2 C3 D411(1)C解析 易知|x1|x|1，當且僅當0x1時等號成立；|y1|y1|2, 當且僅當1y1時等號成立故|x1|x|y1|y1|3.24N42020·遼寧卷 選修4­5：不等式選講設函數(shù)f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.記f(x)1的解集為M，g(x)4的解集為N.(1)求M；(2)當xMN時，證明：x2f(x)xf(x)2.24解：(1)f(x)當x1時，由f(x)3x31得x，故1x；當x<1時，由f(x)1x1得x0，故0x<1.所以f(x)1的解集M.(2)由g(x)16x28x14得164，解得x，因此N，故MN.當xMN時，f(x)1x，于是x2f(x)x·f(x)2xf(x)xf(x)xf(x)x(1x).24N42020·新課標全國卷 選修4­5：不等式選講若a>0，b>0，且.(1)求a3b3的最小值(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并說明理由.24.解：(1)由，得ab2，當且僅當ab時等號成立故a3b324 ，當且僅當ab 時等號成立所以a3b3的最小值為4.(2)由(1)知，2a3b24.由于4>6，從而不存在a，b，使2a3b6.24N42020·新課標全國卷 選修4­5：不等式選講設函數(shù)f(x)|xa|(a0)(1)證明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范圍24解：(1)證明：由a>0，有f(x)|xa|a2，所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.當a>3時，f(3)a，由f(3)<5得3<a<.當0<a3時，f(3)6a，由f(3)<5得<a3.綜上，a的取值范圍是.152020·陜西卷 AN4(不等式選做題)設a，b，m，nR，且a2b25，manb5，則的最小值為_15A.解析 A由柯西不等式可知(a2b2)(m2n2)(manb)2，代入數(shù)據(jù)，得m2n25，當且僅當anbm時，等號成立，故 的最小值為.自選模塊1N42020·浙江卷 (1)解不等式2|x2|x1|3；(2)設正數(shù)a，b，c滿足abcabc，求證：ab4bc9ac36，并給出等號成立條件解：(1)當x1時，2(2x)(x1)3，得x2，此時x1；當1x2時，2(2x)(x1)3，得x0，此時1<x<0；當x>2時，2(x2)(x1)3，得x>8，此時x>8.綜上所述，原不等式的解集是(，0)(8，)(2)證明：由abcabc，得1.由柯西不等式，得(ab4bc9ac)(123)2，所以ab4bc9ac36，當且僅當a2，b3，c1時，等號成立16N42020·重慶卷 若不等式|2x1|x2|a2a2對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_16.解析 令f(x)|2x1|x2|，則當x<2時，f(x)2x1x23x1>5；當2x時，f(x)2x1x2x3，故f(x)5；當x>時，f(x)2x1x23x1>.綜合可知f(x)，所以要使不等式恒成立，則需a2a2，解得1a.12020·長沙模擬 已知點P所在曲線的極坐標方程為2cos ，點Q所在曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則|PQ|的最小值是()A2 B.1C1 D.11D解析 易知點P在圓x2y22x0上，圓心為(1，0)，半徑為1，點Q在直線2xy20上，故|PQ|的最小值是11.42020·株洲模擬 在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸)中，直線C2的方程為(cos sin )10，則曲線C1與C2的交點的個數(shù)為_42解析 由題意，曲線C1的參數(shù)方程(為參數(shù))可化為一般方程1，直線C2的極坐標方程·(cos sin )10可化為普通方程xy10.聯(lián)立兩個方程，消去y可得1，即7x28x80.因為824×7×8>0，所以直線與橢圓相交，且有兩個交點52020·湖南長郡中學月考 在極坐標系中，圓C1的方程為4 cos，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，已知圓C2的參數(shù)方程為(a0，為參數(shù))若圓C1與圓C2外切，則實數(shù)a_5.解析 依題意，4 cos4cos 4sin ，化成普通方程為x2y24x4y，即(x2)2(y2)28，即該圓的圓心為C1(2，2)，半徑r12 .將(a>0，為參數(shù))化成普通方程為(x1)2(y1)2a2，即圓心為C2(1，1)，半徑r2a.由丙點間兩圓外切可得|C1C2|3 2 a，所以a.62020·衡陽模擬 已知曲線C的極坐標方程為4cos .若以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，則曲線C的參數(shù)方程為_6.(為參數(shù))解析 由曲線C的極坐標方程為4cos ，可得其普通方程為x2y24x，即(x2)2y24，所以曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))72020·湖南雅禮中學月考 已知極坐標系下曲線4sin 表示圓，則點A到圓心的距離為_72 解析 將曲線4sin 化成普通方程為x2y24y，則該圓的圓心為(0，2)，而點A的直角坐標為(2 ，2)，由兩點間距離公式可得d2 .82020·湖南十三校聯(lián)考 以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程為2cos ，若直線l經(jīng)過圓C的圓心，則常數(shù)a的值為_81解析 將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為yxa，將圓C的極坐標方程2cos 化為普通方程為x2y22x，則圓心為(1，0)，代入直線yxa可得a1.92020·湖南師大附中月考 在極坐標系中，已知點A的極坐標為(2，)，直線l的極坐標方程為sin，則點A到直線l的距離是_92 解析 由題意，直線l的極坐標方程為sin coscos sin ，即sin cos 2，則直線l的直角坐標方程為xy20.又點A的直角坐標為(2，0)，所以點A到直線l的距離d2 .